Bài học Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương III) giúp các em hiểu sin, côsin, tang, côtang của một góc bất kì từ $0^\circ$ đến $180^\circ$, nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và quan hệ giữa hai góc bù nhau. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
Ở lớp 9, ta chỉ tính được sin, côsin của góc nhọn (dựa vào tam giác vuông). Lớp 10 mở rộng cho mọi góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ nhờ nửa đường tròn đơn vị: nửa đường tròn tâm $O$, bán kính bằng 1, nằm phía trên trục hoành.
Với góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), lấy điểm $M(x_0;\,y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$.
• $\sin\alpha=y_0$ (tung độ của $M$);
• $\cos\alpha=x_0$ (hoành độ của $M$);
• $\tan\alpha$ $=\dfrac{y_0}{x_0}$ $=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (khi $\alpha \ne 90^\circ$);
• $\cot\alpha$ $=\dfrac{x_0}{y_0}$ $=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (khi $\alpha \ne 0^\circ$ và $\alpha \ne 180^\circ$).
Cách nhớ: “sin là tung, côsin là hoành”. Ngoài ra $\tan\alpha$ $=\dfrac{1}{\cot\alpha}$ khi $\alpha \notin \{0^\circ;\,90^\circ;\,180^\circ\}$.
Dấu của các giá trị lượng giác. Điểm $M$ luôn nằm phía trên trục hoành nên $\sin\alpha \ge 0$. Còn dấu của $\cos\alpha$ phụ thuộc $M$ nằm bên phải hay bên trái trục tung:
| Góc | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ |
|---|---|---|---|
| Góc nhọn ($0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$) | $+$ | $+$ | $+$ |
| Góc tù ($90^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$) | $+$ | $-$ | $-$ |
2. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | 0 | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | 0 |
| $\cos\alpha$ | 1 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 0 | $-1$ |
| $\tan\alpha$ | 0 | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | || | 0 |
| $\cot\alpha$ | || | $\sqrt{3}$ | 1 | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | 0 | || |
(Kí hiệu || nghĩa là không xác định.)
Mẹo nhớ hàng sin: với các góc $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$, sin lần lượt là $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Hàng cos viết ngược lại.
3. Hai góc bù nhau
Hai góc $\alpha$ và $180^\circ-\alpha$ gọi là hai góc bù nhau. Hai điểm $M$, $M'$ ứng với chúng đối xứng nhau qua trục $Oy$: cùng tung độ, hoành độ trái dấu.
• $\sin(180^\circ-\alpha)$ $=\sin\alpha$;
• $\cos(180^\circ-\alpha)$ $=-\cos\alpha$;
• $\tan(180^\circ-\alpha)$ $=-\tan\alpha$ ($\alpha \ne 90^\circ$);
• $\cot(180^\circ-\alpha)$ $=-\cot\alpha$ ($0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$).
Cách nhớ: hai góc bù nhau có sin bằng nhau, còn côsin, tang, côtang đối nhau.
Ví dụ. $\sin 120^\circ$ $=\sin 60^\circ$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 120^\circ$ $=-\cos 60^\circ$ $=-\dfrac{1}{2}$; $\tan 135^\circ$ $=-\tan 45^\circ=-1$; $\cot 150^\circ$ $=-\cot 30^\circ$ $=-\sqrt{3}$.
| $\alpha$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\cos\alpha$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\tan\alpha$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\cot\alpha$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
Hai góc phụ nhau ($\alpha$ và $90^\circ-\alpha$): sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia:
$\sin(90^\circ-\alpha)$ $=\cos\alpha$, $\cos(90^\circ-\alpha)$ $=\sin\alpha$, $\tan(90^\circ-\alpha)$ $=\cot\alpha$, $\cot(90^\circ-\alpha)$ $=\tan\alpha$.
4. Các hệ thức cơ bản
• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$;
• $1+\tan^2\alpha$ $=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ($\alpha \ne 90^\circ$);
• $1+\cot^2\alpha$ $=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ($0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$).
Chú ý cách viết: $\sin^2\alpha$ $=(\sin\alpha)^2$, $\cos^2\alpha$ $=(\cos\alpha)^2$, … (Các hệ thức này được chứng minh ở Bài 3.3 bên dưới.)
5. Dùng máy tính cầm tay
• Chọn đơn vị đo góc là “độ”: bấm SHIFT MODE (SETUP) rồi chọn 3 (Deg).
• Tính $\sin 48^\circ50'40''$: bấm sin 48 °''' 50 °''' 40 °''' =, được khoảng $0{,}7529$.
• Tìm $x$ biết $\sin x=0{,}3456$: bấm SHIFT sin 0.3456 = rồi bấm °''' để đổi sang độ, phút, giây, được $x \approx 20^\circ13'7''$.
