Bài học Tích vô hướng của hai vectơ (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IV) giúp các em biết cách xác định góc giữa hai vectơ, tính tích vô hướng bằng định nghĩa và bằng tọa độ, dùng tích vô hướng để tính góc, chứng minh vuông góc và liên hệ với công của lực trong Vật lí. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $A$ tùy ý, vẽ $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$. Số đo góc $BAC$ gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$, kí hiệu $(\vec{u},\,\vec{v})$.
Chú ý quan trọng: phải đưa hai vectơ về chung điểm đầu rồi mới đọc góc.
• $0^\circ \le (\vec{u},\,\vec{v}) \le 180^\circ$.
• $(\vec{u},\,\vec{v})=0^\circ$ khi hai vectơ cùng hướng; $(\vec{u},\,\vec{v})=180^\circ$ khi hai vectơ ngược hướng.
• Nếu $(\vec{u},\,\vec{v})=90^\circ$ thì $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc, kí hiệu $\vec{u}\perp\vec{v}$.
• Quy ước: góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận giá trị tùy ý từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.
Ví dụ. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B}=30^\circ$. Lấy $D$ sao cho $B$ là trung điểm của $AD$ (khi đó $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}$).
• $(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})$ $=\widehat{BAC}=90^\circ$;
• $(\overrightarrow{CA},\,\overrightarrow{CB})$ $=\widehat{ACB}=60^\circ$;
• $(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC})$ $=(\overrightarrow{BD},\,\overrightarrow{BC})$ $=\widehat{DBC}=150^\circ$ (không phải $30^\circ$, vì $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ không chung điểm đầu).
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu $\vec{u}\cdot\vec{v}$, được tính bởi
$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\vec{u},\,\vec{v})$.
• Góc nhọn thì tích vô hướng dương, góc tù thì tích vô hướng âm.
• $\vec{u}\perp\vec{v}$ $\Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
• Bình phương vô hướng: $\vec{u}^{\,2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2$. Riêng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ ta có $\overrightarrow{AB}^{\,2}=AB^2$.
Ví dụ. Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ (đường chéo bằng $a\sqrt{2}$):
• $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ vì $AB\perp AD$;
• $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ $=a\cdot a\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ=a^2$;
• $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}$ $=a\cdot a\sqrt{2}\cdot\cos 135^\circ=-a^2$.
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Với $\vec{u}=(x;\,y)$, $\vec{v}=(x';\,y')$:
• $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ (hoành nhân hoành cộng tung nhân tung);
• $\vec{u}\perp\vec{v}$ $\Leftrightarrow xx'+yy'=0$;
• $\cos(\vec{u},\,\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$ (với $\vec{u}$, $\vec{v}$ khác $\vec{0}$).
Công thức tính côsin viết đầy đủ theo tọa độ:
\[\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{x'^2+y'^2}}.\]Ví dụ. $\vec{u}=(2;\,-3)$, $\vec{v}=(5;\,3)$ thì $\vec{u}\cdot\vec{v}$ $=2\cdot 5+(-3)\cdot 3=1$. Còn $\vec{i}\cdot\vec{j}=1\cdot 0+0\cdot 1=0$.
4. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực $k$:
• $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ (giao hoán);
• $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})$ $=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ (phân phối);
• $(k\vec{u})\cdot\vec{v}$ $=k(\vec{u}\cdot\vec{v})=\vec{u}\cdot(k\vec{v})$.
Từ đó có các "hằng đẳng thức" giống như với số:
• $(\vec{u}+\vec{v})^2$ $=\vec{u}^{\,2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{\,2}$;
• $(\vec{u}-\vec{v})^2$ $=\vec{u}^{\,2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{\,2}$;
• $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $=\vec{u}^{\,2}-\vec{v}^{\,2}$.
Lưu ý: $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ và $\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})$ nói chung khác nhau (một vectơ cùng phương với $\vec{c}$, một vectơ cùng phương với $\vec{a}$).
5. Liên hệ với Vật lí
Lực $\vec{F}$ không đổi làm điểm đặt dời từ $M$ đến $N$ thì công của lực là $A=\vec{F}\cdot\overrightarrow{MN}$ $=|\vec{F}|\cdot MN\cdot\cos(\vec{F},\,\overrightarrow{MN})$.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.21. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\vec{a}=(-3;\,1)$, $\vec{b}=(2;\,6)$;
b) $\vec{a}=(3;\,1)$, $\vec{b}=(2;\,4)$;
c) $\vec{a}=(-\sqrt{2};\,1)$, $\vec{b}=(2;\,-\sqrt{2})$.
Lời giải
a) $\vec{a}\cdot\vec{b}=(-3)\cdot 2+1\cdot 6=0$ nên $\vec{a}\perp\vec{b}$. Vậy $(\vec{a},\,\vec{b})=90^\circ$.
b) $\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot 2+1\cdot 4=10$; $|\vec{a}|=\sqrt{10}$; $|\vec{b}|=\sqrt{20}$. Do đó
\[\begin{aligned}\cos(\vec{a},\vec{b})&=\frac{10}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}\\&=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{aligned}\]Vậy $(\vec{a},\,\vec{b})=45^\circ$.
c) $\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\sqrt{2}-\sqrt{2}=-3\sqrt{2}$; $|\vec{a}|=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$; $|\vec{b}|=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$. Do đó
\[\begin{aligned}\cos(\vec{a},\vec{b})&=\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}\\&=\frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=-1.\end{aligned}\]Vậy $(\vec{a},\,\vec{b})=180^\circ$ (hai vectơ ngược hướng; thật vậy $\vec{b}=-\sqrt{2}\,\vec{a}$).
