Bài học Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương V) giúp các em tính và hiểu ý nghĩa của số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu, biết chọn số đặc trưng phù hợp để đại diện cho mẫu số liệu. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Số trung bình
Số trung bình (trung bình cộng) của mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là
\[\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}.\]Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số (giá trị $x_k$ xuất hiện $m_k$ lần) thì
\[\overline{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\ldots+m_kx_k}{n},\]với $n=m_1+m_2+\ldots+m_k$.
Ý nghĩa: số trung bình cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
Ví dụ. Số sách mỗi bạn trong lớp đọc trong năm:
| Số cuốn sách | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Số bạn | 3 | 5 | 15 | 10 | 7 |
Số bạn: $n=3+5+15+10+7=40$. Trung bình mỗi bạn đọc
\[\begin{aligned}\overline{x}&=\frac{3\cdot 1+5\cdot 2+15\cdot 3+10\cdot 4+7\cdot 5}{40}\\&=\frac{133}{40}=3{,}325\end{aligned}\](cuốn sách).
2. Trung vị
Để tìm trung vị (kí hiệu $M_e$) của một mẫu số liệu:
• Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm (từ bé đến lớn).
• Nếu số giá trị $n$ là số lẻ thì trung vị là giá trị chính giữa. Nếu $n$ là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.
Ví dụ. Công ty có 1 giám đốc lương 20 triệu đồng và 5 nhân viên, mỗi người lương 4 triệu đồng.
• Lương trung bình: $\dfrac{20+5\cdot 4}{6}\approx 6{,}67$ (triệu đồng), cao hơn hẳn lương của mọi nhân viên, nên không phản ánh đúng thực tế.
• Sắp xếp: 4; 4; 4; 4; 4; 20. Có 6 giá trị, hai giá trị chính giữa đều bằng 4, nên $M_e=4$ (triệu đồng).
Ý nghĩa: trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số), còn số trung bình thì bị ảnh hưởng. Vì vậy khi mẫu số liệu có giá trị bất thường, ta nên dùng trung vị để đại diện.
3. Tứ phân vị
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có $n$ giá trị:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_1$.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_3$.
$Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ gọi là các tứ phân vị. $Q_1$ là tứ phân vị thứ nhất (tứ phân vị dưới), $Q_3$ là tứ phân vị thứ ba (tứ phân vị trên).
Ý nghĩa: ba số $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng 25% số giá trị.
Ví dụ. Điểm của 12 thí sinh cao điểm nhất, đã sắp xếp:
58 69 69 74 75 75 77 81 87 88 92 97.
• $n=12$ chẵn, hai giá trị chính giữa là 75 và 77, nên $Q_2=\dfrac{75+77}{2}=76$.
• Nửa trái: 58 69 69 74 75 75, nên $Q_1=\dfrac{69+74}{2}=71{,}5$.
• Nửa phải: 77 81 87 88 92 97, nên $Q_3=\dfrac{87+88}{2}=87{,}5$.
Nếu muốn chia đều 4 giải (mỗi giải 3 thí sinh) thì các ngưỡng điểm là 71,5; 76; 87,5.
4. Mốt
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
• Mốt có thể không duy nhất. Ví dụ mẫu 8; 7; 10; 9; 7; 5; 7; 8; 8 có hai mốt là 7 và 8 (đều xuất hiện 3 lần).
• Nếu các giá trị xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.
• Mốt dùng được cả với dữ liệu không phải là số (ví dụ: lựa chọn được nhiều người bình chọn nhất).
Ý nghĩa: dùng mốt để đại diện khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau (ví dụ cửa hàng giày nên nhập nhiều nhất cỡ giày là mốt).
5. Chọn số đặc trưng nào để đại diện?
• Mẫu số liệu không có giá trị bất thường: dùng số trung bình.
• Mẫu số liệu có giá trị bất thường: dùng trung vị.
• Mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau hoặc là dữ liệu không phải số: dùng mốt.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà 5 vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9 8 15 8 20.
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250.
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35.
Lời giải
a) Sắp xếp: 8 8 9 15 20 ($n=5$).
• Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{8+8+9+15+20}{5}$ $=\dfrac{60}{5}=12$.
• $n=5$ lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa: $M_e=Q_2=9$.
• Nửa trái 8; 8 nên $Q_1=8$. Nửa phải 15; 20 nên $Q_3=\dfrac{15+20}{2}=17{,}5$.
• Mốt là 8 (xuất hiện 2 lần).
b) Sắp xếp: 250 300 300 300 350 450 500 650 ($n=8$).
• Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{3\,100}{8}=387{,}5$ (nghìn đồng).
