Bài học Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IV. Quan hệ song song trong không gian) mở đầu phần Hình học không gian: các em làm quen với mặt phẳng, các tính chất thừa nhận, ba cách xác định mặt phẳng, hình chóp, hình tứ diện và cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Ở các lớp dưới, các em học hình trên một trang giấy phẳng (Hình học phẳng). Nhưng hộp phấn, cục tẩy, kim tự tháp… là những hình nằm trong không gian. Từ bài này ta học Hình học không gian, nghiên cứu điểm, đường thẳng, mặt phẳng và vị trí của chúng trong không gian.
1. Mặt phẳng và điểm thuộc mặt phẳng
Mặt bảng, màn hình máy tính, mặt nước lúc yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn (kéo dài mãi về mọi phía).
• Cách vẽ. Ta vẽ mặt phẳng bằng một hình bình hành và ghi tên mặt phẳng ở một góc của hình.
• Cách gọi tên. Dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong ngoặc tròn như (P), (Q), (α), (β). Ta cũng viết mp(P).
• Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu $A\in(P).$ Ta còn nói A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P) đi qua A.
• Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu $B\notin(P).$
Quy tắc vẽ hình không gian (hình biểu diễn).
• Đường thẳng vẽ thành đường thẳng, đoạn thẳng vẽ thành đoạn thẳng.
• Hai đường thẳng song song vẽ thành hai đường thẳng song song; hai đường thẳng cắt nhau vẽ thành hai đường thẳng cắt nhau.
• Điểm thuộc đường thẳng thì trên hình vẫn vẽ thuộc đường thẳng đó.
• Nét nhìn thấy vẽ nét liền, nét bị che khuất vẽ nét đứt. Trong hình trên, đoạn đường thẳng nằm ngay dưới mặt phẳng (P) bị mặt phẳng che nên vẽ nét đứt.
Lưu ý. Hình biểu diễn không giữ đúng độ dài và góc. Ví dụ đáy là hình vuông thường được vẽ thành hình bình hành cho có cảm giác “nằm ngang”.
2. Các tính chất thừa nhận
Đây là những điều hiển nhiên được công nhận đúng, không cần chứng minh. Mọi lập luận trong hình học không gian đều dựa vào chúng.
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C kí hiệu là (ABC).
Tính chất 3. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 4. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì các điểm chung của chúng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
Các khái niệm đi kèm.
• Nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng gọi là đồng phẳng; không có mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm đó thì gọi là không đồng phẳng.
• Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc (P) (theo Tính chất 4, chỉ cần hai điểm), ta nói d nằm trong (P), kí hiệu $d\subset(P)$ hoặc $(P)\supset d.$
• Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) gọi là giao tuyến của chúng, kí hiệu $d=(P)\cap(Q).$
Ý nghĩa thực tế. Chân máy ảnh, giá vẽ tranh, kiềng nấu bếp thường có ba chân. Ba đầu chân là ba điểm không thẳng hàng nên xác định đúng một mặt phẳng (Tính chất 2), vì vậy đặt trên mặt đất nào cũng đứng vững, không bị cập kênh như bàn bốn chân.
Lỗi hay gặp. Quên điều kiện “không thẳng hàng”. Qua ba điểm thẳng hàng có vô số mặt phẳng (mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đi qua ba điểm đó).
Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm đó?
Lời giải
Bốn điểm không đồng phẳng nên ba điểm bất kì trong số đó không thẳng hàng, mỗi bộ ba điểm xác định đúng một mặt phẳng. Có bốn bộ ba điểm nên có 4 mặt phẳng, đó là (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc đường thẳng BC. Điểm M có thuộc mặt phẳng (ABC) không? Đường thẳng AM có nằm trong (ABC) không?
Lời giải
• Đường thẳng BC có hai điểm B, C thuộc (ABC) nên $BC\subset(ABC).$ Mà $M\in BC$ nên $M\in(ABC).$
• Đường thẳng AM có hai điểm phân biệt A, M thuộc (ABC) nên $AM\subset(ABC).$
Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), ta tìm hai điểm chung của chúng.
• Tìm điểm chung thứ nhất M (thuộc cả (P) và (Q)).
• Tìm điểm chung thứ hai N, khác M.
• Kết luận $(P)\cap(Q)=MN.$
Mẹo tìm điểm chung.
• Điểm có mặt trong tên của cả hai mặt phẳng, ví dụ S là điểm chung của (SAB) và (SCD).
• Giao điểm của hai đường thẳng a và b, trong đó a nằm trong (P), b nằm trong (Q), đồng thời a, b cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba (thường là mặt đáy) và cắt nhau.
Lỗi hay gặp. Lấy “giao điểm” của hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên hình vẽ hai đường có thể trông như cắt nhau nhưng thực tế không cắt nhau.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM).
