Đề thi thử V-SAT Toán lần 2 năm 2027 gồm 25 câu: đúng sai, trắc nghiệm, ghép nối, trả lời ngắn. Có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Lời giải

Ta có $u_n=3+2(n-1)=2n+1$ và $v_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ $=\dfrac{1}{3^{n-1}},$ suy ra $w_n=\dfrac{2n+1}{3^{n-1}}.$

a) Ta có $u_{10}=2\cdot 10+1=21.$ Vậy a) đúng.

b) Vì $v_n=\dfrac{1}{3^{n-1}}\gt 0$ với mọi $n$ nên $(v_n)$ bị chặn dưới bởi 0. Vậy b) đúng.

c) Xét hiệu

\[\begin{aligned}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{2n+3}{3^n}-\dfrac{2n+1}{3^{n-1}}\\&=\dfrac{2n+3-3(2n+1)}{3^n}\\&=\dfrac{-4n}{3^n}\lt 0.\end{aligned}\]

Do đó $(w_n)$ là dãy số giảm. Vậy c) sai.

d) Vì $(w_n)$ giảm nên $w_n\le w_1=3$ với mọi $n$. Vậy d) đúng.

Lời giải

Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-1$ và đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=3.$ Ta có $f'(x)=3ax^2+2bx+c.$

+ Vì $f(0)=-1$ nên $d=-1.$

+ Vì $f'(0)=0$ nên $c=0.$

+ Vì $f'(2)=0$ nên $12a+4b=0\quad(1).$

+ Vì $f(2)=3$ nên $8a+4b-1=3\quad(2).$

Giải hệ (1), (2) ta được $a=-1$ và $b=3.$ Vậy $f(x)=-x^3+3x^2-1.$

a) Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(0)=-1.$ Vậy a) đúng.

b) Ta có $\log_3[f(x)+6]=2$ $\Leftrightarrow f(x)+6=9$ $\Leftrightarrow f(x)=3.$ Khi đó

\[\begin{aligned}&-x^3+3x^2-1=3\\&\Leftrightarrow x^3-3x^2+4=0\\&\Leftrightarrow (x-2)^2(x+1)=0.\end{aligned}\]

Suy ra $x=2$ hoặc $x=-1.$ Phương trình có hai nghiệm. Vậy b) đúng.

c) Ta có $f''(x)=-6x+6,$ $f''(x)=0\Leftrightarrow x=1$ và $f(1)=1.$ Tâm đối xứng của (H) là điểm $I(1;1).$ Vậy c) đúng.

d) Ta có $2025a+b+c+d+2023$ $=-2025+3+0-1+2023$ $=0.$ Vậy d) đúng.

Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;-2;-1).$

a) Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với d nên nhận $\vec u=(1;-2;-1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình $(P)$ là $1(x-1)-2(y-3)-1(z-3)=0$ $\Leftrightarrow x-2y-z+8=0.$ Vậy a) đúng.

b) Tâm I thuộc d nên $I(2+t;1-2t;3-t).$ Ta có $\overrightarrow{IA}=(-1-t;2+2t;t)$ và $\overrightarrow{IB}=(-2-t;4+2t;2+t),$ suy ra

+ $IA^2=(1+t)^2+4(1+t)^2+t^2$ $=6t^2+10t+5;$

+ $IB^2=6(t+2)^2$ $=6t^2+24t+24.$

Vì $IA=IB$ nên $10t+5=24t+24$ $\Leftrightarrow t=-\dfrac{19}{14}.$ Do đó

\[\begin{aligned}R^2&=IB^2=6\left(\dfrac{9}{14}\right)^2=\dfrac{243}{98}\\&\Rightarrow R=\dfrac{9\sqrt6}{14}\approx 1{,}57.\end{aligned}\]

Vậy b) sai.

