Bài học Các khái niệm mở đầu về vectơ (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IV) giúp các em hiểu vectơ là gì, độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, hai vectơ bằng nhau và vectơ-không. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Vectơ là gì?
Có những đại lượng chỉ cần một con số là đủ (khối lượng, nhiệt độ…), nhưng có những đại lượng cần biết cả độ lớn lẫn hướng (lực, vận tốc, độ dời…). Để biểu diễn các đại lượng này, người ta dùng vectơ.
• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, tức là đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó.
• Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là “vectơ $AB$”. Khi vẽ, ta vẽ đoạn $AB$ và đặt mũi tên ở điểm cuối $B$.
• Vectơ còn được kí hiệu bằng một chữ cái thường: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, \ldots$
• Độ dài của $\overrightarrow{AB}$, $\vec{a}$ kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|$, $|\vec{a}|$. Ta có $|\overrightarrow{AB}|=AB$.
Lưu ý: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ khác nhau (ngược hướng), dù có cùng độ dài.
Ví dụ. Hình vuông $ABCD$ cạnh 1 có đường chéo dài $\sqrt{2}$ nên $|\overrightarrow{AC}|$ $=|\overrightarrow{CA}|$ $=|\overrightarrow{BD}|$ $=\sqrt{2}$.
2. Hai vectơ cùng phương
• Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ gọi là giá của vectơ đó.
• Hai vectơ gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Trong hình trên, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ cùng phương (giá song song). Hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng hướng (cùng chỉ sang phải), còn $\vec{c}$ ngược hướng với chúng.
3. Cùng hướng, ngược hướng
Hai vectơ cùng phương thì chúng hoặc cùng hướng, hoặc ngược hướng.
Chú ý: chỉ khi hai vectơ cùng phương ta mới nói đến cùng hướng hay ngược hướng. Hai vectơ không cùng phương thì không thể cùng hướng, cũng không thể ngược hướng.
Ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
4. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng nhau, kí hiệu $\vec{a}=\vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Muốn kiểm tra hai vectơ bằng nhau, ta kiểm tra đủ hai điều: cùng hướng (trước hết phải cùng phương) và cùng độ dài. Thiếu một điều là không bằng nhau.
Ví dụ. Với hình chữ nhật $ABCD$:
• $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng độ dài, cùng hướng, nên $\overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{BC}$.
• $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng, nên không bằng nhau.
• $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ cùng độ dài nhưng không cùng phương, nên không bằng nhau.
Hệ quả hay dùng: tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{DC}$ (hoặc $\overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{BC}$). Chú ý thứ tự các chữ cái.
5. Vectơ-không
• Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau ($\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB}, \ldots$) gọi là vectơ-không, kí hiệu chung là $\vec{0}$.
• Quy ước: $\vec{0}$ có độ dài bằng 0 và cùng hướng (nên cùng phương) với mọi vectơ.
• Với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất một điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA}$ $=\vec{a}$.
• Vectơ được dùng để biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc: hướng của vectơ là hướng của đại lượng, độ dài của vectơ tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.1. Cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$;
b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$;
c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;
d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
Lời giải
a) Đúng, vì theo quy ước vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
b) Sai. Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thì $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ nhưng cũng không ngược hướng với $\vec{a}$.
c) Đúng. Giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ đều song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$, nên giá của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ song song hoặc trùng nhau.
d) Đúng. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương (theo câu c) và cùng có hướng của $\vec{c}$, nên chúng cùng hướng.
Vậy các khẳng định a, c, d đúng.
Bài 4.2. Trong hình dưới (Hình 4.12 trong sách), hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.
Lời giải
Đọc trên lưới ô vuông:
• $\vec{a}$ đi từ điểm $(0;\,4)$ đến điểm $(-2;\,0)$: sang trái 2 ô, xuống 4 ô.
• $\vec{b}$ đi từ điểm $(-1;\,0)$ đến điểm $(0;\,2)$: sang phải 1 ô, lên 2 ô.
• $\vec{c}$ đi từ điểm $(2;\,0)$ đến điểm $(0;\,-4)$: sang trái 2 ô, xuống 4 ô.
