Bài học Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I) giúp các em ôn lại khái niệm tập hợp, tập con, hai tập hợp bằng nhau, làm quen với các khoảng, đoạn, nửa khoảng trên trục số và thực hiện các phép giao, hợp, hiệu, phần bù. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Tập hợp và phần tử
• $a \in S$: phần tử $a$ thuộc tập hợp $S$.
• $a \notin S$: phần tử $a$ không thuộc tập hợp $S$.
Có hai cách viết một tập hợp:
• Cách 1. Liệt kê các phần tử, ví dụ $D=\{7;\,11;\,13;\,17;\,19\}$.
• Cách 2. Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử, ví dụ $D=\{n \in \mathbb{N}$ $\mid n \text{ là số nguyên tố},\ 5$ $\lt n \lt 20\}$.
Cách đọc cách 2: “$D$ là tập hợp các số tự nhiên $n$ sao cho $n$ là số nguyên tố và $5 \lt n \lt 20$”. Dấu “$\mid$” đọc là “sao cho”.
• Số phần tử của tập hợp $S$ kí hiệu là $n(S)$. Ví dụ $n(D)=5$.
• Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\varnothing$. Ví dụ: tập nghiệm của phương trình $x^2+1=0$ là $\varnothing$ (vì $x^2+1 \ge 1$ nên không bao giờ bằng 0).
2. Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của $T$ đều thuộc $S$ thì $T$ là tập con của $S$, viết $T \subset S$ (đọc là “$T$ chứa trong $S$”) hoặc $S \supset T$ (đọc là “$S$ chứa $T$”).
• Muốn kiểm tra $T \subset S$: lấy từng phần tử của $T$, xem nó có nằm trong $S$ không. Chỉ cần một phần tử của $T$ không thuộc $S$ là $T \not\subset S$.
• Quy ước: tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, $\varnothing \subset S$. Ngoài ra $S \subset S$.
Phân biệt $\in$ và $\subset$: $\in$ dùng giữa phần tử và tập hợp ($3 \in \{2;\,3;\,5\}$); $\subset$ dùng giữa tập hợp và tập hợp ($\{3\} \subset \{2;\,3;\,5\}$).
Ví dụ. Cho $S=\{2;\,3;\,5\}$. Tập $S_1=\{3\}$ và $S_3=\{3;\,5\}$ là tập con của $S$; tập $S_2=\{0;\,2\}$ không phải tập con của $S$ vì $0 \notin S$.
Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình kín gọi là biểu đồ Ven. Hình dưới minh họa $T \subset S$:
3. Hai tập hợp bằng nhau
$S=T$ khi mỗi phần tử của $T$ đều thuộc $S$ và ngược lại. Nói cách khác: $S \subset T$ và $T \subset S$ thì $S=T$.
Ví dụ. $C=\{n \in \mathbb{N}$ $\mid n \text{ là bội chung của 2 và 3},\ n$ $\lt 30\}$ và $D=\{n \in \mathbb{N}$ $\mid n \text{ là bội của 6},\ n$ $\lt 30\}$. Liệt kê ra ta được $C=D=\{0;\,6;\,12;\,18;\,24\}$, nên $C=D$.
4. Các tập hợp số
• Tập số tự nhiên $\mathbb{N}$ $=\{0;\,1;\,2;\,3;\ldots\}$.
• Tập số nguyên $\mathbb{Z}$ $=\{\ldots;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\ldots\}$.
• Tập số hữu tỉ $\mathbb{Q}$: gồm các số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \ne 0$ (là các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn).
• Tập số thực $\mathbb{R}$: gồm số hữu tỉ và số vô tỉ (số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, như $\sqrt{2}$, $\pi$).
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
5. Khoảng, đoạn, nửa khoảng
Đây là cách viết gọn các tập con của $\mathbb{R}$. Quy tắc dễ nhớ: dấu ngoặc vuông “[ ]” là LẤY đầu mút (ứng với dấu $\le$, $\ge$), dấu ngoặc tròn “( )” là KHÔNG LẤY đầu mút (ứng với dấu $\lt$, $\gt$). Phía $-\infty$, $+\infty$ luôn dùng ngoặc tròn.
