Bài học Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác) giúp các em hiểu góc lượng giác, đổi độ sang radian, tính độ dài cung tròn, tính sin, côsin, tang, côtang của một góc bất kì và dùng các công thức liên hệ giữa chúng. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Ở lớp 10, các em chỉ xét góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ.$ Nhưng kim đồng hồ, bánh xe, vòng đu quay… có thể quay nhiều vòng, theo cả hai chiều. Để mô tả những chuyển động quay đó, ta cần góc lượng giác, có số đo tùy ý (âm, dương, lớn hơn $360^\circ$).
1. Góc lượng giác
a) Khái niệm và số đo của góc lượng giác
• Cho hai tia Ou, Ov. Cho tia Om quay quanh O theo một chiều nhất định, từ vị trí Ou đến vị trí Ov. Khi đó tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, kí hiệu $(Ou,Ov).$
• Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.
• Tia Om quay được góc $\alpha^\circ$ thì số đo của góc lượng giác là $\alpha^\circ,$ kí hiệu $\text{sđ}\,(Ou,Ov)=\alpha^\circ.$ Quay theo chiều dương thì số đo dương, quay theo chiều âm thì số đo âm.
• Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu, tia cuối và số đo của nó.
Ví dụ, quay đúng 1 vòng theo chiều dương là $360^\circ,$ quay 2 vòng theo chiều dương là $720^\circ,$ quay nửa vòng theo chiều âm là $-180^\circ.$
Chú ý. Với hai tia Ou, Ov cho trước, có vô số góc lượng giác $(Ou,Ov)$ (quay thêm hoặc bớt nguyên vòng). Số đo của chúng hơn kém nhau một bội của $360^\circ$
\[\text{sđ}\,(Ou,Ov)=\alpha^\circ+k360^\circ\ \ (k\in\mathbb Z).\]Trong hình dưới, tia đầu Ou và tia cuối Ov giống nhau, nhưng có góc lượng giác số đo $50^\circ$ (quay chiều dương) và có góc lượng giác số đo $-310^\circ$ (quay chiều âm). Ta thấy $-310^\circ=50^\circ-360^\circ.$
Ví dụ 1. Góc hình học uOv bằng $60^\circ,$ trong đó tia Ov nhận được khi quay tia Ou ngược chiều kim đồng hồ một góc $60^\circ.$ Tìm số đo các góc lượng giác $(Ou,Ov)$ và $(Ov,Ou).$
• Quay từ Ou đến Ov ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương) được $60^\circ,$ nên $\text{sđ}\,(Ou,Ov)=60^\circ+k360^\circ$ $(k\in\mathbb Z).$
• Quay từ Ov về Ou cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm) được $60^\circ,$ nên $\text{sđ}\,(Ov,Ou)=-60^\circ+k360^\circ$ $(k\in\mathbb Z).$
b) Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có
\[\begin{aligned}&\text{sđ}\,(Ou,Ov)+\text{sđ}\,(Ov,Ow)\\&=\text{sđ}\,(Ou,Ow)+k360^\circ.\end{aligned}\]Suy ra, với ba tia Ox, Ou, Ov bất kì
\[\begin{aligned}&\text{sđ}\,(Ou,Ov)\\&=\text{sđ}(Ox,Ov)-\text{sđ}(Ox,Ou)+k360^\circ.\end{aligned}\]Mẹo nhớ. Công thức thứ hai giống quy tắc vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ (“cuối trừ đầu”).
Ví dụ 2. Cho $\text{sđ}\,(Ox,Ou)=240^\circ$ và $\text{sđ}\,(Ox,Ov)=-270^\circ.$ Tính số đo các góc lượng giác $(Ou,Ov).$
Theo hệ thức Chasles
\[\begin{aligned}\text{sđ}\,(Ou,Ov)&=-270^\circ-240^\circ+k360^\circ\\&=-510^\circ+k360^\circ\\&=-150^\circ+(k-1)360^\circ\end{aligned}\]với $m=k-1\in\mathbb Z.$ Vậy các góc lượng giác $(Ou,Ov)$ có số đo $-150^\circ+m360^\circ$ $(m\in\mathbb Z).$
2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
a) Độ và radian
• Độ. Góc $1^\circ$ bằng $\dfrac{1}{180}$ góc bẹt. Ta có $1^\circ=60'$ (phút) và $1'=60''$ (giây).