c) Điểm C thuộc d nên $C(2+t;1-2t;3-t).$ Ta có

\[\begin{aligned}&OC^2=26\\&\Leftrightarrow (2+t)^2+(1-2t)^2+(3-t)^2=26\\&\Leftrightarrow 6t^2-6t-12=0\\&\Leftrightarrow t=-1\ \text{hoặc}\ t=2.\end{aligned}\]

Tung độ của C âm nên $1-2t\lt 0,$ suy ra $t=2$ và $C(4;-3;1).$ Khi đó $x_0+y_0+z_0=4-3+1=2.$ Vậy c) đúng.

d) Điểm D thuộc d nên $D(2+t;1-2t;3-t),$ suy ra $\overrightarrow{DA}=(-1-t;2+2t;t)$ và $\overrightarrow{DB}=(-2-t;4+2t;2+t).$ Tam giác ABD vuông tại D nên $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0,$ tức là

\[\begin{aligned}&(1+t)(2+t)+(2+2t)(4+2t)\\&\quad+t(2+t)=0\\&\Leftrightarrow 6t^2+17t+10=0\\&\Leftrightarrow t=-2\ \text{hoặc}\ t=-\dfrac{5}{6}.\end{aligned}\]

+ Với $t=-2$ thì $D(0;5;5)$ trùng với B, không tạo thành tam giác, loại.

+ Với $t=-\dfrac{5}{6}$ thì $b=1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}$ không là số nguyên, loại.

Không có điểm D nào thỏa mãn yêu cầu. Vậy d) sai.

Lời giải

Bộ bài có 4 con Át và 4 con J. Sau mỗi lần rút, lá bài được để lại vào bộ nên lần rút nào cũng có đủ 52 lá và các lần rút độc lập với nhau.

a) Xác suất lá thứ nhất là con Át bằng $\dfrac{4}{52}.$ Vậy a) đúng.

b) Lần rút thứ hai vẫn có 52 lá, trong đó có 4 con Át, nên xác suất bằng $\dfrac{4}{52}\ne\dfrac{3}{52}.$ Vậy b) sai.

c) Xác suất lá thứ ba là con J bằng $\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\ne\dfrac{1}{52}.$ Vậy c) sai.

d) Theo quy tắc nhân xác suất, ta có

\[P=\dfrac{4}{52}\cdot\dfrac{4}{52}\cdot\dfrac{4}{52}=\left(\dfrac{1}{13}\right)^3=\dfrac{1}{2197}.\]

Vậy d) đúng.

Lời giải

a) Ta có $\int 2e^{-x}\,dx=-2e^{-x}+C.$ Vậy a) sai.

b) Ta có

\[\begin{aligned}\int_0^1 2e^{-x}\,dx&=\left[-2e^{-x}\right]_0^1\\&=2-\dfrac{2}{e}=\dfrac{2e-2}{e}.\end{aligned}\]

Kết quả khác $\dfrac{e-2}{e}$ nên b) sai.

c) Vì $f(x)\gt 0$ trên $[0;1]$ nên diện tích $S=\int_0^1 2e^{-x}\,dx$ $=2-2e^{-1}.$ Vậy c) đúng.

d) Thể tích khối tròn xoay là

\[\begin{aligned}V&=\pi\int_0^1 4e^{-2x}\,dx=\pi\left[-2e^{-2x}\right]_0^1\\&=2\pi-\dfrac{2\pi}{e^2}.\end{aligned}\]

Kết quả khác $2\pi-\dfrac{2}{e^2}$ nên d) sai.