Bài 4.22. Tìm điều kiện của $\vec{u}$, $\vec{v}$ để:
a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|$;
b) $\vec{u}\cdot\vec{v}=-|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|$.
Lời giải
Nếu một trong hai vectơ là $\vec{0}$ thì cả hai đẳng thức đều đúng (hai vế bằng 0). Xét $\vec{u}$, $\vec{v}$ đều khác $\vec{0}$, khi đó $|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\ne 0$.
a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|$ $\Leftrightarrow \cos(\vec{u},\,\vec{v})=1$ $\Leftrightarrow (\vec{u},\,\vec{v})=0^\circ$, tức là $\vec{u}$, $\vec{v}$ cùng hướng.
b) $\vec{u}\cdot\vec{v}=-|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|$ $\Leftrightarrow \cos(\vec{u},\,\vec{v})=-1$ $\Leftrightarrow (\vec{u},\,\vec{v})=180^\circ$, tức là $\vec{u}$, $\vec{v}$ ngược hướng.
(Vì vectơ-không được coi là cùng hướng với mọi vectơ, ta có thể nói gọn: a) đúng khi $\vec{u}$, $\vec{v}$ cùng hướng; b) đúng khi $\vec{u}$, $\vec{v}$ ngược hướng hoặc một trong hai vectơ bằng $\vec{0}$.)
Bài 4.23. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;\,2)$, $B(-4;\,3)$. Gọi $M(t;\,0)$ là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}$ theo $t$.
b) Tìm $t$ để $\widehat{AMB}=90^\circ$.
Lời giải
a) $\overrightarrow{AM}=(t-1;\,-2)$, $\overrightarrow{BM}=(t+4;\,-3)$. Do đó
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}$ $=(t-1)(t+4)+(-2)(-3)$
$=t^2+3t-4+6$ $=t^2+3t+2$.
b) $M$ nằm trên trục hoành nên $M$ khác $A$ và $B$. Ta có
$\widehat{AMB}=90^\circ$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0$
$\Leftrightarrow t^2+3t+2=0$ $\Leftrightarrow t=-1$ hoặc $t=-2$.
Vậy $t=-1$ hoặc $t=-2$.
Bài 4.24. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4;\,1)$, $B(2;\,4)$, $C(2;\,-2)$.
a) Giải tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(6;\,3)$, $\overrightarrow{AC}=(6;\,-3)$, $\overrightarrow{BC}=(0;\,-6)$.
• Độ dài các cạnh: $AB=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$; $AC=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$; $BC=6$.
• Góc $A$:
\[\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{36-9}{45}=\frac{3}{5}.\]Suy ra $\widehat{A}\approx 53^\circ 8'$.
• Vì $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$, do đó $\widehat{B}=\widehat{C}$ $\approx\dfrac{180^\circ-53^\circ 8'}{2}$ $=63^\circ 26'$.
b) Gọi $H(x;\,y)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=(x+4;\,y-1)$, $\overrightarrow{BH}=(x-2;\,y-4)$.
$H$ là trực tâm nên $AH\perp BC$ và $BH\perp AC$, ta có hai phương trình:
• $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ $\Leftrightarrow 0\cdot(x+4)-6(y-1)=0$ $\Leftrightarrow y=1$;
• $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ $\Leftrightarrow 6(x-2)-3(y-4)=0$ $\Leftrightarrow 2x-y=0$.
Giải hệ ta được $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=1$. Vậy $H\left(\dfrac{1}{2};\,1\right)$.
Bài 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$,
\[S_{ABC}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2\cdot\overrightarrow{AC}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}.\]Lời giải
Đặt $S=S_{ABC}$. Ta đã biết $S=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A$, nên
$4S^2=AB^2\cdot AC^2\cdot\sin^2 A$
$=AB^2\cdot AC^2\,(1-\cos^2 A)$
$=AB^2\cdot AC^2-(AB\cdot AC\cdot\cos A)^2$.
Mặt khác:
• $AB^2=\overrightarrow{AB}^{\,2}$, $AC^2=\overrightarrow{AC}^{\,2}$;
• $AB\cdot AC\cdot\cos A$ $=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ (vì $(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}$).
Do đó $4S^2=\overrightarrow{AB}^{\,2}\cdot\overrightarrow{AC}^{\,2}-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2$. Vì $S \gt 0$, lấy căn bậc hai hai vế rồi chia cho 2 ta được điều phải chứng minh.
Bài 4.26. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$,
$MA^2+MB^2+MC^2$ $=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$.
Lời giải
Chèn điểm $G$ và dùng hằng đẳng thức:
• $MA^2=\overrightarrow{MA}^{\,2}$ $=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2$ $=MG^2+2\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}+GA^2$;
• $MB^2=MG^2+2\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GB}+GB^2$;
• $MC^2=MG^2+2\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GC}+GC^2$.
Cộng vế theo vế:
$MA^2+MB^2+MC^2$ $=3MG^2$ $+2\overrightarrow{MG}\cdot(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ $+GA^2+GB^2+GC^2$.
Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, ta có điều phải chứng minh.
Bình luận
Viết bình luận của bạn