• Radian. Trên đường tròn bán kính R, cung có độ dài đúng bằng bán kính R thì có số đo 1 radian (viết tắt 1 rad). Góc ở tâm chắn cung đó cũng có số đo 1 rad.
Cả đường tròn dài $2\pi R$ nên có số đo $2\pi$ rad. Mặt khác, cả đường tròn là $360^\circ.$ Do đó $360^\circ=2\pi$ rad, tức là $180^\circ=\pi$ rad.
Công thức đổi đơn vị
\[1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad},\qquad 1\ \text{rad}=\Big(\frac{180}{\pi}\Big)^\circ.\]• Đổi độ sang radian, nhân với $\dfrac{\pi}{180}.$
• Đổi radian sang độ, thay $\pi$ bằng $180^\circ.$
Chú ý. Khi viết số đo bằng radian, người ta thường bỏ chữ “rad”. Ví dụ góc $\dfrac{\pi}{2}$ hiểu là $\dfrac{\pi}{2}$ rad. Số đo các góc lượng giác $(Ou,Ov)$ theo radian là $\alpha+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z).$
Lỗi hay gặp. Viết lẫn hai đơn vị như $60^\circ+k2\pi$ là sai. Phải viết $60^\circ+k360^\circ$ hoặc $\dfrac{\pi}{3}+k2\pi.$
Ví dụ 3.
• $45^\circ=45\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}$ và $150^\circ=150\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}.$
• $\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$ và $\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{5\cdot 180^\circ}{4}=225^\circ.$
Bảng các góc đặc biệt thường gặp (nên thuộc lòng)
| Độ | Radian | Độ | Radian |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $90^\circ$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $30^\circ$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $120^\circ$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $135^\circ$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $150^\circ$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ |
b) Độ dài cung tròn
Cung tròn có số đo $\alpha$ rad trên đường tròn bán kính R có độ dài
\[l=R\alpha.\]Nếu số đo cung cho bằng độ thì phải đổi sang radian trước rồi mới nhân với R.
Ví dụ 4. Đường tròn bán kính 2 cm, cung có số đo $\dfrac{2\pi}{3}$ có độ dài $l=2\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ (cm).
Ví dụ 5 (tình huống mở đầu). Trạm vũ trụ ISS bay trên quỹ đạo tròn cách mặt đất 400 km, bán kính Trái Đất là 6 400 km. Khi ISS di chuyển hết góc $45^\circ$ ở tâm quỹ đạo thì nó đi được bao nhiêu kilômét?
• Bán kính quỹ đạo là $R=6400+400=6800$ (km).
• Đổi $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$ rad.
• Quãng đường là $l=6800\cdot\dfrac{\pi}{4}=1700\pi\approx 5341$ (km).
3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
a) Đường tròn lượng giác
• Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O (gốc tọa độ), bán kính bằng 1, có chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ, và lấy điểm $A(1;0)$ làm điểm gốc.
• Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\text{sđ}\,(OA,OM)=\alpha.$
Hiểu đơn giản, xuất phát từ A, ta đi trên đường tròn một “quãng” $\alpha$ (chiều dương nếu $\alpha\gt 0,$ chiều âm nếu $\alpha\lt 0$), dừng ở đâu thì đó là điểm M. Hai trục chia đường tròn thành bốn góc phần tư I, II, III, IV (đánh số ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ cung AB).
Mẹo xác định điểm. Bỏ bớt (hoặc thêm) nguyên vòng $2\pi$ (hay $360^\circ$) để đưa về góc quen thuộc, vì quay thêm nguyên vòng thì điểm không đổi. Ví dụ $\dfrac{13\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi$ nên điểm biểu diễn $\dfrac{13\pi}{4}$ trùng điểm biểu diễn $\dfrac{5\pi}{4}$ (điểm chính giữa cung A′B′).
b) Định nghĩa các giá trị lượng giác
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ trên đường tròn lượng giác.
Bốn số $\cos\alpha,$ $\sin\alpha,$ $\tan\alpha,$ $\cot\alpha$ gọi là các giá trị lượng giác của $\alpha.$
Dễ nhớ. “Hoành độ là côsin, tung độ là sin”. Vì vậy trục hoành còn gọi là trục côsin, trục tung gọi là trục sin.
