Bài học Hệ thức lượng trong tam giác (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương III) giới thiệu định lí côsin, định lí sin, các công thức tính diện tích tam giác (trong đó có công thức Heron) và cách giải tam giác, ứng dụng vào đo đạc thực tế. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Kí hiệu dùng trong bài: tam giác $ABC$ có
• $A$, $B$, $C$ là các góc tại đỉnh tương ứng;
• $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ là độ dài các cạnh đối diện với đỉnh $A$, $B$, $C$;
• $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi; $S$ là diện tích;
• $R$, $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
1. Định lí côsin
Trong tam giác $ABC$:
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\] \[b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,\] \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\]Cách nhớ: bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ hai lần tích hai cạnh đó nhân côsin góc xen giữa chúng.
Liên hệ với định lí Pythagore: nếu $A=90^\circ$ thì $\cos A=0$, công thức trở thành $a^2=b^2+c^2$. Vậy định lí Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí côsin.
Hệ quả (tính góc khi biết ba cạnh):
\[\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\] \[\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca},\] \[\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\]Ví dụ. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=120^\circ$, $AB=5$, $AC=8$. Khi đó
\[\begin{aligned}BC^2&=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos 120^\circ\\&=25+64-80\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\\&=129,\end{aligned}\]suy ra $BC=\sqrt{129}$.
2. Định lí sin
Trong tam giác $ABC$:
\[\begin{aligned}\frac{a}{\sin A}&=\frac{b}{\sin B}\\&=\frac{c}{\sin C}\\&=2R.\end{aligned}\]Dùng khi nào? Khi biết một cạnh và hai góc (tính được góc thứ ba nhờ tổng ba góc bằng $180^\circ$), hoặc khi cần tính bán kính $R$.
Ví dụ. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=135^\circ$, $\widehat{C}=15^\circ$, $b=12$. Khi đó $\widehat{B}$ $=180^\circ-135^\circ-15^\circ$ $=30^\circ$ và
\[\begin{aligned}a&=\frac{12\sin 135^\circ}{\sin 30^\circ}\\&=12\sqrt{2},\end{aligned}\] \[\begin{aligned}c&=\frac{12\sin 15^\circ}{\sin 30^\circ}\\&=24\sin 15^\circ\\&\approx 6{,}21,\end{aligned}\] \[R=\frac{12}{2\sin 30^\circ}=12.\]3. Giải tam giác
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi biết một số yếu tố. Ba trường hợp thường gặp:
| Biết | Cách làm |
|---|---|
| Hai cạnh và góc xen giữa | Định lí côsin tính cạnh thứ ba, rồi hệ quả định lí côsin tính các góc |
| Ba cạnh | Hệ quả định lí côsin tính các góc |
| Một cạnh và hai góc | Tổng ba góc tìm góc còn lại, rồi định lí sin tính các cạnh |
Ứng dụng đo đạc: muốn đo khoảng cách từ bờ $A$ tới một điểm $C$ không đến được (như Tháp Rùa), ta chọn thêm điểm $B$ trên bờ, đo đoạn $AB$ và hai góc $\widehat{CAB}$, $\widehat{CBA}$; sau đó dùng định lí sin trong tam giác $ABC$ để tính $AC$.
4. Công thức tính diện tích tam giác
(công thức Heron).
Chọn công thức nào?
• Biết hai cạnh và góc xen giữa: dùng $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$ (“nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa”).
• Biết ba cạnh: dùng công thức Heron.
• Muốn tính $r$ hoặc $R$: tính $S$ trước, rồi $r=\dfrac{S}{p}$, $R=\dfrac{abc}{4S}$.
Ví dụ. Tam giác $ABC$ có $a=13$, $b=14$, $c=15$. Ta có $p=\dfrac{13+14+15}{2}=21$, $p-a=8$, $p-b=7$, $p-c=6$, nên
\[S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84.\]B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 3.5. Cho tam giác $ABC$ có $a=6$, $b=5$, $c=8$. Tính $\cos A$, $S$, $r$.
