Bài học Mệnh đề (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I) giúp các em biết câu nào là mệnh đề, cách phủ định một mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương và cách dùng kí hiệu $\forall$, $\exists$. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Mệnh đề
Mệnh đề là một câu khẳng định có thể biết được nó đúng hay sai.
• Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Người ta thường dùng các chữ cái $P, Q, R, \ldots$ để đặt tên cho mệnh đề.
Mẹo nhận biết nhanh: câu hỏi (có dấu ?), câu cảm thán (có dấu !), câu cầu khiến (ra lệnh, yêu cầu) và câu nêu ý kiến, cảm xúc riêng không phải là mệnh đề, vì không thể nói chúng đúng hay sai.
Ví dụ.
• "Phương trình $3x^2-5x+2=0$ có nghiệm nguyên" là mệnh đề đúng (vì $x=1$ là nghiệm).
• "$5 \lt 7-3$" là mệnh đề sai (vì $7-3=4$ và $5 \gt 4$).
• "Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng?" là câu hỏi, không phải mệnh đề.
• "Đấy là cách xử lí khôn ngoan!" là câu cảm thán, không phải mệnh đề.
Mệnh đề có nội dung liên quan đến toán học gọi là mệnh đề toán học.
2. Mệnh đề chứa biến
Xét câu "$n$ chia hết cho 2" (với $n$ là số tự nhiên). Ta chưa biết câu này đúng hay sai vì chưa biết $n$ bằng bao nhiêu, nên nó chưa phải là mệnh đề. Nhưng khi thay $n$ bằng một số cụ thể thì ta được mệnh đề:
• $n=5$: "5 chia hết cho 2" là mệnh đề sai.
• $n=10$: "10 chia hết cho 2" là mệnh đề đúng.
Câu chứa biến (như $n$, $x$), chưa biết đúng sai, nhưng khi thay biến bằng giá trị cụ thể thì trở thành mệnh đề, được gọi là mệnh đề chứa biến.
Ví dụ. Câu "$x \gt 5$": với $x=6$ ta được mệnh đề đúng "$6 \gt 5$"; với $x=1$ ta được mệnh đề sai "$1 \gt 5$".
3. Mệnh đề phủ định
Muốn phủ định mệnh đề $P$, ta thêm (hoặc bỏ bớt) chữ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của $P$. Mệnh đề phủ định của $P$ kí hiệu là $\overline{P}$ (đọc là "P gạch").
$P$ và $\overline{P}$ là hai câu nói trái ngược nhau: $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.
Ví dụ.
• $P$: "17 là số chính phương" (sai) thì $\overline{P}$: "17 không phải là số chính phương" (đúng).
• $Q$: "Hình hộp chữ nhật không phải là hình lăng trụ đứng tứ giác" thì $\overline{Q}$: "Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng tứ giác".
4. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu $P \Rightarrow Q$.
Khi nào $P \Rightarrow Q$ sai? Chỉ có một trường hợp duy nhất: $P$ đúng mà $Q$ sai. Vì vậy, để xét $P \Rightarrow Q$ đúng hay sai, ta chỉ cần xét lúc $P$ đúng:
• nếu khi đó $Q$ cũng đúng thì $P \Rightarrow Q$ đúng;
• nếu khi đó $Q$ sai thì $P \Rightarrow Q$ sai.
Ví dụ. "Nếu tứ giác $ABCD$ có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ thì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn". Đây là mệnh đề đúng.
Định lí, điều kiện cần, điều kiện đủ. Các định lí toán học là những mệnh đề đúng, thường có dạng $P \Rightarrow Q$. Khi đó ta nói:
• $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí;
• $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
• $Q$ là điều kiện cần để có $P$.
Cách nhớ: có $P$ là đủ để chắc chắn có $Q$; còn muốn có $P$ thì cần phải có $Q$ (thiếu $Q$ thì không thể có $P$).
Ví dụ. Định lí "Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$" có thể phát biểu:
• "$a$ và $b$ chia hết cho $c$ là điều kiện đủ để $a+b$ chia hết cho $c$";
• "$a+b$ chia hết cho $c$ là điều kiện cần để $a$ và $b$ chia hết cho $c$".
5. Mệnh đề đảo
Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ (đổi chỗ giả thiết và kết luận).
Lưu ý: mệnh đề $P \Rightarrow Q$ đúng thì mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ chưa chắc đúng.
Ví dụ. "Nếu tam giác $ABC$ đều thì tam giác $ABC$ cân" là mệnh đề đúng. Mệnh đề đảo "Nếu tam giác $ABC$ cân thì tam giác $ABC$ đều" là mệnh đề sai.
6. Mệnh đề tương đương
Mệnh đề "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$" được gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$.
Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì $P \Leftrightarrow Q$ đúng. Khi đó ta có thể nói:
• "$P$ tương đương với $Q$", hoặc
• "$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$", hoặc
• "$P$ khi và chỉ khi $Q$".
Ví dụ. "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau" là mệnh đề đúng, vì cả hai chiều đều đúng.
7. Mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall$, $\exists$
• Kí hiệu $\forall$ đọc là "với mọi".
• Kí hiệu $\exists$ đọc là "tồn tại" (có ít nhất một).
Ví dụ.
• "Mọi số thực đều có bình phương không âm" viết là $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$. Mệnh đề này đúng.
• "Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2" viết là $\exists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2$. Mệnh đề này sai (chỉ có $x=\pm\sqrt{2}$ thỏa mãn, nhưng đó là số vô tỉ).