• $\vec{d}$ đi từ điểm $(0;\,2)$ đến điểm $(4;\,0)$: sang phải 4 ô, xuống 2 ô.
Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ có giá song song với nhau (cứ đi ngang 1 ô thì đi dọc 2 ô), còn giá của $\vec{d}$ có độ nghiêng khác. Do đó:
• Các vectơ cùng phương: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
• Các cặp vectơ ngược hướng: $\vec{a}$ và $\vec{b}$; $\vec{b}$ và $\vec{c}$.
• $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng (cùng đi xuống, sang trái) và cùng độ dài (đều là đường chéo của hình chữ nhật $2\times 4$ ô), nên cặp vectơ bằng nhau là $\vec{a}=\vec{c}$.
Bài 4.3. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AD}$.
Lời giải
• Giả sử $ABCD$ là hình bình hành. Khi đó $AD \parallel BC$ và $AD=BC$. Hai vectơ $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AD}$ cùng phương và cùng độ dài. Hai điểm cuối $C$, $D$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$ nên $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng. Vậy $\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AD}$.
• Ngược lại, giả sử $\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $BC=AD$ và hai vectơ cùng phương, nên giá $BC$ và $AD$ song song hoặc trùng nhau. Vì $ABCD$ là tứ giác nên bốn đỉnh không cùng nằm trên một đường thẳng, do đó $BC \parallel AD$. Tứ giác $ABCD$ có cặp cạnh đối $BC$, $AD$ song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Bài 4.4. Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp $\{A;\,B;\,C;\,D;\,O\}$. Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Lời giải
Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ ứng với một cách chọn điểm đầu (5 cách) và điểm cuối khác điểm đầu (4 cách), nên $S$ có $5\cdot 4=20$ vectơ, gồm
• Điểm đầu $A$: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AO}$.
• Điểm đầu $B$: $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BO}$.
• Điểm đầu $C$: $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CO}$.
• Điểm đầu $D$: $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DO}$.
• Điểm đầu $O$: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên các cạnh đối song song và bằng nhau, $O$ là trung điểm của mỗi đường chéo. Chia thành các nhóm vectơ bằng nhau:
• $\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\}$; $\{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}\}$; $\{\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}\}$; $\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB}\}$;
• $\{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC}\}$; $\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CO}\}$; $\{\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{OD}\}$; $\{\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{DO}\}$;
• $\{\overrightarrow{AC}\}$; $\{\overrightarrow{CA}\}$; $\{\overrightarrow{BD}\}$; $\{\overrightarrow{DB}\}$.
Có tất cả 12 nhóm.
Bài 4.5. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{MN}$ với $A(1;\,2)$, $M(0;\,-1)$, $N(3;\,5)$.
a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.
b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v}=\overrightarrow{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N$?
Lời giải
a) Trên lưới ô vuông:
• $\overrightarrow{OA}$: sang phải 1 ô, lên 2 ô.
• $\overrightarrow{MN}$: sang phải 3 ô, lên 6 ô, tức là gấp 3 lần mỗi chiều.
Do đó $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ có giá song song (cùng độ nghiêng), cùng hướng, và $|\overrightarrow{MN}|$ $=3|\overrightarrow{OA}|$. Cụ thể $|\overrightarrow{OA}|$ $=\sqrt{1^2+2^2}$ $=\sqrt{5}$, $|\overrightarrow{MN}|$ $=\sqrt{3^2+6^2}$ $=3\sqrt{5}$.
b) Vật xuất phát từ $M$ và chuyển động theo hướng của $\vec{v}=\overrightarrow{OA}$, cũng là hướng của $\overrightarrow{MN}$, nên vật chuyển động trên tia $MN$ và có đi qua $N$.
Mỗi giờ vật đi được quãng đường bằng $|\vec{v}|=\sqrt{5}$, mà $MN=3\sqrt{5}$, nên thời gian vật đi từ $M$ tới $N$ là $\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$ (giờ).
Bình luận
Viết bình luận của bạn