Lời giải
• Theo hệ quả của định lí côsin
\[\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\&=\frac{25+64-36}{2\cdot 5\cdot 8}\\&=\frac{53}{80}.\end{aligned}\]• Nửa chu vi $p=\dfrac{6+5+8}{2}$ $=\dfrac{19}{2}$. Theo công thức Heron
\[\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{19}{2}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{3}{2}}\\&=\frac{\sqrt{3591}}{4}\\&=\frac{3\sqrt{399}}{4}\\&\approx 14{,}98.\end{aligned}\]• Bán kính đường tròn nội tiếp
\[\begin{aligned}r&=\frac{S}{p}\\&=\frac{3\sqrt{399}}{4}:\frac{19}{2}\\&=\frac{3\sqrt{399}}{38}\\&\approx 1{,}58.\end{aligned}\]Bài 3.6. Cho tam giác $ABC$ có $a=10$, $\widehat{A}=45^\circ$, $\widehat{B}=70^\circ$. Tính $R$, $b$, $c$.
Lời giải
Ta có $\widehat{C}$ $=180^\circ-45^\circ-70^\circ$ $=65^\circ$.
Theo định lí sin, $\dfrac{a}{\sin A}=2R$, suy ra
\[\begin{aligned}R&=\frac{a}{2\sin A}\\&=\frac{10}{2\sin 45^\circ}\\&=\frac{10}{\sqrt{2}}\\&=5\sqrt{2}\\&\approx 7{,}07.\end{aligned}\]Do đó $b=2R\sin B$ $=10\sqrt{2}\sin 70^\circ$ $\approx 13{,}29$ và $c=2R\sin C$ $=10\sqrt{2}\sin 65^\circ$ $\approx 12{,}82$.
Bài 3.7. Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A}=15^\circ$, $\widehat{B}=130^\circ$, $c=6$.
Lời giải
Ta có $\widehat{C}$ $=180^\circ-15^\circ-130^\circ$ $=35^\circ$.
Theo định lí sin, $\dfrac{a}{\sin 15^\circ}$ $=\dfrac{b}{\sin 130^\circ}$ $=\dfrac{6}{\sin 35^\circ}$, suy ra
\[\begin{aligned}a&=\frac{6\sin 15^\circ}{\sin 35^\circ}\\&\approx 2{,}71,\end{aligned}\] \[\begin{aligned}b&=\frac{6\sin 130^\circ}{\sin 35^\circ}\\&\approx 8{,}01.\end{aligned}\]Diện tích tam giác (dùng hai cạnh $a$, $c$ và góc xen giữa $B$) là
\[\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ac\sin B\\&\approx\frac{1}{2}\cdot 2{,}71\cdot 6\cdot\sin 130^\circ\\&\approx 6{,}22.\end{aligned}\]Bài 3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng S70°E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.
(Hướng S$\alpha^\circ$E là hướng tạo với hướng nam góc $\alpha^\circ$ và lệch về phía đông.)
Lời giải
Gọi $B$ là vị trí tàu hỏng động cơ, $C$ là đảo nơi tàu neo đậu.
• 90 phút = 1,5 giờ nên $AB=70\cdot 1{,}5=105$ (km).
• $BC=8\cdot 2=16$ (km), $BC$ theo hướng nam.
Đường $AB$ tạo với hướng nam góc $70^\circ$. Tại $B$, hướng $BA$ ngược với hướng $AB$ nên tạo với hướng bắc góc $70^\circ$, do đó tạo với hướng nam (hướng $BC$) góc $180^\circ-70^\circ$ $=110^\circ$. Vậy $\widehat{ABC}=110^\circ$.
a) Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$
\[\begin{aligned}AC^2&=AB^2+BC^2\\&\quad-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos 110^\circ\\&=105^2+16^2\\&\quad-2\cdot 105\cdot 16\cdot\cos 110^\circ\\&\approx 12430{,}2,\end{aligned}\]suy ra $AC\approx 111{,}49$ km.
b) Theo định lí sin, $\dfrac{BC}{\sin A}$ $=\dfrac{AC}{\sin B}$, suy ra
\[\begin{aligned}\sin\widehat{BAC}&=\frac{BC\cdot\sin 110^\circ}{AC}\\&\approx\frac{16\cdot 0{,}9397}{111{,}49}\\&\approx 0{,}1349,\end{aligned}\]nên $\widehat{BAC}$ $\approx 7^\circ45'$ (góc nhọn vì $BC$ là cạnh nhỏ nhất).
Đảo $C$ nằm lệch về phía nam so với hướng $AB$, nên góc giữa $AC$ và hướng nam là $70^\circ-7^\circ45'$ $=62^\circ15'$. Vậy hướng từ cảng $A$ tới đảo là khoảng S62°15'E.
