Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lời giải

a) Là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ($x \lt 0$ và $y \ge 0$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn $x \lt 0$ là $1\cdot x+0\cdot y \lt 0$).

b) Không phải, vì bất phương trình $x+y^2 \lt 0$ có $y^2$.

c) Không phải, vì bất phương trình $x+y+z \lt 0$ có ba ẩn.

d) Là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vì hệ có thể viết là $\begin{cases} -2x+y \lt 9\\ 16x+3y \lt 1. \end{cases}$

Vậy các hệ ở câu a và câu d là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải

a) Xét từng bất phương trình.

• $y-x \lt -1$: vẽ đường thẳng $y-x=-1$ (nét đứt) đi qua $(1;\,0)$ và $(0;\,-1)$. Thay $O(0;\,0)$: $0-0=0$, mà $0 \gt -1$, nên $O$ không thỏa mãn. Gạch bỏ nửa mặt phẳng chứa $O$.

• $x \gt 0$: gạch bỏ nửa mặt phẳng bên trái trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).

• $y \lt 0$: gạch bỏ nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$ (kể cả trục $Ox$).

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch (tô màu), không kể các đường biên.

b) Xét từng bất phương trình.

• $x \ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, kể cả trục $Oy$.

• $y \ge 0$: nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$, kể cả trục $Ox$.

• $2x+y \le 4$: vẽ đường thẳng $2x+y=4$ đi qua $(2;\,0)$ và $(0;\,4)$. Thay $O(0;\,0)$: $0 \le 4$, thỏa mãn, nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$.

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác với các đỉnh $O(0;\,0)$, $(2;\,0)$, $(0;\,4)$, kể cả các cạnh.

c) Xét từng bất phương trình.

• $x \ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, kể cả trục $Oy$.

• $x+y \gt 5$: vẽ đường thẳng $x+y=5$ (nét đứt). Thay $O(0;\,0)$: $0 \gt 5$ sai, nên lấy nửa mặt phẳng không chứa $O$.

• $x-y \lt 0$: vẽ đường thẳng $x-y=0$ (nét đứt) đi qua $O$ và $(1;\,1)$. Thay điểm $(0;\,1)$: $0-1=-1 \lt 0$, thỏa mãn, nên lấy nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;\,1)$ (phía trên đường thẳng $y=x$).

Hai đường thẳng $x+y=5$ và $x-y=0$ cắt nhau tại $(2{,}5;\,2{,}5)$. Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch (tô màu), không kể hai đường thẳng nét đứt; phần trục $Oy$ với $y \gt 5$ thuộc miền nghiệm.

Lời giải

a) Ta lập từng điều kiện.

• Số kilôgam thịt không âm và mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò, 1,1 kg thịt lợn nên $0 \le x \le 1{,}6$ và $0 \le y \le 1{,}1$.

• Lượng protein là $800x+600y$, cần ít nhất 900 nên $800x+600y \ge 900$, tức là $8x+6y \ge 9$.

• Lượng lipid là $200x+400y$, cần ít nhất 400 nên $200x+400y \ge 400$, tức là $x+2y \ge 2$.

Ta có hệ

\[\begin{cases} 0 \le x \le 1{,}6\\ 0 \le y \le 1{,}1\\ 8x+6y \ge 9\\ x+2y \ge 2. \end{cases}\]

Vẽ các đường thẳng $x=1{,}6$; $y=1{,}1$; $8x+6y=9$; $x+2y=2$ và gạch bỏ phần không thỏa mãn từng bất phương trình. Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $ABCD$ (tô màu), kể cả các cạnh.

Tìm tọa độ các đỉnh.

• $A$ là giao của $y=1{,}1$ và $8x+6y=9$: $8x=9-6{,}6=2{,}4$ nên $x=0{,}3$. Vậy $A(0{,}3;\,1{,}1)$.

• $B$ là giao của $x=1{,}6$ và $y=1{,}1$, nên $B(1{,}6;\,1{,}1)$.

• $C$ là giao của $x=1{,}6$ và $x+2y=2$: $2y=0{,}4$ nên $y=0{,}2$. Vậy $C(1{,}6;\,0{,}2)$.

• $D$ là giao của $8x+6y=9$ và $x+2y=2$. Giải hệ ta được $x=0{,}6$ và $y=0{,}7$. Vậy $D(0{,}6;\,0{,}7)$.

b) Số tiền phải trả là $F=250x+160y$ (nghìn đồng).

c) Giá trị nhỏ nhất của $F$ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$.

• $F(0{,}3;\,1{,}1)$ $=250\cdot 0{,}3+160\cdot 1{,}1$ $=75+176=251$.

• $F(1{,}6;\,1{,}1)$ $=400+176=576$.

• $F(1{,}6;\,0{,}2)$ $=400+32=432$.

• $F(0{,}6;\,0{,}7)$ $=150+112=262$.

Giá trị nhỏ nhất là $F=251$ tại $A(0{,}3;\,1{,}1)$. Vậy gia đình cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để chi phí ít nhất (251 nghìn đồng).