Chú ý: khi tìm $x$ biết $\sin x$, máy chỉ cho giá trị $x \le 90^\circ$. Góc tù có cùng sin là $180^\circ-x$.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 3.1. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $(2\sin 30^\circ+\cos 135^\circ-3\tan 150^\circ)$ $\cdot(\cos 180^\circ-\cot 60^\circ)$;
b) $\sin^2 90^\circ+\cos^2 120^\circ+\cos^2 0^\circ$ $-\tan^2 60^\circ+\cot^2 135^\circ$;
c) $\cos 60^\circ\cdot\sin 30^\circ+\cos^2 30^\circ$.
Lời giải
a) Ta có $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\cos 135^\circ$ $=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 150^\circ$ $=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos 180^\circ=-1$, $\cot 60^\circ$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
• Thừa số thứ nhất là $2\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ $=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}$.
• Thừa số thứ hai là $-1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Do đó giá trị biểu thức là
\[-\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right).\]Nhân phá ngoặc ta có
\[\begin{aligned}&\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\\&=1+\tfrac{\sqrt{3}}{3}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{6}}{6}+\sqrt{3}+1\\&=\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}.\end{aligned}\]Vậy giá trị biểu thức là $\dfrac{-12-8\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}.$
b) Ta có $\sin 90^\circ=1$, $\cos 120^\circ$ $=-\dfrac{1}{2}$, $\cos 0^\circ=1$, $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$, $\cot 135^\circ=-1$. Do đó giá trị biểu thức là
\[1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}.\]c) Ta có $\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\cos 30^\circ$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó giá trị biểu thức là
\[\begin{aligned}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2&=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\&=1.\end{aligned}\]Bài 3.2. Đơn giản các biểu thức sau:
a) $\sin 100^\circ+\sin 80^\circ$ $+\cos 16^\circ+\cos 164^\circ$;
b) $2\sin(180^\circ-\alpha)\cdot\cot\alpha$ $-\cos(180^\circ-\alpha)$ $\cdot\tan\alpha\cdot\cot(180^\circ-\alpha)$, với $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$.
Lời giải
a) Vì $100^\circ$ và $80^\circ$ bù nhau nên $\sin 100^\circ$ $=\sin 80^\circ$. Vì $164^\circ$ và $16^\circ$ bù nhau nên $\cos 164^\circ$ $=-\cos 16^\circ$. Do đó biểu thức bằng
\[\begin{aligned}&\sin 80^\circ+\sin 80^\circ\\&+\cos 16^\circ-\cos 16^\circ\\&=2\sin 80^\circ.\end{aligned}\]b) Ta có $\sin(180^\circ-\alpha)$ $=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)$ $=-\cos\alpha$, $\cot(180^\circ-\alpha)$ $=-\cot\alpha$. Biểu thức bằng
\[\begin{aligned}&2\sin\alpha\cdot\cot\alpha\\&-(-\cos\alpha)\cdot\tan\alpha\cdot(-\cot\alpha)\\&=2\sin\alpha\cdot\cot\alpha\\&-\cos\alpha\cdot\tan\alpha\cdot\cot\alpha.\end{aligned}\]Mà $\sin\alpha\cdot\cot\alpha$ $=\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ $=\cos\alpha$ và $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$, nên biểu thức bằng $2\cos\alpha-\cos\alpha$ $=\cos\alpha$.
Bài 3.3. Chứng minh các hệ thức sau:
a) $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$;
b) $1+\tan^2\alpha$ $=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ($\alpha \ne 90^\circ$);
c) $1+\cot^2\alpha$ $=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ($0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$).
Lời giải
a) Lấy điểm $M(x_0;\,y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Theo định nghĩa $\sin\alpha=y_0$ và $\cos\alpha=x_0$.
Vì $M$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính 1 nên $OM=1$, tức là $x_0^2+y_0^2=OM^2=1$. Vậy $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
b) Với $\alpha \ne 90^\circ$ thì $\cos\alpha \ne 0$. Ta có
\[\begin{aligned}1+\tan^2\alpha&=1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\&=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\&=\frac{1}{\cos^2\alpha}.\end{aligned}\]c) Với $0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$ thì $\sin\alpha \ne 0$. Ta có
\[\begin{aligned}1+\cot^2\alpha&=1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\\&=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\\&=\frac{1}{\sin^2\alpha}.\end{aligned}\]Bài 3.4. Cho góc $\alpha$ ($0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$) thỏa mãn $\tan\alpha=3$. Tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{2\sin\alpha-3\cos\alpha}{3\sin\alpha+2\cos\alpha}$.
Lời giải
Vì $\tan\alpha=3$ xác định nên $\cos\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của $P$ cho $\cos\alpha$, và dùng $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $=\tan\alpha$, ta được
\[\begin{aligned}P&=\frac{2\tan\alpha-3}{3\tan\alpha+2}\\&=\frac{2\cdot 3-3}{3\cdot 3+2}\\&=\frac{3}{11}.\end{aligned}\]
Bình luận
Viết bình luận của bạn