Chú ý. Từ định nghĩa suy ra
• $\sin\alpha,$ $\cos\alpha$ xác định với mọi $\alpha$ và $-1\le\sin\alpha\le 1,$ $-1\le\cos\alpha\le 1.$
• $\sin(\alpha+k2\pi)=\sin\alpha,$ $\cos(\alpha+k2\pi)=\cos\alpha$ $(k\in\mathbb Z).$
• $\tan\alpha$ xác định khi $\alpha\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,$ $\cot\alpha$ xác định khi $\alpha\ne k\pi$ $(k\in\mathbb Z).$
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc điểm M nằm ở góc phần tư nào.
| Góc phần tư | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| $\cos\alpha$ | + | − | − | + |
| $\sin\alpha$ | + | + | − | − |
| $\tan\alpha$ | + | − | + | − |
| $\cot\alpha$ | + | − | + | − |
Mẹo nhớ dấu. “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”, nghĩa là góc phần tư I tất cả đều dương, II chỉ sin dương, III chỉ tan (và cot) dương, IV chỉ cos dương.
Ví dụ 6. Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha=\dfrac{5\pi}{6}.$
• Ta có $\dfrac{5\pi}{6}=150^\circ,$ điểm M nằm ở góc phần tư II và $M\Big(-\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\Big).$
• Do đó $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2},$ $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12,$ $\tan\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{1}{\sqrt3},$ $\cot\dfrac{5\pi}{6}=-\sqrt3.$
c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| $\alpha$ | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | $\cot\alpha$ |
|---|---|---|---|---|
| $0\ (0^\circ)$ | $0$ | $1$ | $0$ | không xác định |
| $\dfrac{\pi}{6}\ (30^\circ)$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt3}$ | $\sqrt3$ |
| $\dfrac{\pi}{4}\ (45^\circ)$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $1$ | $1$ |
| $\dfrac{\pi}{3}\ (60^\circ)$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac12$ | $\sqrt3$ | $\dfrac{1}{\sqrt3}$ |
| $\dfrac{\pi}{2}\ (90^\circ)$ | $1$ | $0$ | không xác định | $0$ |
Mẹo nhớ. Cột $\sin\alpha$ theo thứ tự $0,\ 30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ$ là $\dfrac{\sqrt0}{2},$ $\dfrac{\sqrt1}{2},$ $\dfrac{\sqrt2}{2},$ $\dfrac{\sqrt3}{2},$ $\dfrac{\sqrt4}{2}.$ Cột $\cos\alpha$ là cột $\sin\alpha$ viết ngược lại.
d) Dùng máy tính cầm tay
• Muốn nhập góc bằng độ, chuyển máy sang chế độ độ (Deg); muốn nhập góc bằng radian, chuyển sang chế độ radian (Rad). Với máy Casio fx-580VN X, bấm SHIFT MODE rồi chọn 3 (Degree) hoặc 4 (Radian).
• Độ, phút, giây nhập bằng phím ° ′ ″.
• Ví dụ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), $\sin\Big(-\dfrac{9\pi}{4}\Big)\approx -0{,}7071$ (chế độ radian) và $\tan 63^\circ52'41''\approx 2{,}0393$ (chế độ độ).
• Đổi đơn vị, $33^\circ45'=\dfrac{3\pi}{16}$ rad và $\dfrac34$ rad $\approx 42^\circ58'19''.$
4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
a) Các hệ thức cơ bản
Cách dùng. Biết một giá trị lượng giác và biết $\alpha$ ở góc phần tư nào, ta tính được các giá trị còn lại.
• Biết $\sin\alpha$ (hoặc $\cos\alpha$) thì dùng $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$
• Biết $\tan\alpha$ thì dùng $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}.$ Biết $\cot\alpha$ thì dùng $1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}.$
• Dấu của kết quả chọn theo góc phần tư (bảng dấu ở trên).
Ví dụ 7. Cho $\sin\alpha=\dfrac35$ và $90^\circ\lt\alpha\lt 180^\circ.$ Tính $\cos\alpha,$ $\tan\alpha,$ $\cot\alpha.$
• Vì $90^\circ\lt\alpha\lt 180^\circ$ (góc phần tư II) nên $\cos\alpha\lt 0.$
• Ta có $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25},$ suy ra $\cos\alpha=-\dfrac45.$
• Do đó $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac34$ và $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac43.$
Lỗi hay gặp. Từ $\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}$ mà viết luôn $\cos\alpha=\dfrac45$ là sai. Phải xét góc phần tư để chọn dấu.
