Bài học Các số đặc trưng đo độ phân tán (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương V) giúp các em tính và hiểu ý nghĩa của khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn, đồng thời biết cách phát hiện giá trị bất thường của mẫu số liệu. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Hai bạn có cùng điểm trung bình 8,0 nhưng một bạn có điểm các môn sát nhau, một bạn có môn rất cao, môn rất thấp. Các số đặc trưng đo độ phân tán cho biết các số liệu "rải rộng" hay "tập trung" đến mức nào.
1. Khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên $R$ là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu:
$R=x_{\max}-x_{\min}$.
Ý nghĩa: khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ. Điểm Toán Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8; Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8. Cả hai tổ đều có điểm trung bình bằng 8.
• Tổ 1: $R_1=9-7=2$. Tổ 2: $R_2=10-6=4$.
• $R_1 \lt R_2$ nên các bạn Tổ 1 học đồng đều hơn.
Nhược điểm: $R$ chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên rất dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
2. Khoảng tứ phân vị
Khoảng tứ phân vị là $\Delta_Q=Q_3-Q_1$.
Về bản chất, $\Delta_Q$ là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa mẫu đã sắp xếp, nên ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. $\Delta_Q$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ. Số ghế trống của rạp phim trong 9 ngày, đã sắp xếp: 7 8 11 13 15 18 19 20 22.
• $n=9$ lẻ nên $Q_2=15$ (giá trị thứ 5).
• Nửa trái 7 8 11 13 nên $Q_1=\dfrac{8+11}{2}=9{,}5$.
• Nửa phải 18 19 20 22 nên $Q_3=\dfrac{19+20}{2}=19{,}5$.
Vậy $\Delta_Q=19{,}5-9{,}5=10$.
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
Với mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ có số trung bình $\overline{x}$, mỗi hiệu $x_i-\overline{x}$ gọi là độ lệch của $x_i$ so với số trung bình.
• Phương sai là trung bình cộng các bình phương độ lệch:
\[s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+\ldots+(x_n-\overline{x})^2}{n}.\]• Độ lệch chuẩn là $s=\sqrt{s^2}$.
Ý nghĩa: phương sai, độ lệch chuẩn dùng thông tin của tất cả các giá trị. Chúng càng lớn thì số liệu càng phân tán (càng xa số trung bình). Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu.
Công thức tính nhanh (hay dùng khi bấm máy): $s^2=\dfrac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}-\overline{x}^{\,2}$.
Chú ý. Người ta còn dùng $\hat{s}^2=\dfrac{(x_1-\overline{x})^2+\ldots+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}$ để đo độ phân tán.
Ví dụ. Sĩ số 5 lớp: 43 45 46 41 40. Số trung bình $\overline{x}=\dfrac{215}{5}=43$.
| Giá trị | Độ lệch | Bình phương độ lệch |
|---|---|---|
| 43 | 0 | 0 |
| 45 | 2 | 4 |
| 46 | 3 | 9 |
| 41 | −2 | 4 |
| 40 | −3 | 9 |
| Tổng | 26 |
Phương sai $s^2=\dfrac{26}{5}=5{,}2$; độ lệch chuẩn $s=\sqrt{5{,}2}\approx 2{,}28$.
4. Phát hiện giá trị bất thường bằng biểu đồ hộp
Giá trị $x$ của mẫu số liệu được xem là giá trị bất thường nếu
$x \gt Q_3+1{,}5\cdot\Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1{,}5\cdot\Delta_Q$.
Ví dụ. Hàm lượng Natri (mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc có $Q_1=135$, $Q_2=180$, $Q_3=205$, giá trị nhỏ nhất 0, lớn nhất 340. Ta có $\Delta_Q=205-135=70$ và
• $Q_1-1{,}5\cdot\Delta_Q$ $=135-105=30$;
• $Q_3+1{,}5\cdot\Delta_Q$ $=205+105=310$.
Vậy 0 mg (bé hơn 30) và 340 mg (lớn hơn 310) là các giá trị bất thường. Biểu đồ hộp:
Hộp kéo dài từ $Q_1$ đến $Q_3$ (vạch giữa hộp là $Q_2$), hai "râu" kéo đến hai ngưỡng 30 và 310; các chấm nằm ngoài râu là giá trị bất thường.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Lời giải
(1) Sai. Số liệu càng tập trung quanh số trung bình thì các độ lệch càng nhỏ, nên độ lệch chuẩn càng nhỏ.
(2) Đúng, vì $R=x_{\max}-x_{\min}$.
(3) Sai. Khoảng tứ phân vị chỉ dùng $Q_1$ và $Q_3$, tức là thông tin của 50% số liệu chính giữa.
(4) Sai. Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của nửa chính giữa (50% số liệu ở giữa) mẫu số liệu đã sắp xếp, không phải nửa dưới.