Lời giải

a) Tâm I là trung điểm của AC nên $I(-1;1;1).$ Ta có $\overrightarrow{AC}=(-2;0;-2),$ $AC=2\sqrt2,$ suy ra bán kính $R=\dfrac{AC}{2}=\sqrt2.$ Vậy a) sai.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;-1),$ $\overrightarrow{AC}=(-2;0;-2)$ và $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(6;6;-6).$ Chọn vectơ pháp tuyến $\vec n=(1;1;-1),$ phương trình $(ABC)$ là $x+(y-1)-(z-2)=0$ $\Leftrightarrow x+y-z+1=0.$

Phương trình này khác $x+y+z+1=0$ (chẳng hạn điểm A không thỏa mãn $x+y+z+1=0$). Vậy b) sai.

c) CH nhỏ nhất khi H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB. Điểm H thuộc AB nên $H(2s;1-3s;2-s),$ suy ra $\overrightarrow{CH}=(2s+2;-3s;2-s).$ Vì $\overrightarrow{CH}\perp\overrightarrow{AB}$ nên

\[\begin{aligned}&2(2s+2)+9s-(2-s)=0\\&\Leftrightarrow 14s+2=0\Leftrightarrow s=-\dfrac{1}{7}.\end{aligned}\]

Suy ra $H\left(-\dfrac{2}{7};\dfrac{10}{7};\dfrac{15}{7}\right)$ và $a+b+c=\dfrac{23}{7}\ne -3.$ Vậy c) sai.

d) Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ nên có dạng $x+y-z+d=0$ với $d\ne 1.$ Điểm $A(0;1;2)$ thuộc $(ABC)$ nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là

\[d(A,(P))=\dfrac{|0+1-2+d|}{\sqrt3}=\dfrac{|d-1|}{\sqrt3}.\]

Ta có $\dfrac{|d-1|}{\sqrt3}=\sqrt3$ $\Leftrightarrow |d-1|=3$ $\Leftrightarrow d=4$ hoặc $d=-2.$ Do đó $d_1+d_2=4+(-2)=2.$ Vậy d) đúng.

Lời giải

Ta có $\dfrac{1{,}2698}{0{,}014}=90{,}7,$ suy ra

\[\begin{aligned}S(t)&=\int 1{,}2698e^{0{,}014t}\,dt\\&=90{,}7e^{0{,}014t}+C.\end{aligned}\]

Năm 2014 ứng với $t=0$ nên $S(0)=90{,}7+C=90{,}7,$ suy ra $C=0.$ Vậy $S(t)=90{,}7e^{0{,}014t}.$

a) Vì $S'(t)$ là đạo hàm của $S(t)$ nên $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t).$ Vậy a) đúng.

b) Theo trên $S(t)=90{,}7e^{0{,}014t}.$ Vậy b) sai.

c) Năm 2034 ứng với $t=20,$ ta có $S'(20)=1{,}2698e^{0{,}28}$ $\approx 1{,}68\approx 1{,}7.$ Vậy c) đúng.

d) Ta có $S(20)=90{,}7e^{0{,}28}\approx 120{,}01,$ tức là khoảng 120 triệu người. Vậy d) đúng.

Lời giải

Ta có $SO\perp(ABCD),$ $AC=\sqrt2,$ $OA=\dfrac{\sqrt2}{2},$ suy ra $SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt2}{2}.$

a) Ta có $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông) và $AC\perp SO$ nên $AC\perp(SBD).$ Mà $AC\subset(SAC)$ nên $(SAC)\perp(SBD).$ Vậy a) đúng.

b) Gọi N là trung điểm của CD và K là hình chiếu vuông góc của O lên SN. Ta có $CD\perp ON$ và $CD\perp SO$ nên $CD\perp(SON),$ suy ra $CD\perp OK.$ Lại có $OK\perp SN$ nên $OK\perp(SCD).$ Trong tam giác SON vuông tại O với $ON=\dfrac{1}{2},$ ta có

\[\dfrac{1}{OK^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{ON^2}=2+4=6.\]

Suy ra $d(O,(SCD))=OK=\dfrac{\sqrt6}{6}\ne\dfrac{1}{2}.$ Vậy b) sai.

c) Chọn hệ trục Oxyz có gốc O, trục Ox song song với AB, trục Oy song song với AD, trục Oz chứa OS. Khi đó $A\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};0\right),$ $B\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};0\right),$ $D\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right),$ $S\left(0;0;\dfrac{\sqrt2}{2}\right).$

+ Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;0;0),$ $\overrightarrow{AS}=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right),$ suy ra $(SAB)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n_1=(0;-\sqrt2;1).$

+ Ta có $\overrightarrow{DC}=(1;0;0),$ $\overrightarrow{DS}=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right),$ suy ra $(SCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n_2=(0;\sqrt2;1).$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng, ta có

\[\cos\varphi=\dfrac{|0-2+1|}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{1}{3}.\]

Vậy c) đúng.

d) Gọi M' là trung điểm của OC. Vì $MM'\parallel SO$ nên $MM'\perp(ABCD),$ do đó hình chiếu của M lên $(ABCD)$ là M'. Điểm M' nằm trên đoạn OC (thuộc AC) và khác O nên không nằm trên BD. Vậy d) sai.

Lời giải

Mỗi người mắc bệnh với xác suất 0,15 và không mắc bệnh với xác suất 0,85.

a) Ta có $P=0{,}85^3=0{,}614125\approx 61{,}41\%.$ Vậy a) đúng.

b) Có 3 cách chọn người mắc bệnh, nên xác suất là $3\cdot 0{,}15\cdot 0{,}85^2$ $=0{,}325125\ne 0{,}325.$ Vậy b) sai.

c) Ta có $P=1-0{,}85^3=0{,}385875$ $=38{,}5875\%\gt 38\%.$ Vậy c) đúng.

d) Gọi A là biến cố "có ít nhất 1 người mắc bệnh", B là biến cố "người thứ nhất mắc bệnh". Vì B kéo theo A nên $P(AB)=P(B)=0{,}15,$ suy ra

\[\begin{aligned}P(B|A)&=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}385875}\\&=\dfrac{400}{1029}.\end{aligned}\]

Ta có $\dfrac{400}{1029}\approx 0{,}38873$ còn $\dfrac{1500}{3858}\approx 0{,}38880,$ hai số khác nhau. Vậy d) sai.

Lời giải

Vì $8\le 12\le 15$ nên $v(12)=-3\cdot 12+45=9$ (m/s).

Chọn D

Lời giải

Khi $8\lt t\lt 15$ thì $a(t)=v'(t)=-3,$ suy ra $a(10)=-3$ (m/s²).

Chọn B

Lời giải

Vì $v(t)\gt 0$ nên quãng đường bằng tích phân của vận tốc. Ta có

+ Trong 3 giây đầu, $s_1=\int_0^3 11\,dt=33$ (m).

+ Từ giây thứ 3 đến giây thứ 8, ta có

\[\begin{aligned}s_2&=\int_3^8\left[2(t-5)^2+3\right]dt\\&=\left[\dfrac{2(t-5)^3}{3}+3t\right]_3^8\\&=42-\dfrac{11}{3}=\dfrac{115}{3}.\end{aligned}\]

Tổng quãng đường là $s=33+\dfrac{115}{3}=\dfrac{214}{3}\approx 71{,}33$ (m).

Kết quả này không trùng với phương án nào.

Lời giải

Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56.$ Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là 3, 15, 30, 54, 56.

+ Ta có $\dfrac{n}{4}=14$ và $3\lt 14\le 15$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12{,}5;15{,}5),$ suy ra

\[Q_1=12{,}5+\dfrac{14-3}{12}\cdot 3=15{,}25.\]

+ Ta có $\dfrac{3n}{4}=42$ và $30\lt 42\le 54$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18{,}5;21{,}5),$ suy ra

\[Q_3=18{,}5+\dfrac{42-30}{24}\cdot 3=20.\]

Khoảng tứ phân vị là $\Delta_Q=Q_3-Q_1=20-15{,}25=4{,}75.$

Chọn C

Lời giải

Số học sinh có thời gian từ 15,5 phút đến dưới 21,5 phút là $15+24=39,$ suy ra xác suất bằng $\dfrac{39}{56}\approx 0{,}70.$