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Hình dưới cho thấy vì sao có các công thức này. Điểm biểu diễn của $-\alpha$ đối xứng với điểm M (biểu diễn $\alpha$) qua trục Ox, của $\pi-\alpha$ đối xứng qua trục Oy, của $\pi+\alpha$ đối xứng qua gốc O, của $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ đối xứng qua đường thẳng $y=x.$
• Góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$)
\[\begin{aligned}&\cos(-\alpha)=\cos\alpha\\&\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\&\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\\&\cot(-\alpha)=-\cot\alpha.\end{aligned}\]• Góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi-\alpha$)
\[\begin{aligned}&\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\&\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\&\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\\&\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha.\end{aligned}\]• Góc phụ nhau ($\alpha$ và $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$)
\[\begin{aligned}&\sin\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)=\cos\alpha\\&\cos\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)=\sin\alpha\\&\tan\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)=\cot\alpha\\&\cot\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)=\tan\alpha.\end{aligned}\]• Góc hơn kém $\pi$ ($\alpha$ và $\pi+\alpha$)
\[\begin{aligned}&\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\&\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\&\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\\&\cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha.\end{aligned}\]Mẹo nhớ. “Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém $\pi$ tang côtang”.
• Cos đối, góc đối nhau thì cos bằng nhau (các giá trị khác đổi dấu).
• Sin bù, góc bù nhau thì sin bằng nhau (các giá trị khác đổi dấu).
• Phụ chéo, góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
• Hơn kém $\pi$ thì tan và cot bằng nhau (sin, cos đổi dấu).
Ứng dụng. Nhờ các công thức trên (và bỏ bớt nguyên vòng $2\pi$), ta đưa việc tính giá trị lượng giác của góc bất kì về góc $\alpha$ với $0\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2}.$
Ví dụ 8. Tính $\cos\Big(-\dfrac{11\pi}{4}\Big)$ và $\cot(-675^\circ).$
• Ta có $\cos\Big(-\dfrac{11\pi}{4}\Big)=\cos\dfrac{11\pi}{4}$ (cos đối) và $\dfrac{11\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi.$ Do đó
\[\begin{aligned}\cos\Big(-\frac{11\pi}{4}\Big)&=\cos\frac{3\pi}{4}\\&=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.\end{aligned}\](Ở đây $\dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}$ nên dùng công thức góc bù.)
• Ta có $-675^\circ=45^\circ-2\cdot 360^\circ$ nên $\cot(-675^\circ)=\cot 45^\circ=1.$
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.1 (SGK trang 16). Hoàn thành bảng sau
| Số đo độ | Số đo radian |
|---|---|
| $15^\circ$ | ? |
| ? | $\dfrac{3\pi}{8}$ |
| $0^\circ$ | ? |
| $900^\circ$ | ? |
| ? | $-\dfrac{7\pi}{12}$ |
| ? | $-\dfrac{11\pi}{8}$ |
Lời giải
Đổi độ sang radian thì nhân với $\dfrac{\pi}{180},$ đổi radian sang độ thì thay $\pi$ bằng $180^\circ.$
• $15^\circ=15\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{12}.$
• $\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{3\cdot 180^\circ}{8}$ $=67{,}5^\circ$ $=67^\circ30'.$
• $0^\circ=0$ rad.
• $900^\circ=900\cdot\dfrac{\pi}{180}=5\pi.$
• $-\dfrac{7\pi}{12}=-\dfrac{7\cdot 180^\circ}{12}=-105^\circ.$
• $-\dfrac{11\pi}{8}=-\dfrac{11\cdot 180^\circ}{8}$ $=-247{,}5^\circ$ $=-247^\circ30'.$
Vậy bảng hoàn chỉnh là
| Số đo độ | Số đo radian |
|---|---|
| $15^\circ$ | $\dfrac{\pi}{12}$ |
| $67^\circ30'$ | $\dfrac{3\pi}{8}$ |
| $0^\circ$ | $0$ |
| $900^\circ$ | $5\pi$ |
| $-105^\circ$ | $-\dfrac{7\pi}{12}$ |
| $-247^\circ30'$ | $-\dfrac{11\pi}{8}$ |
Bài 1.2 (SGK trang 16). Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau
a) $\dfrac{\pi}{12};$
b) $1{,}5;$
c) $35^\circ;$
d) $315^\circ.$
Lời giải
Dùng công thức $l=R\alpha$ với $R=20$ cm và $\alpha$ tính bằng radian. Số đo cho bằng độ thì đổi sang radian trước.
a) Ta có $l=20\cdot\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{3}\approx 5{,}24$ (cm).