Lời giải
• Điểm S thuộc cả hai mặt phẳng, đó là điểm chung thứ nhất.
• Trong tam giác ABC, hai trung tuyến BN và CM cắt nhau tại trọng tâm G. Ta có $G\in BN\subset(SBN)$ và $G\in CM\subset(SCM),$ nên G là điểm chung thứ hai.
Vậy $(SBN)\cap(SCM)=SG,$ giao tuyến đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
3. Cách xác định một mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định hoàn toàn khi biết
• nó đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C, kí hiệu (ABC);
• hoặc nó đi qua một điểm A và chứa một đường thẳng d không đi qua A, kí hiệu mp(A, d);
• hoặc nó chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b, kí hiệu mp(a, b).
Vì sao? Cả hai cách sau đều quy về cách đầu. Lấy hai điểm B, C trên d thì mp(A, d) chính là (ABC). Với hai đường thẳng cắt nhau tại O, lấy thêm A trên a, B trên b thì mp(a, b) chính là (OAB).
Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M và điểm S không thuộc mp(a, b). Tìm giao tuyến của mp(S, a) và mp(S, b).
Lời giải
• Điểm S thuộc cả hai mặt phẳng.
• Ta có $M\in a$ nên M thuộc mp(S, a); $M\in b$ nên M thuộc mp(S, b).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng SM.
Ứng dụng. Cánh cửa quay quanh bản lề (một đường thẳng). Khi cửa hút vào nam châm (một điểm không nằm trên đường thẳng bản lề), mặt phẳng cánh cửa đi qua một điểm và chứa một đường thẳng nên được xác định duy nhất, cánh cửa đứng yên.
4. Hình chóp và hình tứ diện
Cho đa giác lồi $A_1A_2\ldots A_n$ và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác. Nối S với các đỉnh của đa giác được n tam giác $SA_1A_2,$ $SA_2A_3,$ …, $SA_nA_1.$ Hình gồm n tam giác đó và đa giác $A_1A_2\ldots A_n$ gọi là hình chóp, kí hiệu $S.A_1A_2\ldots A_n.$
• S là đỉnh, đa giác $A_1A_2\ldots A_n$ là mặt đáy.
• Các tam giác $SA_1A_2,$ …, $SA_nA_1$ là các mặt bên.
• Các đoạn SA1, SA2, …, SAn là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy là các cạnh đáy.
Hình chóp được gọi tên theo đa giác đáy. Đáy là tam giác thì gọi là hình chóp tam giác, đáy là tứ giác thì gọi là hình chóp tứ giác,…
Ví dụ 5. Kể tên các mặt và các cạnh của hình chóp tứ giác S.ABCD.
Lời giải
• Bốn mặt bên là (SAB), (SBC), (SCD), (SDA); mặt đáy là ABCD.
• Bốn cạnh bên là SA, SB, SC, SD; bốn cạnh đáy là AB, BC, CD, DA.
Vậy hình chóp S.ABCD có 5 mặt và 8 cạnh.
Mẹo nhớ. Hình chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có $n+1$ mặt, $2n$ cạnh và $n+1$ đỉnh.
Cách vẽ hình chóp. Vẽ đáy trước (đáy hình vuông, hình chữ nhật thì vẽ thành hình bình hành), chọn đỉnh đáy nằm phía sau bị che (như D ở hình trên), các cạnh xuất phát từ đỉnh đó vẽ nét đứt; sau đó vẽ đỉnh S và các cạnh bên.
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là hình tứ diện (gọi tắt là tứ diện), kí hiệu ABCD.
• Tứ diện có 4 đỉnh A, B, C, D; 6 cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD; 4 mặt là bốn tam giác trên.
• Hai cạnh không có đỉnh chung gọi là hai cạnh đối diện (AB và CD, AC và BD, AD và BC).
• Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó (đỉnh A đối diện với mặt (BCD)).
• Tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là tứ diện đều.
Nhận xét. Tứ diện là một hình chóp tam giác, và mặt nào của tứ diện cũng có thể coi là mặt đáy.
5. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta tìm một đường thẳng a nằm trong (P) cắt d.
• Chọn một mặt phẳng phụ (Q) chứa d (thường chọn mặt phẳng chứa d và một đỉnh của hình).
• Tìm giao tuyến a của (Q) và (P).
• Trong (Q), gọi I là giao điểm của d và a. Vì $I\in a\subset(P)$ nên I là giao điểm của d và (P).
Nếu trong (P) đã có sẵn một đường thẳng cắt d (cùng nằm trong một mặt phẳng với d) thì dùng luôn đường thẳng đó, không cần mặt phẳng phụ.
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD, E là một điểm nằm trong tam giác BCD, F là một điểm nằm giữa A và E. Tìm giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng (ACD).