• Hai giá trị chính giữa là 300 và 350, nên $M_e=Q_2=325$.
• Nửa trái 250; 300; 300; 300 nên $Q_1=\dfrac{300+300}{2}=300$.
• Nửa phải 350; 450; 500; 650 nên $Q_3=\dfrac{450+500}{2}=475$.
• Mốt là 300 (xuất hiện 3 lần).
c) Sắp xếp: 30 32 33 34 34 35 36 38 ($n=8$).
• Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{272}{8}=34$.
• Hai giá trị chính giữa đều là 34, nên $M_e=Q_2=34$.
• Nửa trái 30; 32; 33; 34 nên $Q_1=\dfrac{32+33}{2}=32{,}5$.
• Nửa phải 34; 35; 36; 38 nên $Q_3=\dfrac{35+36}{2}=35{,}5$.
• Mốt là 34 (xuất hiện 2 lần).
Bài 5.8. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh (theo NASA):
| Hành tinh | Số mặt trăng |
|---|---|
| Thủy tinh | 0 |
| Kim tinh | 0 |
| Trái Đất | 1 |
| Hỏa tinh | 2 |
| Mộc tinh | 63 |
| Thổ tinh | 34 |
| Thiên Vương tinh | 27 |
| Hải Vương tinh | 13 |
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 14 23.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 80 102 83 103 108 94 110 106 104 100.
d) Các sai số trong một phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42.
Lời giải
a) Các giá trị chênh lệch rất lớn (từ 0 đến 63), có những giá trị rất lớn so với đa số, nên dùng trung vị.
Sắp xếp: 0 0 1 2 13 27 34 63. Hai giá trị chính giữa là 2 và 13, nên $M_e=\dfrac{2+13}{2}=7{,}5$.
b) Các giá trị khá đồng đều, không có giá trị bất thường, nên dùng số trung bình:
$\overline{x}=\dfrac{32+24+20+14+23}{5}$ $=\dfrac{113}{5}=22{,}6$.
c) Các giá trị không chênh lệch quá nhiều, không có giá trị bất thường, nên dùng số trung bình:
$\overline{x}=\dfrac{990}{10}=99$.
d) Mẫu có nhiều giá trị lặp lại, đồng thời có giá trị 42 lớn bất thường, nên dùng mốt. Giá trị 15 xuất hiện nhiều nhất (3 lần), nên mốt bằng 15.
(Trung vị của mẫu này cũng bằng 15: sắp xếp 10 12 13 14 14 15 15 15 18 42 42, giá trị chính giữa là 15.)
Bài 5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:
0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Lời giải
a) Sắp xếp: 0 0 0 0 0 0 0 4 6 10 ($n=10$).
• Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{4+10+6}{10}=2$.
• Mốt là 0 (xuất hiện 7 lần).
• Hai giá trị chính giữa (thứ 5 và thứ 6) đều bằng 0, nên $Q_2=0$.
• Nửa trái 0; 0; 0; 0; 0 nên $Q_1=0$.
• Nửa phải 0; 0; 4; 6; 10 nên $Q_3=4$.
b) Có tới 7 trong 10 trường (hơn một nửa) không có học sinh giỏi Quốc gia, nên giá trị 0 chiếm toàn bộ nửa đầu và cả vị trí chính giữa của dãy đã sắp xếp. Vì vậy $Q_1$ và $Q_2$ đều bằng 0.
Bài 5.10. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng, theo vov.vn).
| Sân vận động | Số chỗ ngồi |
|---|---|
| Cẩm Phả | 20 120 |
| Thiên Trường | 21 315 |
| Hàng Đẫy | 23 405 |
| Thanh Hóa | 20 120 |
| Mỹ Đình | 37 546 |
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?
Lời giải
• Khi có sân Mỹ Đình. Sắp xếp: 20 120; 20 120; 21 315; 23 405; 37 546.
+ Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{122\,506}{5}=24\,501{,}2$.
+ Trung vị: $M_e=21\,315$.
+ Mốt: 20 120.
• Khi bỏ sân Mỹ Đình. Còn: 20 120; 20 120; 21 315; 23 405.
+ Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{84\,960}{4}=21\,240$.
+ Trung vị: $M_e=\dfrac{20\,120+21\,315}{2}=20\,717{,}5$.
+ Mốt: 20 120.
• Nhận xét. Số trung bình giảm mạnh (giảm 3 261,2) vì 37 546 là giá trị lớn bất thường; trung vị chỉ giảm ít (giảm 597,5); mốt không thay đổi.
Bình luận
Viết bình luận của bạn