Vậy độ dài cung là $\dfrac{5\pi}{3}$ cm.
b) Số đo $1{,}5$ là $1{,}5$ rad nên $l=20\cdot 1{,}5=30$ (cm).
Vậy độ dài cung là 30 cm.
c) Đổi $35^\circ=35\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{36}.$ Suy ra
\[l=20\cdot\frac{7\pi}{36}=\frac{35\pi}{9}\approx 12{,}22\ \text{(cm)}.\]Vậy độ dài cung là $\dfrac{35\pi}{9}$ cm.
d) Đổi $315^\circ=315\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}.$ Suy ra
\[l=20\cdot\frac{7\pi}{4}=35\pi\approx 109{,}96\ \text{(cm)}.\]Vậy độ dài cung là $35\pi$ cm.
Bài 1.3 (SGK trang 16). Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau
a) $\dfrac{2\pi}{3};$
b) $-\dfrac{11\pi}{4};$
c) $150^\circ;$
d) $-225^\circ.$
Lời giải
Ý chính là đổi về độ, bỏ bớt (hoặc thêm) nguyên vòng $360^\circ$ để được góc từ $0^\circ$ đến $360^\circ,$ rồi đi từ điểm gốc A theo chiều dương. Các điểm được vẽ trong hình ở cuối lời giải.
a) Ta có $\dfrac{2\pi}{3}=120^\circ.$ Chia cung nhỏ BA′ (từ $90^\circ$ đến $180^\circ$) thành ba phần bằng nhau, mỗi phần $30^\circ.$
Vậy điểm biểu diễn là điểm M trên cung nhỏ BA′ với $\text{sđ}\,(OA,OM)=120^\circ,$ tức là M cách B một phần ba cung BA′.
b) Ta có $-\dfrac{11\pi}{4}=-495^\circ=225^\circ-2\cdot 360^\circ.$ Bỏ đi hai vòng thì điểm không đổi, nên điểm biểu diễn $-\dfrac{11\pi}{4}$ trùng với điểm biểu diễn góc $225^\circ=180^\circ+45^\circ.$
Vậy điểm biểu diễn là điểm N, điểm chính giữa của cung nhỏ A′B′.
c) Ta có $150^\circ=180^\circ-30^\circ.$
Vậy điểm biểu diễn là điểm P trên cung nhỏ BA′ với $\text{sđ}\,(OA,OP)=150^\circ,$ tức là P cách A′ một phần ba cung BA′.
d) Ta có $-225^\circ=135^\circ-360^\circ,$ nên điểm biểu diễn $-225^\circ$ trùng với điểm biểu diễn góc $135^\circ=90^\circ+45^\circ.$
Vậy điểm biểu diễn là điểm Q, điểm chính giữa của cung nhỏ BA′.
Bài 1.4 (SGK trang 16). Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha,$ biết
a) $\cos\alpha=\dfrac15$ và $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2};$
b) $\sin\alpha=\dfrac23$ và $\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi;$
c) $\tan\alpha=\sqrt5$ và $\pi\lt\alpha\lt\dfrac{3\pi}{2};$
d) $\cot\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ và $\dfrac{3\pi}{2}\lt\alpha\lt 2\pi.$
Lời giải
a) Vì $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ (góc phần tư I) nên $\sin\alpha\gt 0.$
• Từ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ta có $\sin^2\alpha=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25},$ suy ra $\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt6}{5}.$
• Ta có $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{5}\cdot 5=2\sqrt6.$
• Ta có $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{1}{2\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}.$
Vậy $\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt6}{5},$ $\tan\alpha=2\sqrt6,$ $\cot\alpha=\dfrac{\sqrt6}{12}.$
b) Vì $\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi$ (góc phần tư II) nên $\cos\alpha\lt 0.$
• Từ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ta có $\cos^2\alpha=1-\dfrac49=\dfrac59,$ suy ra $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt5}{3}.$
• Ta có $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac23\cdot\Big(-\dfrac{3}{\sqrt5}\Big)$ $=-\dfrac{2}{\sqrt5}=-\dfrac{2\sqrt5}{5}.$
• Ta có $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac{\sqrt5}{2}.$
Vậy $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt5}{3},$ $\tan\alpha=-\dfrac{2\sqrt5}{5},$ $\cot\alpha=-\dfrac{\sqrt5}{2}.$
c) Vì $\pi\lt\alpha\lt\dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư III) nên $\cos\alpha\lt 0$ và $\sin\alpha\lt 0.$
• Ta có $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}.$
