Bài học Tích của một vectơ với một số (Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IV) giúp các em biết nhân một vectơ với một số, các tính chất của phép nhân, điều kiện để hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng và cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Tích của một vectơ với một số
Cho số thực $k$ và vectơ $\vec{a}\ne\vec{0}$. Tích $k\vec{a}$ là một vectơ:
• cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k \gt 0$, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k \lt 0$;
• có độ dài $|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|$.
Quy ước: $k\vec{a}=\vec{0}$ nếu $k=0$ hoặc $\vec{a}=\vec{0}$.
Hiểu đơn giản: nhân với $k$ là "kéo dài" (hoặc "thu ngắn") vectơ gấp $|k|$ lần; nếu $k$ âm thì còn quay ngược chiều mũi tên.
Ví dụ. Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là trung điểm của $AC$. Khi đó
• $GA=2GM$ và $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GM}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$;
• $MN$ là đường trung bình nên $MN=\dfrac{1}{2}AB$, hai vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Lưu ý: $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$ (vectơ đối của $\vec{a}$).
2. Tính chất
Với hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ và hai số thực $k$, $t$:
• $k(t\vec{a})=(kt)\vec{a}$;
• $(k+t)\vec{a}=k\vec{a}+t\vec{a}$;
• $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$; $\ k(\vec{a}-\vec{b})=k\vec{a}-k\vec{b}$;
• $1\vec{a}=\vec{a}$; $\ (-1)\vec{a}=-\vec{a}$.
Nghĩa là ta biến đổi (nhân phân phối, đặt nhân tử chung…) với vectơ giống hệt như với số.
3. Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng
• Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b}\ne\vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$.
• Ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$.
4. Trung điểm và trọng tâm (với điểm $O$ bất kì)
• $I$ là trung điểm của $AB$ thì với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$.
• $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ $=3\overrightarrow{OG}$.
Chứng minh ý thứ nhất (chèn điểm $I$): $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ $=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB})$ $=2\overrightarrow{OI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})$ $=2\overrightarrow{OI}$, vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Ý thứ hai chứng minh tương tự.
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ $\vec{u}$ đều viết được duy nhất dưới dạng $\vec{u}=x\vec{a}+y\vec{b}$ ($x$, $y$ là các số thực).
Ví dụ. Cho tam giác $ABC$. Xác định điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
Ta biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ đã biết $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ bằng cách chèn điểm $A$:
$\overrightarrow{MA}+3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})$ $+2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}$
$\Leftrightarrow 6\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Lấy $E$ là trung điểm của $AB$, $F$ trên cạnh $AC$ với $AF=\dfrac{1}{3}AC$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$, nên $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $EAFM$.
Ý nghĩa vật lí: điểm khối tâm $M$ của các chất điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n$ có khối lượng $m_1, m_2, \ldots, m_n$ thỏa mãn $m_1\overrightarrow{MA_1}+m_2\overrightarrow{MA_2}+\ldots$ $+m_n\overrightarrow{MA_n}=\vec{0}$.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.
Lời giải
Chèn điểm $B$: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$.
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Mà $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.
Bài 4.12. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$ $=2\overrightarrow{MN}$ $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$.
Lời giải
Vì $M$, $N$ là trung điểm của $AB$, $CD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}=\vec{0}$.
• Chèn điểm theo hai đường đi từ $M$ đến $N$:
+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$;
+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$.
Cộng vế theo vế: $2\overrightarrow{MN}$ $=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})$ $+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$ $+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN})$ $=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.
• Tương tự, đi theo hai đường khác:
+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$;
+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$.
Cộng vế theo vế ta được $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$.
Vậy $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$ $=2\overrightarrow{MN}$ $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$.
Bài 4.13. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\vec{0}$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OK}$ $=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.
Lời giải
a) Chèn điểm $A$ vào $\overrightarrow{KB}$: $\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}$. Khi đó
$\overrightarrow{KA}+2(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0}$
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
Vậy $K$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK=\dfrac{2}{3}AB$ (chia đoạn $AB$ thành ba phần bằng nhau, $K$ là điểm chia gần $B$).
b) Chèn điểm $K$:
$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$ $=(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA})+2(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB})$
$=3\overrightarrow{OK}+(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB})$ $=3\overrightarrow{OK}$ (theo câu a).
Chia hai vế cho 3 ta được $\overrightarrow{OK}$ $=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.
Bài 4.14. Cho tam giác $ABC$.
a) Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$ $=\vec{0}$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$ $=4\overrightarrow{OM}$.
Lời giải
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$. Đẳng thức đã cho trở thành
$2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
Vậy $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CI$ (trung điểm của đường trung tuyến kẻ từ $C$).
b) Chèn điểm $M$:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$
$=(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA})+(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB})$ $+2(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC})$
$=4\overrightarrow{OM}+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})$ $=4\overrightarrow{OM}$ (theo câu a).
Bài 4.15. Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ như hình dưới (Hình 4.30 trong sách) và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, biết $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là 20 N.
Lời giải
Vì $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$ nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$.
Đặt $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Vì $\overrightarrow{F_1}\perp\overrightarrow{F_2}$ nên theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{F}$ là đường chéo của hình chữ nhật dựng trên hai cạnh $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$.
• $\overrightarrow{F}$ ngược hướng với $\overrightarrow{F_3}$, mà góc giữa $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $120^\circ$, nên góc giữa $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.
• Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $|\overrightarrow{F_2}|$, $|\overrightarrow{F_1}|$ và cạnh huyền là $|\overrightarrow{F}|$, góc kề cạnh $|\overrightarrow{F_2}|$ bằng $60^\circ$, ta có
+ $|\overrightarrow{F_2}|=\dfrac{|\overrightarrow{F_1}|}{\tan 60^\circ}$ $=\dfrac{20}{\sqrt{3}}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$ $\approx 11{,}55$ (N);
+ $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F}|$ $=\dfrac{|\overrightarrow{F_1}|}{\sin 60^\circ}$ $=\dfrac{40}{\sqrt{3}}=\dfrac{40\sqrt{3}}{3}$ $\approx 23{,}09$ (N).
Bình luận
Viết bình luận của bạn