Bài 3.9. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ một vị trí quan sát $A$ cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang.
a) Tính các góc của tam giác $ABC$.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
Lời giải
Gọi $H$ là giao điểm của đường nằm ngang qua $A$ với đường thẳng chứa cột ăng-ten ($BH$ thẳng đứng, $AH$ nằm ngang).
a) • $\widehat{BAC}$ $=\widehat{BAH}-\widehat{CAH}$ $=50^\circ-40^\circ$ $=10^\circ$.
• Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên $\widehat{ABH}$ $=90^\circ-50^\circ$ $=40^\circ$, tức là $\widehat{ABC}=40^\circ$.
• $\widehat{ACB}$ $=180^\circ-10^\circ-40^\circ$ $=130^\circ$.
b) Theo định lí sin trong tam giác $ABC$, $\dfrac{AC}{\sin B}$ $=\dfrac{BC}{\sin A}$, suy ra
\[\begin{aligned}AC&=\frac{BC\cdot\sin 40^\circ}{\sin 10^\circ}\\&=\frac{5\sin 40^\circ}{\sin 10^\circ}\\&\approx 18{,}51\ \text{(m)}.\end{aligned}\]Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ có $\widehat{CAH}=40^\circ$, nên $CH=AC\cdot\sin 40^\circ$ $\approx 11{,}90$ (m).
Chiều cao tòa nhà (tính đến chân cột ăng-ten $C$) là $CH+7\approx 18{,}9$ (m).
Bài 3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Trị, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).
Lời giải
Gọi $M$, $N$ là hai điểm ở hai mép đảo (theo chiều ta ngắm). Cần tính $MN$. Ta có thể làm như sau.
• Trên bãi biển chọn hai vị trí $A$, $B$; đo khoảng cách $AB$.
• Đứng tại $A$, đo các góc $\widehat{MAB}$, $\widehat{NAB}$ và góc $\widehat{MAN}$.
• Đứng tại $B$, đo các góc $\widehat{MBA}$, $\widehat{NBA}$.
• Trong tam giác $ABM$, biết cạnh $AB$ và hai góc kề, dùng định lí sin tính được $AM$. Tương tự, trong tam giác $ABN$ tính được $AN$.
• Trong tam giác $AMN$, biết $AM$, $AN$ và góc xen giữa $\widehat{MAN}$, dùng định lí côsin tính được
\[\begin{aligned}&MN^2=AM^2+AN^2\\&-2\cdot AM\cdot AN\cdot\cos\widehat{MAN}.\end{aligned}\]Bài 3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình dưới ($DC=12$ km, $CB=6$ km, $BA=8$ km, $\widehat{DCB}=135^\circ$, $\widehat{CBA}=105^\circ$). Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
Lời giải
Ta tính $AD$ bằng cách nối $D$ với $B$.
• Trong tam giác $BCD$, theo định lí côsin
\[\begin{aligned}DB^2&=12^2+6^2\\&\quad-2\cdot 12\cdot 6\cdot\cos 135^\circ\\&=180+72\sqrt{2}\approx 281{,}82,\end{aligned}\]suy ra $DB\approx 16{,}79$ km.
• Theo định lí sin trong tam giác $BCD$ ta có $\sin\widehat{DBC}$ $=\dfrac{DC\cdot\sin 135^\circ}{DB}$ $\approx\dfrac{12\cdot 0{,}7071}{16{,}79}$ $\approx 0{,}5054$, nên $\widehat{DBC}$ $\approx 30{,}36^\circ$ (góc nhọn vì góc $C$ đã tù).
• Suy ra $\widehat{DBA}$ $=105^\circ-30{,}36^\circ$ $\approx 74{,}64^\circ$.
• Trong tam giác $ABD$, theo định lí côsin
\[\begin{aligned}AD^2&=DB^2+BA^2\\&\quad-2\cdot DB\cdot BA\cdot\cos\widehat{DBA}\\&\approx 281{,}82+64\\&\quad-2\cdot 16{,}79\cdot 8\cdot\cos 74{,}64^\circ\\&\approx 274{,}67,\end{aligned}\]suy ra $AD\approx 16{,}57$ km.
Đường cũ dài $12+6+8=26$ km. Vậy đường mới giảm khoảng $26-16{,}57\approx 9{,}43$ km.
Bình luận
Viết bình luận của bạn