Chọn A

Lời giải

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là 11, 14, 17, 20, 23. Ta có $3\cdot 11+12\cdot 14+15\cdot 17$ $+24\cdot 20+2\cdot 23=982,$ suy ra số trung bình $\overline{x}=\dfrac{982}{56}.$

Ta có $3\cdot 11^2+12\cdot 14^2+15\cdot 17^2$ $+24\cdot 20^2+2\cdot 23^2=17708,$ suy ra phương sai

\[s^2=\dfrac{17708}{56}-\left(\dfrac{982}{56}\right)^2\approx 8{,}71.\]

Chọn B

Lời giải

Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=3,$ đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1,$ và $f(0)=1.$ Ta có $f'(x)=3ax^2+2bx+c.$

+ Vì $f(0)=1$ nên $d=1.$

+ Vì $f'(1)=0$ nên $3a+2b+c=0\quad(1).$

+ Vì $f'(-1)=0$ nên $3a-2b+c=0\quad(2).$

+ Vì $f(1)=-1$ nên $a+b+c+1=-1\quad(3).$

Giải hệ (1), (2), (3) ta được $a=1,$ $b=0,$ $c=-3.$ Vậy $f(x)=x^3-3x+1$ (kiểm tra lại $f(-1)=3$ và $f(2)=3,$ $f(-2)=-1$ đúng với đồ thị).

1. Ta có $P=1+0+9+1=11.$ Ghép 1 – F.

2. Hàm số $f$ có 2 điểm cực trị và đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (f đổi dấu khi qua mỗi điểm này). Đồ thị $y=|f(x)|$ gồm phần phía trên trục hoành giữ nguyên và phần phía dưới lấy đối xứng qua trục hoành, nên có $2+3=5$ điểm cực trị. Ghép 2 – E.

3. Ta có $f'(x)=3x^2-3\ge -3,$ dấu bằng xảy ra khi $x=0.$ Giá trị nhỏ nhất của $f'(x)$ là $-3.$ Ghép 3 – A.

4. Phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại 3 điểm, tức là $-1\lt m\lt 3.$ Có 3 giá trị nguyên là $m\in\{0;1;2\}.$ Ghép 4 – C.

Vậy đáp án là 1 – F, 2 – E, 3 – A, 4 – C.

Lời giải

Ta có $AC=AB=1,$ $BC=\sqrt2.$ Gọi H là trung điểm của BC thì $AH\perp BC$ và $AH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}.$

1. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot AA'=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot\sqrt3$ $=\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Ghép 1 – A.

4. Ta có $BC\perp AH$ và $BC\perp AA'$ nên $BC\perp(A'AH),$ suy ra $BC\perp A'H.$ Do đó góc nhị diện $[A',BC,A]$ bằng $\widehat{A'HA}.$ Trong tam giác A'AH vuông tại A, ta có

\[\tan\widehat{A'HA}=\dfrac{AA'}{AH}=\dfrac{\sqrt3}{\frac{\sqrt2}{2}}=\sqrt6.\]

Ghép 4 – C.

2. Kẻ $AK\perp A'H$ tại K. Vì $BC\perp(A'AH)$ nên $BC\perp AK,$ suy ra $AK\perp(A'BC).$ Trong tam giác A'AH vuông tại A, ta có

\[\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AA'^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}.\]

Suy ra $d(A,(A'BC))=AK=\sqrt{\dfrac{3}{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.$ Ghép 2 – D.

3. Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ nên góc giữa chúng bằng $0^\circ$ và $\tan 0^\circ=0,$ không có ở cột bên phải. Đề có lẽ muốn hỏi góc giữa A'B và $(ABC).$ Khi đó A là hình chiếu vuông góc của A' lên $(ABC)$ nên góc cần tìm là $\widehat{A'BA},$ với $\tan\widehat{A'BA}=\dfrac{AA'}{AB}=\sqrt3.$ Ghép 3 – B.

