Bài học Đường thẳng và mặt phẳng song song (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IV. Quan hệ song song trong không gian) giúp các em nhận biết ba vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, nắm điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, biết cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng và cách tìm giao tuyến. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Sợi dây người thợ xây căng dọc mép viên gạch, xà ngang của khung thành bóng đá, thanh dầm của cây cầu… đều "không bao giờ chạm" mặt đất dù kéo dài bao xa. Đó là hình ảnh của đường thẳng song song với mặt phẳng.
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta đếm số điểm chung của chúng.
• Không có điểm chung thì ta nói d song song với (α), kí hiệu $d\parallel(\alpha)$ hay $(\alpha)\parallel d.$
• Có đúng một điểm chung M thì ta nói d và (α) cắt nhau tại M, kí hiệu $d\cap(\alpha)=\{M\}$ hay $d\cap(\alpha)=M.$
• Có từ hai điểm chung trở lên thì ta nói d nằm trong (α) (hay (α) chứa d), kí hiệu $d\subset(\alpha)$ hay $(\alpha)\supset d.$
Mẹo nhớ. 0 điểm chung → song song; 1 điểm chung → cắt nhau; 2 điểm chung trở lên → nằm trong (vì đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng đó).
Lỗi hay gặp. Thấy đường thẳng có điểm chung với mặt phẳng liền kết luận "cắt nhau" là chưa đủ, vì đường thẳng có thể nằm trong mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Trong các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện, đường thẳng AB cắt những mặt phẳng nào, nằm trong những mặt phẳng nào? Hỏi tương tự với đường thẳng AC.
Giải.
• Đường thẳng AB cắt (ACD) tại A và cắt (BCD) tại B; AB nằm trong (ABC) và (ABD).
• Đường thẳng AC cắt (ABD) tại A và cắt (BCD) tại C; AC nằm trong (ABC) và (ACD).
2. Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng
Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết). Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với một đường thẳng b nằm trong (P) thì a song song với (P).
\[\left.\begin{aligned}&a\not\subset(P)\\&a\parallel b\\&b\subset(P)\end{aligned}\right\}\Rightarrow a\parallel(P).\]Vì sao đúng? Hai đường thẳng song song a, b cùng nằm trong một mặt phẳng (Q), và (Q) cắt (P) theo giao tuyến b. Giả sử a cắt (P) tại M. Khi đó M thuộc cả (P) lẫn (Q) nên M nằm trên giao tuyến b, tức a và b có điểm chung — trái với $a\parallel b.$ Vậy a không cắt (P), lại không nằm trong (P), nên $a\parallel(P).$
Chú ý. Không được bỏ điều kiện "a không nằm trong (P)". Chẳng hạn hai đường thẳng song song a, b cùng nằm trong (P) thì $a\parallel b,$ $b\subset(P)$ nhưng a nằm trong (P) chứ không song song với (P).
Cách chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)
• Tìm trong (P) một đường thẳng b song song với a (thường là một cạnh có sẵn, hoặc đường nối hai điểm đặc biệt như trung điểm, tâm hình bình hành).
• Chứng minh $a\parallel b$ bằng các kiến thức quen thuộc như đường trung bình của tam giác, định lí Thalès đảo, cạnh đối của hình bình hành, hai đáy của hình thang, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
• Giải thích vì sao a không nằm trong (P), rồi kết luận $a\parallel(P).$
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Chứng minh rằng
a) $SC\parallel(MBD);$
b) $CD\parallel(SAB).$
Giải.
a) O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC. Trong tam giác SAC, OM là đường trung bình nên $OM\parallel SC.$ Mà OM nằm trong (MBD) (vì O thuộc BD), còn SC không nằm trong (MBD) (nếu C thuộc (MBD) thì mặt phẳng này chứa B, C, D nên trùng mặt đáy, kéo theo M thuộc mặt đáy, vô lí). Vậy $SC\parallel(MBD).$
b) ABCD là hình bình hành nên $CD\parallel AB,$ mà $AB\subset(SAB)$ và CD không nằm trong (SAB). Vậy $CD\parallel(SAB).$
Ví dụ 3. Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh a song song với mặt phẳng chứa b và c (kí hiệu mp(b, c)).
Giải. Ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên a không nằm trong mp(b, c). Lại có $a\parallel b$ và b nằm trong mp(b, c). Vậy a song song với mp(b, c).
3. Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Định lí 2 (tính chất). Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.
\[\left.\begin{aligned}&a\parallel(P)\\&a\subset(Q)\\&(Q)\cap(P)=b\end{aligned}\right\}\Rightarrow b\parallel a.\](Vẫn dùng hình vẽ ở mục 2: (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến b.)
