Bài học Hai đường thẳng song song (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IV. Quan hệ song song trong không gian) giúp các em phân biệt bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian (cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau), nắm các tính chất của hai đường thẳng song song và định lí về ba đường giao tuyến để chứng minh song song, tìm giao tuyến. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng không cắt nhau thì song song. Trong không gian thì khác: một cây cầu vượt và con đường chạy bên dưới nó không cắt nhau nhưng cũng không song song, ta nói chúng chéo nhau. Bài này giúp các em phân biệt rõ các trường hợp đó.
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian.
• Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói $a$ và $b$ đồng phẳng. Khi đó $a$ và $b$ cắt nhau, song song hoặc trùng nhau (giống như trong hình học phẳng).
• Nếu $a$ và $b$ không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói $a$ và $b$ chéo nhau (hay $a$ chéo với $b$).
Bảng sau giúp các em nhận ra ngay vị trí của hai đường thẳng.
| Vị trí | Cùng nằm trong một mặt phẳng? | Số điểm chung |
|---|---|---|
| Cắt nhau | Có | 1 |
| Song song | Có | 0 |
| Trùng nhau | Có | Vô số |
| Chéo nhau | Không | 0 |
Nhận xét.
• Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu $a\parallel b.$
• Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
• Hai đường thẳng không có điểm chung thì hoặc song song, hoặc chéo nhau.
Lỗi hay gặp. Nói "hai đường thẳng không cắt nhau thì song song" là sai trong không gian, vì chúng còn có thể chéo nhau.
Hình ảnh thực tế. Hai thanh ray của một đoạn đường sắt thẳng là hình ảnh hai đường thẳng song song. Một đường dây điện căng ngang phía trên và một con đường đi theo hướng khác ở bên dưới là hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau.
Mẹo chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Dùng phản chứng. Giả sử hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó các điểm trên chúng đồng phẳng, rồi chỉ ra điều vô lí.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Trong tứ diện còn những cặp cạnh nào chéo nhau?
Giải.
• Giả sử AB và CD không chéo nhau. Khi đó có một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng này, nên bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng. Điều này vô lí vì bốn đỉnh của tứ diện không đồng phẳng. Vậy AB và CD chéo nhau.
• Lập luận tương tự, AC và BD chéo nhau, AD và BC chéo nhau.
Vậy tứ diện có ba cặp cạnh đối chéo nhau là AB và CD, AC và BD, AD và BC.
2. Tính chất của hai đường thẳng song song
a) Qua một điểm có đúng một đường thẳng song song
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Hiểu đơn giản là điểm $M$ và đường thẳng $d$ $(M\notin d)$ xác định một mặt phẳng $(P)$. Trong $(P)$, như ở lớp dưới, qua $M$ có đúng một đường thẳng $d'\parallel d.$
b) Tính chất bắc cầu
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
\[\left.\begin{aligned}&a\parallel c\\&b\parallel c\end{aligned}\right\}\Rightarrow a\parallel b\quad(a,\ b\ \text{phân biệt}).\]Ví dụ, các tia sáng Mặt Trời chiếu xuống gần Trái Đất được coi là các đường thẳng đôi một song song với nhau.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC. Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình hành.
Giải.
• Trong tam giác ABC, MQ là đường trung bình nên $MQ\parallel AC$ và $MQ=\dfrac{1}{2}AC.$
• Trong tam giác ACD, PN là đường trung bình nên $PN\parallel AC$ và $PN=\dfrac{1}{2}AC.$
• Hai đường thẳng MQ và PN cùng song song với AC nên $MQ\parallel PN$ (tính chất bắc cầu). Lại có $MQ=PN.$
Vậy tứ giác MPNQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
c) Định lí về ba đường giao tuyến
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy (cùng đi qua một điểm), hoặc đôi một song song với nhau.