Vậy đáp án là 1 – A, 2 – D, 3 – B, 4 – C.

Lời giải

Đường thẳng d đi qua $N(2;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u_d=(2;2;-3).$ Ta có $\overrightarrow{AN}=(2;0;-1)$ và $[\overrightarrow{AN},\vec u_d]=(2;4;4).$ Chọn vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec n=(1;2;2),$ phương trình (P) là $x+2(y-1)+2(z-2)=0$ $\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0.$

1. Ta có $d(M,(P))=\dfrac{|5-2+6-6|}{3}=1.$ Ghép 1 – D.

2. Bán kính mặt cầu là $R=d(O,(P))=\dfrac{|-6|}{3}=2.$ Ghép 2 – A.

3. Ta có $\vec u_d=(2;2;-3)$ và $\overrightarrow{AM}=(5;-2;1),$ suy ra $\overrightarrow{AM}\cdot\vec u_d=10-4-3=3.$ Ghép 3 – E.

4. Đường thẳng MH vuông góc với (P) nên $H(5+k;-1+2k;3+2k).$ Vì H thuộc (P) nên

\[\begin{aligned}&(5+k)+2(-1+2k)\\&\quad+2(3+2k)-6=0\\&\Leftrightarrow 9k+3=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{1}{3}.\end{aligned}\]

Suy ra $H\left(\dfrac{14}{3};-\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{3}\right)$ và $3(a+b+c)=14-5+7=16.$ Ghép 4 – C.

Vậy đáp án là 1 – D, 2 – A, 3 – E, 4 – C.

Lời giải

Từ hình vẽ, ta có $A(4;0;0),$ $B(4;5;0),$ $C(0;5;0),$ $F(4;0;3).$

1. Khoảng cách từ G đến $(Oxy)$ bằng $|z_G|=3.$ Ghép 1 – B.

2. Ta có $OA=4,$ $OC=5,$ suy ra $S_{OABC}=4\cdot 5=20.$ Ghép 2 – F.

3. Ta có $\overrightarrow{PQ}=(0;5;0),$ suy ra $PQ=5.$ Ghép 3 – D.

4. Ta có $\overrightarrow{FP}=(-2;0;1)$ và $\overrightarrow{FG}=(0;5;0),$ suy ra $[\overrightarrow{FP},\overrightarrow{FG}]=(-5;0;-10).$ Mặt phẳng $(PQGF)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(1;0;2),$ mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k=(0;0;1).$ Ta có

\[\cos\alpha=\dfrac{|\vec n\cdot\vec k|}{|\vec n|\cdot|\vec k|}=\dfrac{2}{\sqrt5}.\]

Suy ra $5\cos^2\alpha=5\cdot\dfrac{4}{5}=4.$ Ghép 4 – C.

Vậy đáp án là 1 – B, 2 – F, 3 – D, 4 – C.

Lời giải

• Nghiệm của f'(x) và bội

Từ đồ thị, $f'(x)=0$ khi $x\in\left\{-2;-1;0;\dfrac{3}{4}\right\}$ và $f'(x)$ đổi dấu khi qua mỗi nghiệm này, nên cả bốn nghiệm đều là nghiệm bội lẻ.

• Đạo hàm hàm hợp

Ta có $g'(x)=(3x^2-3)\cdot f'(x^3-3x-m),$ suy ra $g'(x)=0$ khi và chỉ khi $x=\pm 1$ hoặc $x^3-3x-m$ bằng một trong các số $-2;$ $-1;$ $0;$ $\dfrac{3}{4}.$ Hai nghiệm $x=\pm 1$ của $3x^2-3=0$ chắc chắn là điểm cực trị.