Cách xét đúng sai:
• Mệnh đề "$\forall x$, …" chỉ cần tìm được một giá trị $x$ làm câu sai là mệnh đề sai.
• Mệnh đề "$\exists x$, …" chỉ cần tìm được một giá trị $x$ làm câu đúng là mệnh đề đúng.
Phủ định mệnh đề có $\forall$, $\exists$: đổi $\forall$ thành $\exists$, đổi $\exists$ thành $\forall$, và phủ định phần tính chất phía sau.
| Mệnh đề | Mệnh đề phủ định |
|---|---|
| $\forall x \in X,\ P(x)$ | $\exists x \in X,\ \overline{P(x)}$ |
| $\exists x \in X,\ P(x)$ | $\forall x \in X,\ \overline{P(x)}$ |
Ví dụ.
• Phủ định của "$\forall n \in \mathbb{N},\ n\cdot 1 = n$" là "$\exists n \in \mathbb{N},\ n\cdot 1 \ne n$".
• Phủ định của $P$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2+1=0$" là $\overline{P}$: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2+1 \ne 0$". Mệnh đề $\overline{P}$ đúng vì $x^2+1 \ge 1$ với mọi $x$.
Chú ý khi phủ định: phủ định của "$\lt$" là "$\ge$", của "$\gt$" là "$\le$", của "$=$" là "$\ne$".
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.
Lời giải
a) Là mệnh đề, vì đây là câu khẳng định có thể kiểm tra được đúng hay sai (dựa vào số liệu dân số).
b) Không là mệnh đề, vì đây là câu hỏi.
c) Không là mệnh đề, vì đây là câu cầu khiến (yêu cầu, ra lệnh).
d) Không là mệnh đề, vì đây là câu nói về việc chưa xảy ra, không xác định được đúng hay sai.
Vậy chỉ có câu a là mệnh đề.
Bài 1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) $\pi \gt \dfrac{10}{3}$;
b) Phương trình $3x+7=0$ có nghiệm;
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2 022 là hợp số.
Lời giải
a) Ta có $\pi \approx 3{,}14$ và $\dfrac{10}{3}$ $\approx 3{,}33$ nên $\pi \lt \dfrac{10}{3}$. Mệnh đề sai.
b) Phương trình $3x+7=0$ có nghiệm $x=-\dfrac{7}{3}$. Mệnh đề đúng.
c) Số 0 thỏa mãn vì $0+0=0$. Mệnh đề đúng.
d) 2 022 chia hết cho 2 (và lớn hơn 2) nên có nhiều hơn hai ước, do đó 2 022 là hợp số. Mệnh đề đúng.
Bài 1.3. Cho hai câu sau:
$P$: "Tam giác $ABC$ là tam giác vuông";
$Q$: "Tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại".
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.
Lời giải
$P \Leftrightarrow Q$: "Tam giác $ABC$ là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại".
Ta kiểm tra cả hai chiều.
• $P \Rightarrow Q$: Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $\widehat{A}=90^\circ$, suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}$ $=180^\circ-90^\circ$ $=90^\circ$ $=\widehat{A}$. Chiều này đúng.
• $Q \Rightarrow P$: Nếu $\widehat{A}$ $=\widehat{B}+\widehat{C}$ thì $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ $=2\widehat{A}$ $=180^\circ$, suy ra $\widehat{A}=90^\circ$, tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chiều này đúng.
Vậy mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng.
Bài 1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.
$P$: "Nếu số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là 5 thì $n$ chia hết cho 5";
$Q$: "Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau".
Lời giải
• Mệnh đề đảo của $P$: "Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 5 thì $n$ có chữ số tận cùng là 5". Mệnh đề này sai, chẳng hạn $n=10$ chia hết cho 5 nhưng có chữ số tận cùng là 0.
• Mệnh đề đảo của $Q$: "Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật". Mệnh đề này sai, chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình chữ nhật.
Bài 1.5. Với hai số thực $a$ và $b$, xét các mệnh đề $P$: "$a^2 \lt b^2$" và $Q$: "$0 \lt a \lt b$".
a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.
Lời giải
a) $P \Rightarrow Q$: "Nếu $a^2 \lt b^2$ thì $0 \lt a \lt b$".
b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu $0 \lt a \lt b$ thì $a^2 \lt b^2$".
c) • Mệnh đề ở câu a sai. Chẳng hạn $a=-1$, $b=2$ có $a^2=1 \lt 4=b^2$ nhưng $a \lt 0$.
• Mệnh đề ở câu b đúng. Vì $0 \lt a \lt b$ nên $b-a \gt 0$ và $b+a \gt 0$, do đó $b^2-a^2=(b-a)(b+a) \gt 0$, tức là $a^2 \lt b^2$.
Bài 1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.
$Q$: "$\exists n \in \mathbb{N},\ n$ chia hết cho $n+1$".
Lời giải
Với $n=0$ ta có $n+1=1$ và 0 chia hết cho 1. Vậy có ít nhất một số tự nhiên thỏa mãn, mệnh đề $Q$ đúng.
Mệnh đề phủ định: $\overline{Q}$: "$\forall n \in \mathbb{N},\ n$ không chia hết cho $n+1$". (Mệnh đề này sai.)
Bài 1.7. Dùng kí hiệu $\forall$, $\exists$ để viết các mệnh đề sau:
$P$: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";
$Q$: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 0".
Lời giải
$P$: "$\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \ge n$".
$Q$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x+x=0$".
Bình luận
Viết bình luận của bạn