Bài học Số gần đúng và sai số (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương V) giúp các em hiểu số gần đúng, sai số tuyệt đối, độ chính xác, sai số tương đối và cách làm tròn số gần đúng. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp ta không biết (hoặc khó biết) số đúng, kí hiệu $\overline{a}$, mà chỉ tìm được một giá trị xấp xỉ nó. Giá trị đó gọi là số gần đúng, kí hiệu $a$.
Ví dụ. Đường chéo hình vuông cạnh 1 là $d=\sqrt{2}$: $\sqrt{2}$ là số đúng, còn 1,41 là một số gần đúng của $d$. Các kết quả đo đạc (chiều cao một ngọn núi, cân nặng một bao gạo…) đều là số gần đúng.
2. Sai số tuyệt đối và độ chính xác
• Sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$ là $\Delta_a=|a-\overline{a}|$ (khoảng cách giữa số gần đúng và số đúng).
• Nếu $\Delta_a \le d$ thì ta viết $\overline{a}=a\pm d$, nghĩa là số đúng nằm trong đoạn $[a-d;\,a+d]$. Số $d$ gọi là độ chính xác của số gần đúng.
Thường ta không biết $\overline{a}$ nên không tính được $\Delta_a$, nhưng biết được $\Delta_a$ không vượt quá một số $d$ nào đó. $d$ càng nhỏ thì $a$ càng gần số đúng.
Ví dụ. Bao gạo ghi khối lượng $5\pm 0{,}2$ kg: số gần đúng là 5 kg, độ chính xác $d=0{,}2$ kg, khối lượng thực nằm trong đoạn $[4{,}8;\,5{,}2]$ (kg).
Chú ý. Khi đo bằng dụng cụ, độ chính xác bằng một nửa đơn vị (một nửa vạch chia nhỏ nhất) của dụng cụ đo. Chẳng hạn thước chia vạch đến centimét thì $d=0{,}5$ cm.
3. Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng $a$ là $\delta_a=\dfrac{\Delta_a}{|a|}$.
Nếu $\overline{a}=a\pm d$ thì $\delta_a \le \dfrac{d}{|a|}$. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.
Ý nghĩa: sai số tương đối dùng để so sánh độ chính xác của các phép đo có độ lớn khác nhau. $\dfrac{d}{|a|}$ càng nhỏ thì phép đo càng chính xác.
Ví dụ. Dây chuyền A đóng bao $5\pm 0{,}2$ kg, dây chuyền B đóng bao $20\pm 0{,}5$ kg.
• Dây chuyền A: $\delta \le \dfrac{0{,}2}{5}=4\%$.
• Dây chuyền B: $\delta \le \dfrac{0{,}5}{20}=2{,}5\%$.
Tuy độ chính xác của A nhỏ hơn ($0{,}2 \lt 0{,}5$) nhưng sai số tương đối của B nhỏ hơn, nên dây chuyền B đóng gói tốt hơn.
4. Quy tròn số gần đúng
Quy tắc làm tròn đến một hàng nào đó:
• Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số hàng làm tròn; lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng chữ số hàng làm tròn thêm 1.
• Các chữ số sau hàng làm tròn: bỏ đi nếu ở phần thập phân; thay bằng chữ số 0 nếu ở phần nguyên.
Số thu được gọi là số quy tròn, đó cũng là một số gần đúng.
Ví dụ. Làm tròn 2 359,3 đến hàng chục được 2 360; làm tròn 18,693 đến hàng phần trăm được 18,69.
Nhận xét.
• Sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn. Ví dụ làm tròn đến hàng đơn vị thì sai số không quá 0,5.
• Cho số gần đúng $a$ với độ chính xác $d$. Khi được yêu cầu làm tròn mà không nói rõ hàng nào thì ta làm tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
Ví dụ. $a=581\,268$, $d=200$. Đơn vị hàng trăm là 100, mà $d=200$ không nhỏ hơn 100; đơn vị hàng nghìn là 1000 và $200 \lt 1000$. Do đó làm tròn $a$ đến hàng nghìn: số quy tròn là 581 000.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.
b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.