| Tên gọi | Kí hiệu | Nghĩa là |
|---|---|---|
| Khoảng | $(a;\,b)$ | $a \lt x \lt b$ |
| $(a;\,+\infty)$ | $x \gt a$ | |
| $(-\infty;\,b)$ | $x \lt b$ | |
| $(-\infty;\,+\infty)$ $=\mathbb{R}$ | mọi số thực | |
| Đoạn | $[a;\,b]$ | $a \le x \le b$ |
| Nửa khoảng | $[a;\,b)$ | $a \le x \lt b$ |
| $(a;\,b]$ | $a \lt x \le b$ | |
| $[a;\,+\infty)$ | $x \ge a$ | |
| $(-\infty;\,b]$ | $x \le b$ |
Biểu diễn trên trục số: ta gạch bỏ phần không thuộc tập hợp, phần còn lại (không bị gạch) là tập hợp cần biểu diễn. Ví dụ $C=[2;\,7]$ và $D=(-\infty;\,2)$:
6. Các phép toán trên tập hợp
a) Giao (lấy phần chung):
$S \cap T=\{x$ $\mid x \in S \text{ và } x \in T\}$.
b) Hợp (lấy tất cả, phần tử chung chỉ viết một lần):
$S \cup T=\{x$ $\mid x \in S \text{ hoặc } x \in T\}$.
c) Hiệu (lấy phần của $S$ bỏ đi những phần tử thuộc $T$):
$S \setminus T$ $=\{x \mid x \in S \text{ và } x \notin T\}$.
d) Phần bù. Nếu $T \subset S$ thì $S \setminus T$ gọi là phần bù của $T$ trong $S$, kí hiệu $C_S T$. Chú ý $C_S S=\varnothing$.
Ví dụ.
• $C=\{4;\,7;\,27\}$, $D=\{2;\,4;\,9;\,27;\,36\}$ thì $C \cap D=\{4;\,27\}$.
• $C=\{2;\,3;\,4;\,7\}$, $D=\{-1;\,2;\,3;\,4;\,6\}$ thì $C \cup D=\{-1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,7\}$.
• $D=\{-2;\,3;\,5;\,6\}$, $E=\{2;\,3;\,5;\,7\}$ thì $D \setminus E=\{-2;\,6\}$, $E \setminus D=\{2;\,7\}$.
• Phần bù của $(-\infty;\,-2)$ trong $\mathbb{R}$ là $[-2;\,+\infty)$.
Phép toán với khoảng, đoạn: biểu diễn các tập trên cùng một trục số rồi đọc kết quả. Ví dụ $[1;\,+\infty) \cap (-\infty;\,3]$ $=[1;\,3]$ (phần không bị gạch ở cả hai tập).
Công thức đếm (rất hay dùng trong bài toán thực tế):
Lí do: khi cộng $n(A)+n(B)$, các phần tử chung bị đếm hai lần, nên phải trừ đi một lần.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.8. Gọi $X$ là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ và biểu diễn tập $X$ bằng biểu đồ Ven.
Lời giải
Việt Nam có đường biên giới trên đất liền với ba nước nên
$X=\{$Trung Quốc; Lào; Campuchia$\}$.
Biểu đồ Ven của tập $X$:
Bài 1.9. Kí hiệu $E$ là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.
a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$.
b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$.
c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp $E$. Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?
Lời giải
a) Việt Nam $\in E$, Thái Lan $\in E$.
b) Nhật Bản $\notin E$, Hàn Quốc $\notin E$.
c) $E=\{$Brunei; Campuchia; Đông Timor; Indonesia; Lào; Malaysia; Myanmar; Philippines; Singapore; Thái Lan; Việt Nam$\}$.
Tập hợp $E$ có 11 phần tử, tức là $n(E)=11$.
Bài 1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp: $A=\{0;\,4;\,8;\,12;\,16\}$.
Lời giải
Các phần tử của $A$ là các số tự nhiên chia hết cho 4 và nhỏ hơn 17 (hay nhỏ hơn hoặc bằng 16). Do đó
$A=\{n \in \mathbb{N}$ $\mid n \text{ chia hết cho } 4,\ n$ $\le 16\}$.
Cách viết khác: $A=\{4k \mid k \in \mathbb{N},\ k \le 4\}$.
Bài 1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?
$A=\{x \in \mathbb{R} \mid x^2-6=0\}$; $B=\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2-6=0\}$.
Lời giải
Ta có $x^2-6=0 \Leftrightarrow x^2$ $=6 \Leftrightarrow x$ $=\sqrt{6}$ hoặc $x=-\sqrt{6}$.
• Hai số $\pm\sqrt{6}$ là số thực nên $A=\{-\sqrt{6};\,\sqrt{6}\}$, $A$ không phải tập rỗng.