Cụ thể, nếu $(P)\cap(Q)=c$, $(R)\cap(P)=a$, $(R)\cap(Q)=b$ thì
• khi hai trong ba giao tuyến cắt nhau tại $M$, giao tuyến còn lại cũng đi qua $M$;
• khi hai trong ba giao tuyến song song, giao tuyến còn lại cũng song song với chúng.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Cách dùng hệ quả để tìm giao tuyến. Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm
+ một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng;
+ hai đường thẳng song song $a\parallel b$ với $a$ nằm trong mặt phẳng thứ nhất, $b$ nằm trong mặt phẳng thứ hai.
Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $a$ (và $b$).
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Giải.
• S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
• Mặt phẳng (SAB) chứa AB, mặt phẳng (SCD) chứa CD, và $AB\parallel CD$ (vì ABCD là hình bình hành).
Theo hệ quả trên, giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng $m$ đi qua S và song song với AB (và CD).
Lỗi hay gặp. Chỉ tìm được một điểm chung S rồi kết luận ngay. Một điểm chung chưa đủ để xác định giao tuyến, cần thêm một điểm chung nữa hoặc biết phương của giao tuyến (song song với đường thẳng nào).
Tóm lại, muốn chứng minh hai đường thẳng song song, ta thường
+ đưa hai đường thẳng về cùng một mặt phẳng rồi dùng hình học phẳng (đường trung bình, định lí Thalès, hình bình hành…);
+ dùng tính chất bắc cầu (cùng song song với đường thẳng thứ ba);
+ dùng định lí về ba đường giao tuyến hoặc hệ quả của nó.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.9 (SGK trang 82). Trong không gian, cho ba đường thẳng $a$, $b$, $c$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
b) Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Nếu $a$ và $b$ cùng song song với $c$ thì $a$ song song với $b$.
d) Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Lời giải
a) Sai. Hai đường thẳng không cắt nhau còn có thể chéo nhau. Ví dụ trong tứ diện ABCD, hai đường thẳng AB và CD không cắt nhau nhưng chéo nhau.
b) Đúng. Đây chính là định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau.
c) Đúng (với $a$ và $b$ là hai đường thẳng phân biệt). Đây là tính chất bắc cầu của hai đường thẳng song song.
d) Sai. Ví dụ trong tứ diện ABCD, lấy $a$ là AB, $b$ là BC, $c$ là CD. Khi đó AB cắt BC tại B, BC cắt CD tại C, nhưng AB và CD chéo nhau.
Vậy các mệnh đề đúng là b) và c).
Ghi chú. Ở ý c), nếu $a$ và $b$ trùng nhau thì ta không nói $a$ song song với $b$. Mệnh đề c) đúng khi hiểu $a$, $b$, $c$ là ba đường thẳng phân biệt (cách hiểu thông thường của đề bài).
Bài 4.10 (SGK trang 82). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
a) AB và CD;
b) AC và BD;
c) SB và CD.
Lời giải
a) ABCD là hình bình hành nên $AB\parallel CD.$ Vậy AB và CD song song.
b) AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên chúng cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Vậy AC và BD cắt nhau.
c) Giả sử SB và CD không chéo nhau. Khi đó có một mặt phẳng chứa cả SB và CD, nên bốn điểm S, B, C, D đồng phẳng. Suy ra S nằm trong mặt phẳng (BCD), cũng chính là mặt phẳng đáy (ABCD). Điều này vô lí vì đỉnh S của hình chóp không nằm trong mặt đáy.
Vậy SB và CD chéo nhau.
Bài 4.11 (SGK trang 82). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Lời giải
Ý chính là dùng đường trung bình trong hai mặt bên (SAD), (SBC) rồi dùng tính chất bắc cầu.
• Trong tam giác SAD, M và Q là trung điểm của SA, SD nên MQ là đường trung bình. Suy ra $MQ\parallel AD$ và $MQ=\dfrac{1}{2}AD.$
• Trong tam giác SBC, N và P là trung điểm của SB, SC nên NP là đường trung bình. Suy ra $NP\parallel BC$ và $NP=\dfrac{1}{2}BC.$
• ABCD là hình bình hành nên $AD\parallel BC$ và $AD=BC.$
Từ ba ý trên, MQ và NP cùng song song với AD nên $MQ\parallel NP$ (tính chất bắc cầu), và $MQ=NP=\dfrac{1}{2}AD.$
Vậy tứ giác MNPQ có hai cạnh đối MQ, NP song song và bằng nhau nên MNPQ là hình bình hành.