Lời giải
a) 10,2 kg là kết quả đo bằng cân nên là số gần đúng.
b) Trái Đất không phải hình cầu hoàn hảo, 6 371 km là bán kính trung bình đo đạc được nên là số gần đúng.
c) Thực tế Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất khoảng 365 ngày 6 giờ (khoảng 365,25 ngày), nên 365 ngày là số gần đúng.
Vậy cả ba số đều là số gần đúng.
Bài 5.2. Giải thích kết quả "Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là $1\,235\pm 5$ m" và thực hiện làm tròn số gần đúng.
Lời giải
• Kết quả trên có nghĩa là: số gần đúng là $a=1\,235$ m, độ chính xác $d=5$ m. Độ cao thực $\overline{a}$ của ngọn núi nằm trong đoạn $[1\,235-5;\,1\,235+5]$, tức là từ 1 230 m đến 1 240 m.
• Làm tròn: $d=5$ không nhỏ hơn 1 (đơn vị hàng đơn vị) nhưng nhỏ hơn 10 (đơn vị hàng chục), nên ta làm tròn $a$ đến hàng chục.
Chữ số hàng đơn vị của 1 235 là 5 nên tăng chữ số hàng chục thêm 1. Số quy tròn là 1 240 m.
Bài 5.3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác 0,0005.
Lời giải
Bấm máy tính: $\sqrt[3]{7}\approx 1{,}912931183$.
Độ chính xác $d=0{,}0005$ nhỏ hơn 0,001 (đơn vị hàng phần nghìn) nên ta làm tròn đến hàng phần nghìn. Chữ số hàng phần chục nghìn là 9 (lớn hơn 5) nên tăng chữ số hàng phần nghìn thêm 1:
$\sqrt[3]{7}\approx 1{,}913$.
Kiểm tra: sai số $|1{,}913-\sqrt[3]{7}|$ $\approx 0{,}00007 \lt 0{,}0005$.
Bài 5.4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:
$67{,}31\pm 0{,}96$; $67{,}90\pm 0{,}55$; $67{,}74\pm 0{,}46$.
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?
Lời giải
Sai số tương đối của mỗi phương pháp:
• Phương pháp 1: $\delta_1 \le \dfrac{0{,}96}{67{,}31}\approx 1{,}43\%$;
• Phương pháp 2: $\delta_2 \le \dfrac{0{,}55}{67{,}90}\approx 0{,}81\%$;
• Phương pháp 3: $\delta_3 \le \dfrac{0{,}46}{67{,}74}\approx 0{,}68\%$.
Phương pháp thứ ba có sai số tương đối nhỏ nhất nên là phương pháp chính xác nhất.
Bài 5.5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:
Kết quả của An: $S_1=2\pi R\approx 2\cdot 3{,}14\cdot 2$ $=12{,}56$ cm;
Kết quả của Bình: $S_2=2\pi R\approx 2\cdot 3{,}1\cdot 2$ $=12{,}4$ cm.
Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
b) Giá trị nào chính xác hơn?
Lời giải
a) Chu vi đúng là $\overline{S}=2\pi\cdot 2=4\pi$ cm. Vì $\pi$ là số vô tỉ, An và Bình đã thay $\pi$ bởi các số gần đúng 3,14 và 3,1, nên cả 12,56 cm và 12,4 cm đều là số gần đúng của chu vi.
b) Ta có $3{,}1 \lt 3{,}14 \lt \pi$ nên $12{,}4 \lt 12{,}56 \lt 4\pi$. Do đó
$|4\pi-12{,}56| \lt |4\pi-12{,}4|$.
Cụ thể: $|4\pi-12{,}56|\approx 0{,}0064$; $\ |4\pi-12{,}4|\approx 0{,}1664$.
Vậy kết quả của An chính xác hơn.
Bài 5.6. Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.
Lời giải
• Làm tròn 8 316,4 đến hàng chục: chữ số hàng đơn vị là 6 (lớn hơn 5) nên số quy tròn là 8 320.
Sai số tuyệt đối: $|8\,320-8\,316{,}4|=3{,}6$.
• Làm tròn 9,754 đến hàng phần trăm: chữ số hàng phần nghìn là 4 (nhỏ hơn 5) nên số quy tròn là 9,75.
Sai số tuyệt đối: $|9{,}75-9{,}754|=0{,}004$.
Bình luận
Viết bình luận của bạn