(5) Đúng. $R\ge 0$ vì $x_{\max}\ge x_{\min}$; $\Delta_Q\ge 0$ vì $Q_3\ge Q_1$; $s^2$ là trung bình các bình phương nên không âm, và $s=\sqrt{s^2}\ge 0$.
Bài 5.12. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau (số chấm trên mỗi giá trị biểu diễn tần số của giá trị đó):
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?
Lời giải
a) • Cả hai mẫu đều có giá trị nhỏ nhất là 3 và giá trị lớn nhất là 9, nên có cùng khoảng biến thiên $R=9-3=6$.
• Cả hai biểu đồ đều đối xứng qua giá trị 6 (các chấm hai bên số 6 giống hệt nhau), nên hai mẫu có cùng số trung bình bằng 6.
b) Ở mẫu B, các giá trị dồn sát quanh 6 (chủ yếu là 5, 6, 7), còn ở mẫu A các giá trị rải đều từ 3 đến 9. Do đó số liệu mẫu A cách xa số trung bình nhiều hơn, nên mẫu A có phương sai lớn hơn.
Bài 5.13. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Lời giải
a) Khi nhân mỗi giá trị với 2 thì thứ tự các giá trị không đổi, và mọi giá trị đều gấp đôi:
• giá trị lớn nhất, nhỏ nhất gấp đôi nên $R$ gấp đôi;
• $Q_1$, $Q_3$ gấp đôi nên $\Delta_Q$ gấp đôi;
• số trung bình gấp đôi nên mỗi độ lệch $x_i-\overline{x}$ gấp đôi, bình phương độ lệch gấp 4 lần; do đó $s^2$ gấp 4 lần và $s$ gấp đôi.
b) Khi cộng mỗi giá trị với 2 thì toàn bộ số liệu "dịch chuyển" thêm 2 đơn vị:
• $x_{\max}$, $x_{\min}$, $Q_1$, $Q_3$ đều tăng 2 nên $R$ và $\Delta_Q$ không đổi;
• số trung bình cũng tăng 2 nên mỗi độ lệch $x_i-\overline{x}$ không đổi, do đó $s$ không đổi.
Bài 5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; $Q_1=36$; $Q_2=60$; $Q_3=100$; giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Lời giải
a) Có khoảng 25% số giá trị nhỏ hơn $Q_1=36$, nên tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là khoảng 75%.
b) Khoảng 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1=36$ và $Q_3=100$.
c) $\Delta_Q=Q_3-Q_1=100-36=64$.
Bài 5.15. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
2,977 3,155 3,920 3,412 4,236
2,593 3,270 3,813 4,042 3,387.
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Lời giải
Sắp xếp theo thứ tự không giảm:
2,593 2,977 3,155 3,270 3,387
3,412 3,813 3,920 4,042 4,236.
• Khoảng biến thiên: $R=4{,}236-2{,}593=1{,}643$ (kg).
• Nửa trái 2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387 nên $Q_1=3{,}155$. Nửa phải 3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236 nên $Q_3=3{,}920$.
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=3{,}920-3{,}155=0{,}765$ (kg).
• Số trung bình: $\overline{x}=\dfrac{34{,}805}{10}=3{,}4805$ (kg).
Tổng bình phương các độ lệch (bấm máy tính):
$(2{,}977-3{,}4805)^2+\ldots$ $+(3{,}387-3{,}4805)^2$ $\approx 2{,}3946$.
Phương sai $s^2\approx\dfrac{2{,}3946}{10}\approx 0{,}2395$, độ lệch chuẩn $s\approx\sqrt{0{,}2395}\approx 0{,}49$ (kg).
Bài 5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6
5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Sắp xếp theo thứ tự không giảm ($n=15$):
3,2 3,6 4,4 4,5 5,0 5,4 6,0 6,7
7,0 7,2 7,7 7,8 8,4 8,6 8,7.
• $n=15$ lẻ nên $Q_2=6{,}7$ (giá trị thứ 8).
• Nửa trái gồm 7 giá trị 3,2 … 6,0, giá trị chính giữa là 4,5 nên $Q_1=4{,}5$.
• Nửa phải gồm 7 giá trị 7,0 … 8,7, giá trị chính giữa là 7,8 nên $Q_3=7{,}8$.
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=7{,}8-4{,}5=3{,}3$. Ta có
• $Q_1-1{,}5\cdot\Delta_Q$ $=4{,}5-4{,}95=-0{,}45$;
• $Q_3+1{,}5\cdot\Delta_Q$ $=7{,}8+4{,}95=12{,}75$.
Mọi giá trị của mẫu đều nằm trong đoạn $[-0{,}45;\,12{,}75]$, nên mẫu số liệu không có giá trị bất thường.
Bình luận
Viết bình luận của bạn