• Cô lập tham số

Đặt $h(x)=x^3-3x.$ Ta được bốn phương trình

$h(x)=m-2\ (1),$ $h(x)=m-1\ (2),$ $h(x)=m\ (3),$ $h(x)=m+\dfrac{3}{4}\ (4).$

Bốn đường ngang $y=m-2,$ $y=m-1,$ $y=m,$ $y=m+\dfrac{3}{4}$ khác nhau nên các phương trình không có nghiệm chung. Số điểm cực trị của g bằng 2 cộng với số nghiệm khác $\pm 1$ của (1), (2), (3), (4).

• Bảng biến thiên của h(x)

Ta có $h'(x)=3x^2-3,$ $h'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 1,$ $h(-1)=2,$ $h(1)=-2.$

Nhìn bảng biến thiên, đường ngang $y=k$ cắt đồ thị h tại 3 điểm khác $\pm 1$ khi $-2\lt k\lt 2;$ khi $k\ge 2$ hoặc $k\le -2$ thì chỉ có 1 điểm khác $\pm 1$ (khi $k=\pm 2$ đường ngang đi qua đúng đỉnh của bảng, nghiệm kép tại $x=\mp 1$ trùng nghiệm của $3x^2-3=0,$ không tạo thêm cực trị).

Gọi p là số đường ngang nằm trong khoảng $(-2;2).$ Số nghiệm thêm là $3p+(4-p)=4+2p,$ nên số điểm cực trị của g là $6+2p.$

1. Khi $m=1,$ bốn đường ngang là $y=-1,$ $y=0,$ $y=1,$ $y=\dfrac{7}{4}.$

Cả bốn đường đều nằm trong $(-2;2)$ nên $p=4,$ g có $6+8=14$ điểm cực trị. Ghép 1 – C.

3. Khi $m=0,$ bốn đường ngang là $y=-2,$ $y=-1,$ $y=0,$ $y=\dfrac{3}{4}.$

Có 3 đường nằm trong $(-2;2)$ (đường $y=-2$ đi qua đỉnh của bảng) nên $p=3,$ g có $6+6=12$ điểm cực trị. Ghép 3 – B.

Với m nguyên, xét vị trí bốn đường ngang $m-2\lt m-1\lt m\lt m+\dfrac{3}{4}$ so với khoảng $(-2;2),$ ta có

+ $m\le -3$ thì $m+\dfrac{3}{4}\le -\dfrac{9}{4}$ nên $p=0;$

+ $m=-2$ thì các đường là $-4;$ $-3;$ $-2;$ $-\dfrac{5}{4}$ nên $p=1;$

+ $m=-1$ thì các đường là $-3;$ $-2;$ $-1;$ $-\dfrac{1}{4}$ nên $p=2;$

+ $m=0$ thì $p=3;$ $m=1$ thì $p=4;$

+ $m=2$ thì các đường là $0;$ $1;$ $2;$ $\dfrac{11}{4}$ nên $p=2;$

+ $m=3$ thì các đường là $1;$ $2;$ $3;$ $\dfrac{15}{4}$ nên $p=1;$

+ $m\ge 4$ thì $m-2\ge 2$ nên $p=0.$

2. Hàm số g có đúng 10 điểm cực trị khi $6+2p=10,$ tức là $p=2,$ suy ra $m\in\{-1;2\}.$ Có 2 giá trị. Ghép 2 – D.

4. Hàm số g có đúng 6 điểm cực trị khi $p=0,$ tức là $m\le -3$ hoặc $m\ge 4.$ Với $m\in[-10;10]$ nguyên, có 8 giá trị từ $-10$ đến $-3$ và 7 giá trị từ 4 đến 10, tổng cộng 15 giá trị. Ghép 4 – A.

Vậy đáp án là 1 – C, 2 – D, 3 – B, 4 – A.

Lời giải

Ta có

\[\begin{aligned}&\int_1^5\left[g(x)-m f(x)\right]dx\\&=\int_1^5 g(x)\,dx-m\int_1^5 f(x)\,dx\\&=5+7m.\end{aligned}\]

Do đó $5+7m=19\Leftrightarrow m=2.$

Vậy đáp số là 2.