Bài 4.12 (SGK trang 82). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang $(AB\parallel CD).$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang.
Lời giải
• Trong tam giác SAB, M và N là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình. Suy ra $MN\parallel AB.$
• Đáy ABCD là hình thang có $AB\parallel CD.$
• Hai đường thẳng phân biệt MN và CD cùng song song với AB nên $MN\parallel CD$ (tính chất bắc cầu). Hai đường thẳng này phân biệt vì M không nằm trong mặt đáy.
• Hai đường thẳng song song MN, CD nằm trong một mặt phẳng, nên bốn điểm M, N, C, D đồng phẳng.
Vậy tứ giác MNCD có hai cạnh đối MN và CD song song nên là hình thang.
Bài 4.13 (SGK trang 82). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang $(AB\parallel CD).$ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28).
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).
b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.
Lời giải
a) Ta dùng hệ quả của định lí về ba đường giao tuyến.
• M thuộc SD mà SD nằm trong (SCD), nên M là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).
• Mặt phẳng (MAB) chứa AB, mặt phẳng (SCD) chứa CD, và $AB\parallel CD.$
Vậy giao tuyến của (MAB) và (SCD) là đường thẳng $d$ đi qua M và song song với CD (cũng song song với AB).
b) • Trong mặt phẳng (SCD), đường thẳng $d$ qua M song song với CD cắt SC tại một điểm, gọi là N′. Vì N′ nằm trên $d$ mà $d$ nằm trong (MAB) nên N′ là giao điểm của SC và (MAB). Do đó N′ trùng với N, tức là $MN\parallel CD.$
• Trong tam giác SCD, đường thẳng MN đi qua trung điểm M của cạnh SD và song song với cạnh CD, nên MN đi qua trung điểm của cạnh SC. Suy ra N là trung điểm của SC.
Vậy MN nối trung điểm hai cạnh SD, SC nên MN là đường trung bình của tam giác SCD.
Bài 4.14 (SGK trang 83). Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.
a) Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD).
b) Chứng minh rằng $d$ song song với BD.
Lời giải
Ta xét P khác A và C (trường hợp đặc biệt xem ghi chú ở cuối lời giải).
a) Ý chính là tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.
• Trong mặt phẳng (ABC), gọi E là giao điểm của AM và BP. Ta có E thuộc AM nằm trong (AMN), và E thuộc BP nằm trong (BPD). Vậy E là một điểm chung.
• Trong mặt phẳng (ACD), gọi F là giao điểm của AN và DP. Tương tự, F cũng là một điểm chung.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) là đường thẳng $d$ đi qua hai điểm E và F.
b) • Trong tam giác BCD, M và N là trung điểm của BC, CD nên MN là đường trung bình. Suy ra $MN\parallel BD.$
• Mặt phẳng (AMN) chứa MN, mặt phẳng (BPD) chứa BD, $MN\parallel BD$, và $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Theo hệ quả của định lí về ba đường giao tuyến, $d$ song song với BD hoặc trùng với MN hay BD.
• Điểm E nằm trong tam giác ABC, không nằm trên MN và không nằm trên BD, nên $d$ không trùng với MN và không trùng với BD.
Vậy $d\parallel BD.$
Ghi chú. Nếu P trùng A thì (BPD) là (ABD), giao tuyến $d$ là đường thẳng qua A song song với BD. Nếu P trùng C thì (BPD) là (BCD), giao tuyến $d$ chính là MN, và MN cũng song song với BD. Như vậy trong mọi trường hợp vẫn có $d\parallel BD.$
Bài 4.15 (SGK trang 83). (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Lời giải
Gọi $m$, $n$ là hai mép cánh cửa gắn bản lề vào hai cạnh đứng của khung cửa, $a$, $b$ là hai mép ngoài của hai cánh.