Lời giải
• Chọn mặt phẳng phụ. Vì F nằm trên AE nên đường thẳng BF nằm trong mặt phẳng (ABE).
• Tìm giao tuyến. Điểm E nằm trong tam giác BCD nên đường thẳng BE cắt cạnh CD tại M. Hai mặt phẳng (ABE) và (ACD) có hai điểm chung là A và M, nên $(ABE)\cap(ACD)=AM.$
• Tìm giao điểm. Trong mặt phẳng (ABE), đường thẳng BF cắt AM tại N. Ta có $N\in AM\subset(ACD).$
Vậy N là giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng (ACD).
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.1 (SGK trang 77). Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).
b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).
c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).
d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).
Lời giải
a) Sai. Đường thẳng a có thể cắt (P) tại đúng một điểm. Ví dụ trong hình chóp S.ABC, đường thẳng SA chứa điểm A thuộc (ABC) nhưng SA không nằm trong (ABC).
b) Đúng. Đây chính là Tính chất 4.
c) Đúng. Gọi I là giao điểm của a và b. Ta có $I\in a$ và $a\subset(P)$ nên $I\in(P).$
d) Sai. Trong hình chóp S.ABC, lấy $a=AB$ nằm trong (ABC) và $b=SA.$ Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nhưng SA không nằm trong (ABC).
Vậy các mệnh đề đúng là b) và c).
Bài 4.2 (SGK trang 77). Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và D, E khác S.
a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?
b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).
Lời giải
a) Ta có $D\in SA\subset(SAB)$ và $E\in SB\subset(SAB).$ Hai điểm D, E phân biệt (vì SA, SB chỉ có chung điểm S, mà D, E khác S).
Đường thẳng DE có hai điểm phân biệt thuộc (SAB) nên theo Tính chất 4, ta có $DE\subset(SAB).$
Vậy đường thẳng DE nằm trong mặt phẳng (SAB).
b) Ta chứng minh F thuộc từng mặt phẳng.
• Ta có $F\in AB$ và $AB\subset(SAB)$ nên $F\in(SAB).$
• Ta có $F\in DE$ và $DE\subset(CDE)$ nên $F\in(CDE).$
Vậy F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).
Bài 4.3 (SGK trang 77). Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).
Lời giải
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của c với a và b, ta có M khác N.
• Ta có $M\in a$ và $a\subset(P)$ nên $M\in(P).$
• Ta có $N\in b$ và $b\subset(P)$ nên $N\in(P).$
Đường thẳng c có hai điểm phân biệt M, N thuộc (P) nên theo Tính chất 4, mọi điểm của c đều thuộc (P).
Vậy $c\subset(P).$
Bài 4.4 (SGK trang 77). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).
Lời giải
Ý chính là chỉ ra M và N là hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
• Điểm M. Hiển nhiên $M\in(ABM).$ Ta có $M\in SC$ và $SC\subset(SCD)$ nên $M\in(SCD).$
• Điểm N. Ta có $N\in AB\subset(ABM)$ nên $N\in(ABM).$ Ta có $N\in CD\subset(SCD)$ nên $N\in(SCD).$
• M khác N. Điểm N nằm trong mặt phẳng (ABCD). Điểm M thuộc cạnh SC và khác C nên M không thuộc (ABCD) (nếu thuộc thì đường thẳng SC có hai điểm M, C nằm trong (ABCD), kéo theo S thuộc (ABCD), vô lí).
Hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) phân biệt (vì A không thuộc (SCD)) và có hai điểm chung phân biệt M, N.
Vậy $(ABM)\cap(SCD)=MN.$
Bài 4.5 (SGK trang 77). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.
a) Xác định giao điểm của mp(E, d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.
b) Xác định giao tuyến của mp(E, d) với các mặt của hình chóp.
Lời giải
Điểm E không thuộc (ABCD) nên không thuộc d, do đó mp(E, d) được xác định. Các điểm E, M, N, P, Q đều thuộc mp(E, d).
Đường thẳng d cắt hai cạnh CB, CD nên tách đỉnh C khỏi ba đỉnh còn lại, vì vậy P nằm ngoài đoạn AB (B nằm giữa A và P), Q nằm ngoài đoạn AD (D nằm giữa A và Q).
a) Ý chính là dùng các đường thẳng EP, EQ nằm trong mp(E, d).
• Giao điểm với SB. Hai điểm E, P thuộc mp(E, d) nên đường thẳng EP nằm trong mp(E, d). Trong mặt phẳng (SAB), vì B nằm giữa A và P nên đường thẳng EP cắt cạnh SB tại một điểm, gọi là K. Do $K\in EP$ nên K thuộc mp(E, d).
• Giao điểm với SD. Tương tự, trong mặt phẳng (SAD), đường thẳng EQ cắt cạnh SD tại L, và L thuộc mp(E, d).