• Từ $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ta có $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+5=6,$ suy ra $\cos^2\alpha=\dfrac16.$ Vì $\cos\alpha\lt 0$ nên $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt6}=-\dfrac{\sqrt6}{6}.$
• Từ $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ta có
\[\begin{aligned}\sin\alpha&=\tan\alpha\cdot\cos\alpha\\&=\sqrt5\cdot\Big(-\frac{\sqrt6}{6}\Big)=-\frac{\sqrt{30}}{6}.\end{aligned}\]Vậy $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{6},$ $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{30}}{6},$ $\cot\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}.$
d) Vì $\dfrac{3\pi}{2}\lt\alpha\lt 2\pi$ (góc phần tư IV) nên $\sin\alpha\lt 0$ và $\cos\alpha\gt 0.$
• Ta có $\tan\alpha=\dfrac{1}{\cot\alpha}=-\sqrt2.$
• Từ $1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ta có $\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=1+\dfrac12=\dfrac32,$ suy ra $\sin^2\alpha=\dfrac23.$ Vì $\sin\alpha\lt 0$ nên $\sin\alpha=-\sqrt{\dfrac23}=-\dfrac{\sqrt6}{3}.$
• Từ $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ta có
\[\begin{aligned}\cos\alpha&=\cot\alpha\cdot\sin\alpha\\&=\Big(-\frac{1}{\sqrt2}\Big)\cdot\Big(-\frac{\sqrt6}{3}\Big)\\&=\frac{\sqrt3}{3}.\end{aligned}\]Vậy $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{3},$ $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3},$ $\tan\alpha=-\sqrt2.$
Bài 1.5 (SGK trang 16). Chứng minh các đẳng thức
a) $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=2\cos^2\alpha-1;$
b) $\dfrac{\cos^2\alpha+\tan^2\alpha-1}{\sin^2\alpha}=\tan^2\alpha.$
Lời giải
a) Ý chính là dùng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ với $a=\cos^2\alpha,$ $b=\sin^2\alpha.$ Biến đổi vế trái
\[\begin{aligned}&\cos^4\alpha-\sin^4\alpha\\&=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\\&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\&=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\&=2\cos^2\alpha-1.\end{aligned}\]Ở trên ta đã dùng $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ và $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha.$ Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Điều kiện $\sin\alpha\ne 0$ và $\cos\alpha\ne 0.$ Ý chính là thay $\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha$ ở tử số.
• Tử số bằng
\[\begin{aligned}&\cos^2\alpha-1+\tan^2\alpha\\&=\tan^2\alpha-\sin^2\alpha\\&=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha\\&=\sin^2\alpha\Big(\frac{1}{\cos^2\alpha}-1\Big)\\&=\sin^2\alpha\cdot\tan^2\alpha.\end{aligned}\](Dòng cuối dùng $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha.$)
• Do đó vế trái bằng $\dfrac{\sin^2\alpha\cdot\tan^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\tan^2\alpha,$ bằng vế phải.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 1.6 (SGK trang 16). Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.
Lời giải
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được $\dfrac{11}{5}=2{,}2$ vòng.
• Mỗi vòng là $360^\circ$ nên góc quay được là $2{,}2\cdot 360^\circ=792^\circ.$
• Mỗi vòng là $2\pi$ rad nên góc quay được là $2{,}2\cdot 2\pi=\dfrac{22\pi}{5}$ rad.
Vậy trong 1 giây bánh xe quay được góc $792^\circ,$ hay $\dfrac{22\pi}{5}\approx 13{,}82$ rad.
b) Mỗi vòng quay, xe đi được quãng đường bằng chu vi bánh xe.
• Chu vi bánh xe là $\pi d=680\pi$ (mm).
• Trong 1 phút (60 giây), bánh xe quay được $2{,}2\cdot 60=132$ vòng.
• Quãng đường đi được là $132\cdot 680\pi=89760\pi$ $\approx 281990$ (mm).
Vậy trong 1 phút người đó đi được khoảng 281 990 mm, tức là khoảng 282 m.
Ghi chú. Có thể tính bằng công thức $l=R\alpha$ với bán kính $R=340$ mm và góc quay trong 1 phút là $\alpha=60\cdot\dfrac{22\pi}{5}=264\pi,$ ta cũng được $l=340\cdot 264\pi=89760\pi$ mm.
Bình luận
Viết bình luận của bạn