• Hai số $\pm\sqrt{6}$ không phải số nguyên nên $B=\varnothing$.
Vậy $B$ là tập rỗng.
Bài 1.12. Cho $X=\{a;\,b\}$. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.
a) $a \subset X$; b) $\{a\} \subset X$; c) $\varnothing \in X$.
Lời giải
a) Sai. $a$ là một phần tử của $X$, nên phải viết $a \in X$.
b) Đúng. $\{a\}$ là tập hợp có một phần tử $a$, mà $a \in X$, nên $\{a\}$ là tập con của $X$.
c) Sai. $\varnothing$ là một tập hợp, không phải phần tử của $X$. Viết đúng là $\varnothing \subset X$.
Bài 1.13. Cho $A=\{2;\,5\}$, $B=\{5;\,x\}$, $C=\{2;\,y\}$. Tìm $x$ và $y$ để $A=B=C$.
Lời giải
• $A=B$: tập $B$ phải có đúng các phần tử 2 và 5. $B$ đã có 5 nên $x=2$.
• $A=C$: tập $C$ phải có đúng các phần tử 2 và 5. $C$ đã có 2 nên $y=5$.
Vậy $x=2$ và $y=5$.
Bài 1.14. Cho $A=\{x \in \mathbb{Z} \mid x \lt 4\}$; $B=\{x \in \mathbb{Z}$ $\mid (5x-3x^2)(x^2+2x-3)=0\}$.
a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp $A$ và $B$.
b) Hãy xác định các tập hợp $A \cap B$, $A \cup B$ và $A \setminus B$.
Lời giải
a) $A$ gồm các số nguyên nhỏ hơn 4 nên $A=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3\}$.
Giải phương trình $(5x-3x^2)(x^2+2x-3)=0$.
• $5x-3x^2=0$ $\Leftrightarrow x(5-3x)$ $=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\dfrac{5}{3}$.
• $x^2+2x-3=0$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-3$.
Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên loại $x=\dfrac{5}{3}$. Vậy $B=\{-3;\,0;\,1\}$.
b) Mọi phần tử của $B$ đều nhỏ hơn 4 nên $B \subset A$. Do đó
• $A \cap B=\{-3;\,0;\,1\}$;
• $A \cup B=A$;
• $A \setminus B$ $=\{\ldots;\,-5;\,-4;\,-2;\,-1;\,2;\,3\}$ (bỏ các số $-3$, 0, 1 ra khỏi $A$).
Bài 1.15. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a) $(-4;\,1] \cap [0;\,3)$; b) $(0;\,2] \cup (-3;\,1]$;
c) $(-2;\,1] \cap (1;\,+\infty)$; d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty;\,3]$.
Lời giải
a) Phần chung của hai tập là các số thỏa mãn đồng thời $-4 \lt x \le 1$ và $0 \le x \lt 3$, tức là $0 \le x \le 1$.
$(-4;\,1] \cap [0;\,3)$ $=[0;\,1]$.
b) Gộp hai tập lại: các số thuộc $(-3;\,1]$ hoặc thuộc $(0;\,2]$ chạy từ $-3$ (không lấy) đến 2 (có lấy).
$(0;\,2] \cup (-3;\,1]$ $=(-3;\,2]$.
c) Tập $(-2;\,1]$ gồm các số $\le 1$, còn tập $(1;\,+\infty)$ gồm các số $\gt 1$, nên hai tập không có phần tử chung.
$(-2;\,1] \cap (1;\,+\infty)$ $=\varnothing$.
(Toàn bộ trục số bị gạch bỏ.)
d) Bỏ khỏi $\mathbb{R}$ các số $x \le 3$, còn lại các số $x \gt 3$.
$\mathbb{R} \setminus (-\infty;\,3]$ $=(3;\,+\infty)$.
Bài 1.16. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Lời giải
Gọi $A$ là tập hợp người phiên dịch tiếng Anh, $P$ là tập hợp người phiên dịch tiếng Pháp. Ta có $n(A)=35$, $n(P)=30$, $n(A \cap P)=16$.
a) Số người phiên dịch được huy động là $n(A \cup P)$ $=n(A)+n(P)-n(A \cap P)$, tức là
\[n(A \cup P)=35+30-16=49.\]b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh là $35-16=19$ (người).
c) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là $30-16=14$ (người).
Bình luận
Viết bình luận của bạn