Bài học Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương II) giúp các em nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn, kiểm tra một cặp số có phải là nghiệm hay không và biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ có một trong các dạng
$ax+by \le c$, $ax+by \ge c$, $ax+by \lt c$, $ax+by \gt c$,
trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.
Dấu hiệu nhận biết: hai ẩn $x$, $y$ chỉ có mũ 1, không nhân với nhau, không nằm ở mẫu hay trong căn.
Ví dụ. $2x+3y \lt 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Còn $2x^2+3y \lt 1$ thì không phải, vì có $x^2$.
2. Nghiệm của bất phương trình
Cặp số $(x_0;\,y_0)$ là một nghiệm của bất phương trình $ax+by \le c$ nếu thay $x=x_0$, $y=y_0$ vào thì được bất đẳng thức đúng: $ax_0+by_0 \le c$.
Ví dụ. Với bất phương trình $x+2y \gt 5$:
• Cặp $(3;\,4)$ là nghiệm vì $3+2\cdot 4=11 \gt 5$.
• Cặp $(0;\,-1)$ không là nghiệm vì $0+2\cdot(-1)=-2$, mà $-2 \lt 5$.
Nhận xét. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
3. Miền nghiệm
Tập hợp các điểm $(x;\,y)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ thỏa mãn bất phương trình gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Đường thẳng $d$: $ax+by=c$ chia mặt phẳng thành hai nửa:
• một nửa gồm các điểm có $ax+by \gt c$;
• nửa còn lại gồm các điểm có $ax+by \lt c$;
• các điểm nằm trên $d$ thì $ax+by=c$.
Như vậy, miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn là một nửa mặt phẳng. Ta chỉ cần thử một điểm để biết lấy nửa nào.
Cách biểu diễn miền nghiệm của $ax+by \le c$:
• Vẽ đường thẳng $d$: $ax+by=c$ (tìm 2 điểm thuộc $d$, thường là giao điểm với hai trục).
• Lấy một điểm $M_0(x_0;\,y_0)$ không nằm trên $d$, tính $ax_0+by_0$ rồi so sánh với $c$.
• Kết luận: nếu $M_0$ thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0$; nếu không thỏa mãn thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_0$.
• Ta gạch bỏ nửa mặt phẳng không phải miền nghiệm; miền nghiệm là phần không bị gạch.
Mẹo chọn điểm thử: nếu $d$ không đi qua gốc tọa độ ($c \ne 0$) thì thử ngay $O(0;\,0)$ vì tính rất nhanh. Nếu $d$ đi qua gốc tọa độ ($c=0$) thì thử điểm $(1;\,0)$ hoặc $(0;\,1)$.
Lấy bờ hay không? Với dấu $\le$, $\ge$: miền nghiệm kể cả đường thẳng $d$ (vẽ nét liền). Với dấu $\lt$, $\gt$: miền nghiệm không kể đường thẳng $d$ (vẽ $d$ bằng nét đứt).
Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của $x+y \ge 100$.
Vẽ $d$: $x+y=100$ đi qua $(100;\,0)$ và $(0;\,100)$. Thay $O(0;\,0)$: $0+0=0$, mà $0 \lt 100$ nên $O$ không thỏa mãn. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $O$, kể cả $d$ (phần không bị gạch).
Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của $5x-7y \le 0$.
Đường thẳng $d$: $5x-7y=0$ đi qua $O(0;\,0)$ và $(7;\,5)$. Vì $d$ đi qua $O$ nên ta thử điểm $M_0(0;\,1)$: $5\cdot 0-7\cdot 1=-7 \le 0$, thỏa mãn. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0$, kể cả $d$.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) $2x+3y \gt 6$; b) $2^2x+y \le 0$; c) $2x^2-y \ge 1$.
Lời giải
a) $2x+3y \gt 6$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (với $a=2$, $b=3$, $c=6$).
b) $2^2x+y \le 0$, tức là $4x+y \le 0$, là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý $2^2=4$ chỉ là hệ số, ẩn $x$ vẫn có mũ 1.
c) $2x^2-y \ge 1$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $x^2$.
Vậy các bất phương trình ở câu a và câu b là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) $3x+2y \ge 300$; b) $7x+20y \lt 0$.
Lời giải
a) Vẽ đường thẳng $d$: $3x+2y=300$.
• Cho $y=0$ thì $x=100$; cho $x=0$ thì $y=150$. Vậy $d$ đi qua $(100;\,0)$ và $(0;\,150)$.
• Thay $O(0;\,0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0$, mà $0 \lt 300$ nên $O$ không thỏa mãn bất phương trình.
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc tọa độ, kể cả đường thẳng $d$ (phần không bị gạch).
b) Vẽ đường thẳng $d$: $7x+20y=0$.
• Đường thẳng này đi qua $O(0;\,0)$ và điểm $(20;\,-7)$ (vì $7\cdot 20+20\cdot(-7)=0$).
• Vì $d$ đi qua gốc tọa độ nên ta thử điểm $M(1;\,0)$: $7\cdot 1+20\cdot 0=7$, mà $7 \gt 0$ nên $M$ không thỏa mãn.
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $(1;\,0)$, không kể đường thẳng $d$ (vẽ $d$ nét đứt). Đó là phần không bị gạch, nằm phía dưới $d$.
Bài 2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
| Phí cố định (nghìn đồng/ngày) | Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét) | |
|---|---|---|
| Từ thứ Hai đến thứ Sáu | 900 | 8 |
| Thứ Bảy và Chủ nhật | 1 500 | 10 |
a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
a) Ta tính từng khoản tiền (đơn vị nghìn đồng).
• Phí cố định 5 ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là $5\cdot 900=4500$.
• Phí cố định 2 ngày cuối tuần là $2\cdot 1500=3000$.
• Phí theo quãng đường là $8x+10y$.
Tổng số tiền là $4500+3000+8x+10y$ $=7500+8x+10y$. Số tiền không quá 14 triệu đồng, tức là không quá 14 000 nghìn đồng, nên
\[\begin{aligned}7500+8x+10y &\le 14000 \\&\Leftrightarrow 8x+10y \\&\le 6500.\end{aligned}\](Vì $x$, $y$ là số kilômét nên trong thực tế còn có $x \ge 0$, $y \ge 0$.)
b) Vẽ đường thẳng $d$: $8x+10y=6500$, đi qua hai điểm $(812{,}5;\,0)$ và $(0;\,650)$.
Thay $O(0;\,0)$: $8\cdot 0+10\cdot 0$ $=0 \le 6500$, thỏa mãn. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc tọa độ, kể cả đường thẳng $d$ (phần không bị gạch).
Kết hợp với điều kiện $x \ge 0$, $y \ge 0$, các cách đi phù hợp ứng với các điểm thuộc tam giác giới hạn bởi hai trục tọa độ và đường thẳng $d$.
Bình luận
Viết bình luận của bạn