Vậy mp(E, d) cắt cạnh SB tại K (với $K=EP\cap SB$) và cắt cạnh SD tại L (với $L=EQ\cap SD$).
b) Với mỗi mặt của hình chóp, ta chỉ ra hai điểm chung với mp(E, d).
• Mặt đáy (ABCD) chứa d, nên giao tuyến là đường thẳng d (đoạn MN nằm trên mặt đáy).
• Mặt (SAB) có hai điểm chung E, K, nên giao tuyến là đường thẳng EK.
• Mặt (SAD) có hai điểm chung E, L, nên giao tuyến là đường thẳng EL.
• Mặt (SBC) có hai điểm chung K (thuộc SB) và M (thuộc BC), nên giao tuyến là đường thẳng KM.
• Mặt (SCD) có hai điểm chung L (thuộc SD) và N (thuộc CD), nên giao tuyến là đường thẳng LN.
Vậy mp(E, d) cắt các mặt (ABCD), (SAB), (SAD), (SBC), (SCD) lần lượt theo các giao tuyến d, EK, EL, KM, LN. Các đoạn giao tuyến tạo thành ngũ giác EKMNL (các nét đỏ trên hình).
Bài 4.6 (SGK trang 77). Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho $AM=CM,$ $BN=CN,$ $BP=2DP.$
a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Lời giải
Từ giả thiết, M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC, còn P nằm trên BD với $BP=\dfrac{2}{3}BD.$
a) Ý chính là trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng NP (nằm trong (MNP)) cắt CD.
• NP cắt CD. Hai đường thẳng NP và CD cùng nằm trong mặt phẳng (BCD). Nếu $NP\parallel CD$ thì theo định lí Thalès trong tam giác BCD ta có $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{BP}{BD}.$ Nhưng $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{2}$ còn $\dfrac{BP}{BD}=\dfrac{2}{3},$ vô lí. Do đó NP cắt CD tại một điểm, gọi là Q.
• Ta có $Q\in NP$ và $NP\subset(MNP)$ nên $Q\in(MNP).$ Mà $Q\in CD.$
Vậy giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là điểm $Q=NP\cap CD.$
Ghi chú. Điểm Q nằm trên tia CD, ngoài đoạn CD, và D là trung điểm của CQ. Thật vậy, kẻ $DH\parallel BC$ với H thuộc NQ. Tam giác PDH đồng dạng tam giác PBN nên $\dfrac{DH}{BN}=\dfrac{PD}{PB}=\dfrac{1}{2},$ suy ra $DH=\dfrac{1}{2}CN.$ Tam giác QDH đồng dạng tam giác QCN nên $\dfrac{QD}{QC}=\dfrac{DH}{CN}=\dfrac{1}{2}.$
b) Ta tìm hai điểm chung của (ACD) và (MNP).
• Ta có $M\in AC\subset(ACD)$ và $M\in(MNP),$ nên M là điểm chung.
• Ta có $Q\in CD\subset(ACD)$ và $Q\in NP\subset(MNP),$ nên Q là điểm chung.
Vậy $(ACD)\cap(MNP)=MQ.$
Trên hình, giao tuyến MQ cắt cạnh AD tại R, nên mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo tứ giác MNPR.
Bài 4.7 (SGK trang 77). Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.
Lời giải
Coi mỗi đầu ngón tay đỡ khay là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy khay.
• Nếu chỉ dùng 1 hoặc 2 ngón tay thì các điểm đỡ nằm trên một đường thẳng. Có vô số mặt phẳng chứa một đường thẳng, nên mặt khay có thể nghiêng, xoay quanh đường thẳng đó và đồ ăn dễ bị đổ.
• Nếu dùng 3 ngón tay (đặt không thẳng hàng) thì ba điểm đỡ không thẳng hàng xác định đúng một mặt phẳng (Tính chất 2). Mặt khay được giữ cố định nên khay đứng vững.
Vậy khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay để mặt khay được giữ cố định, không bị nghiêng đổ.
Bài 4.8 (SGK trang 77). Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính, phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.
Lời giải
• Mặt bàn (cùng tờ giấy đặt trên đó) là một phần của mặt phẳng (P).
• Dao cắt quay quanh đầu được cố định vào bàn, nên khi nâng lên hạ xuống, lưỡi dao luôn nằm trong một mặt phẳng cố định (Q).
• Hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt và có điểm chung (đầu dao gắn vào bàn), nên theo Tính chất 5, phần chung của chúng là một đường thẳng, đó là giao tuyến của (P) và (Q).
• Lưỡi dao chỉ chạm tờ giấy tại các điểm vừa thuộc (Q) vừa thuộc (P), tức là các điểm nằm trên giao tuyến.
Vậy đường cắt luôn là đường thẳng.
Bình luận
Viết bình luận của bạn