Lời giải

Đặt $t=\log_a b.$ Ta có $\log_a(a^2b)=2+t$ và $\log_a\dfrac{b}{a}=t-1,$ nên phương trình trở thành

\[\begin{aligned}&(2+t)^2(t-1)+4=0\\&\Leftrightarrow t^3+3t^2=0\\&\Leftrightarrow t^2(t+3)=0.\end{aligned}\]

Vì $b\ne 1$ nên $t\ne 0,$ suy ra $t=-3.$ Do đó $\log_b a=\dfrac{1}{t}=\dfrac{-1}{3},$ tức là $m=-1,$ $n=3$ và $S=2.$

Vậy đáp số là 2.

Lời giải

Chọn hệ trục Oxyz có gốc O tại góc phòng, hai bức tường là các mặt phẳng $(Oxz),$ $(Oyz)$ và nền nhà là mặt phẳng $(Oxy)$ (đơn vị cm). Gọi r là bán kính quả bóng.

+ Tâm quả bóng cách hai bức tường và nền nhà đều bằng r nên tâm là $I(r;r;r).$

+ Điểm M cách hai bức tường và nền nhà lần lượt 17, 18, 21 nên $M(17;18;21).$

Điểm M nằm trên quả bóng nên $IM=r,$ suy ra

\[\begin{aligned}&(17-r)^2+(18-r)^2+(21-r)^2=r^2\\&\Leftrightarrow 2r^2-112r+1054=0\\&\Leftrightarrow r^2-56r+527=0\\&\Leftrightarrow r=28\pm\sqrt{257}.\end{aligned}\]

+ Với $r=28+\sqrt{257}$ thì đường kính khoảng 88,1 cm, không phải bóng rổ tiêu chuẩn, loại.

+ Với $r=28-\sqrt{257}$ thì đường kính $2r=56-2\sqrt{257}\approx 23{,}9$ (cm), thỏa mãn.

Vậy đáp số là 23,9.

Lời giải

Đặt $u(x)=x^3-3x^2-mx+m+20,$ ta có $y=\sqrt{u},$ $y'=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u}}.$ Hàm số đồng biến trên $(0;4)$ khi u xác định dương và đồng biến trên khoảng này, tức là

+ $u'(x)=3x^2-6x-m\ge 0$ với mọi $x\in(0;4),$ hay $m\le 3x^2-6x$ với mọi $x\in(0;4);$

+ $u(0)=m+20\ge 0$ (khi đó u đồng biến nên $u(x)\gt u(0)\ge 0$ trên $(0;4)$).

Xét $k(x)=3x^2-6x$ trên $(0;4),$ ta có $k'(x)=6x-6,$ $k'(x)=0\Leftrightarrow x=1,$ $k(1)=-3.$

Từ bảng biến thiên, $m\le 3x^2-6x$ với mọi $x\in(0;4)$ khi $m\le -3.$ Kết hợp $m\ge -20$ ta được $-20\le m\le -3.$ Có 18 giá trị nguyên của m.

Vậy đáp số là 18.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là $C_{20}^5=15504.$

Gọi số sách Toán, Văn, Tiếng Anh lấy ra lần lượt là t, v, a với $t+v+a=5,$ mỗi số ít nhất bằng 1 và $t\gt v.$

+ Nếu $v=1$ thì $t\ge 2$ và $a=4-t\ge 1,$ nên $(t;v;a)$ là $(2;1;2)$ hoặc $(3;1;1).$

+ Nếu $v\ge 2$ thì $t\ge 3,$ khi đó $t+v\ge 5$ nên $a=0,$ loại.

Số cách chọn thuận lợi là

\[\begin{aligned}&C_6^2\cdot C_7^1\cdot C_7^2+C_6^3\cdot C_7^1\cdot C_7^1\\&=2205+980=3185.\end{aligned}\]

Xác suất cần tìm là $P=\dfrac{3185}{15504}\approx 0{,}21.$

Vậy đáp số là 0,21.