• Cửa hình chữ nhật.
+ Cánh trái luôn là hình chữ nhật (dù mở ở vị trí nào) nên mép ngoài song song với mép bản lề, tức là $a\parallel m.$ Tương tự, $b\parallel n.$
+ Khung cửa là hình chữ nhật nên hai cạnh đứng song song, tức là $m\parallel n.$
+ Suy ra $a\parallel m\parallel n\parallel b$ nên $a\parallel b$ (tính chất bắc cầu).
Vậy dù mở ở vị trí nào, hai mép ngoài của hai cánh cửa hình chữ nhật luôn song song với nhau.
• Cửa hình thang (Hình 4.30). Mỗi cánh là một hình thang có hai đáy nằm ngang, còn mép bản lề và mép ngoài là hai cạnh bên. Gọi (P), (Q) lần lượt là mặt phẳng chứa cánh trái và cánh phải.
+ Trong cánh trái, $a$ và $m$ là hai cạnh bên của hình thang nên hai đường thẳng $a$ và $m$ cắt nhau. Tương tự, $b$ và $n$ cắt nhau.
+ Giả sử $a\parallel b$ mà hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến $c.$ Ta có (P) chứa $m$, (Q) chứa $n$ và $m\parallel n$ nên theo hệ quả của định lí về ba đường giao tuyến, $c$ song song hoặc trùng với $m$ (nếu $c$ trùng $n$ thì cũng có $c\parallel m$). Tương tự, (P) chứa $a$, (Q) chứa $b$ và $a\parallel b$ nên $c$ song song hoặc trùng với $a.$ Suy ra $a$ song song hoặc trùng với $m$, trái với việc $a$ cắt $m.$ Do đó muốn $a\parallel b$ thì hai cánh cửa không được nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau. Chỉ còn hai khả năng là hai cánh nằm trên hai mặt phẳng song song (không có điểm chung), hoặc cùng nằm trong mặt phẳng khung cửa.
+ Hai cánh nằm trên hai mặt phẳng song song. Nhìn từ trên xuống, hai cánh là hai đoạn thẳng song song cùng chĩa ra ngoài theo một hướng. Đi từ trên xuống dưới, mép $a$ lệch dần ra xa bản lề $m$, tức là lệch theo hướng chĩa ra của cánh, còn mép $b$ lệch dần về phía bản lề $n$, tức là lệch ngược hướng chĩa ra của cánh (hoặc ngược lại, tùy chiều xiên của mép cửa). Vì vậy $a$ và $b$ nghiêng về hai phía ngược nhau nên không song song.
+ Hai cánh cùng nằm trong mặt phẳng khung cửa. Khi cả hai cánh đóng thì $a$ trùng $b.$ Khi một cánh đóng, cánh kia mở bật $180^\circ$ thì $a$ và $b$ nghiêng về hai phía ngược nhau nên cắt nhau. Khi cả hai cánh mở bật $180^\circ$ áp sát tường thì $a$ và $b$ lần lượt đối xứng với mép chung lúc đóng cửa qua bản lề $m$ và $n$, nên $a$ và $b$ nghiêng cùng một phía với cùng độ nghiêng, do đó $a\parallel b.$
Vậy với cửa hình thang, khi hai cánh mở ra ngoài như bình thường (góc mở nhỏ hơn $180^\circ$) thì không có vị trí nào để hai mép ngoài song song. Chỉ ở vị trí đặc biệt cả hai cánh mở bật $180^\circ$ áp sát tường (nếu bản lề cho phép) thì hai mép ngoài mới song song với nhau.
Ghi chú. Về lí thuyết, nếu một cánh mở ra ngoài và cánh kia mở vào trong cùng một góc thì hai cánh nằm trên hai mặt phẳng song song nhưng chĩa ngược hướng nhau, khi đó hai mép ngoài cũng song song. Cửa sổ thực tế thường không mở theo cách này.
Bình luận
Viết bình luận của bạn