Vì sao đúng? a và b cùng nằm trong (Q) nên chúng song song hoặc cắt nhau. Nếu chúng cắt nhau tại M thì M thuộc b, tức M thuộc (P), nghĩa là a có điểm chung với (P) — trái với $a\parallel(P).$ Vậy $b\parallel a.$
Cách tìm giao tuyến nhờ tính chất này. Nếu mặt phẳng (Q) chứa một đường thẳng a song song với (P) và (Q) có một điểm chung M với (P), thì giao tuyến của (Q) và (P) là đường thẳng đi qua M và song song với a.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD, điểm E nằm giữa A và C. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, CD. Xác định giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Giải.
• (ABC) chứa AB song song với (P) và có điểm chung E với (P). Qua E kẻ $EF\parallel AB$ (F thuộc BC) thì EF là giao tuyến của (P) và (ABC).
• (ACD) chứa CD song song với (P) và có điểm chung E với (P). Qua E kẻ $EH\parallel CD$ (H thuộc AD) thì EH là giao tuyến của (P) và (ACD).
• (BCD) chứa CD song song với (P) và có điểm chung F với (P). Qua F kẻ $FG\parallel CD$ (G thuộc BD) thì FG là giao tuyến của (P) và (BCD).
• (ABD) có hai điểm chung G, H với (P) nên giao tuyến là GH; hơn nữa (ABD) chứa AB nên $GH\parallel AB.$
• Tứ giác EFGH có $EF\parallel GH$ (cùng song song với AB) và $EH\parallel FG$ (cùng song song với CD) nên EFGH là hình bình hành.
4. Mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Cách dựng. Lấy điểm M bất kì trên a. Qua M kẻ đường thẳng b′ song song với b. Mặt phẳng (P) = mp(a, b′) là mặt phẳng cần tìm.
Giải thích. Vì a và b chéo nhau nên b không nằm trong (P) (nếu nằm trong thì a, b cùng thuộc một mặt phẳng). Mà b song song với b′ nằm trong (P) nên $b\parallel(P).$
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ($AB\parallel CD$). Hai đường thẳng SD và AB có chéo nhau không? Chỉ ra mặt phẳng chứa SD và song song với AB.
Giải. Nếu SD và AB cùng nằm trong một mặt phẳng thì mặt phẳng đó chứa A, B, D, tức là mặt đáy, nên S nằm trong mặt đáy — vô lí. Vậy SD và AB chéo nhau. Mặt phẳng (SCD) chứa SD và chứa CD song song với AB, còn AB không nằm trong (SCD). Vậy (SCD) là mặt phẳng chứa SD và song song với AB.
Liên hệ thực tế. Sợi dây thợ xây căng song song với mép viên gạch dẫn, mà mép gạch song song với mặt đất, nên dây căng cũng song song với mặt đất. Nhờ vậy các hàng gạch xây theo dây luôn thẳng và đều.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.16 (SGK trang 87). Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a và (P) có điểm chung thì a không song song với (P).
b) Nếu a và (P) có điểm chung thì a và (P) cắt nhau.
c) Nếu a song song với b và b nằm trong (P) thì a song song với (P).
d) Nếu a và b song song với (P) thì a song song với b.
Lời giải
a) Đúng. Đường thẳng song song với mặt phẳng thì không có điểm chung với mặt phẳng. Do đó khi a và (P) có điểm chung thì a không song song với (P).
b) Sai. Khi a và (P) có điểm chung, a có thể nằm trong (P). Ví dụ trong tứ diện ABCD, đường thẳng AB có điểm chung với (ABC) nhưng nằm trong (ABC) chứ không cắt.
c) Sai. Mệnh đề thiếu điều kiện "a không nằm trong (P)". Ví dụ a, b là hai cạnh đối AB, CD của hình bình hành ABCD nằm trong (P) thì $a\parallel b,$ $b\subset(P)$ nhưng $a\subset(P).$
d) Sai. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ trong phòng học, gọi (P) là mặt sàn; hai cạnh trần nhà xuất phát từ cùng một góc phòng đều song song với mặt sàn nhưng cắt nhau.
Vậy chỉ có mệnh đề a) đúng.
Bài 4.17 (SGK trang 87). Cho hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AD.
a) Đường thẳng AM có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.
b) Đường thẳng MN có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.
Lời giải
Hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt phẳng nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng, tức ABCD là một tứ diện.
a) M thuộc đường thẳng AC nên đường thẳng AM chính là đường thẳng AC. Đường thẳng này có điểm chung C với (BCD).
Vậy AM không song song với (BCD), mà cắt (BCD) tại C.
b) Trong tam giác ACD, M và N là trung điểm của AC, AD nên MN là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD.$
Ta có $CD\subset(BCD).$ Điểm M không thuộc (BCD) vì đường thẳng AC chỉ cắt (BCD) tại C và $M\ne C,$ nên MN không nằm trong (BCD).
Vậy $MN\parallel(BCD).$
Bài 4.18 (SGK trang 87). Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng đường thẳng BD song song với mặt phẳng (AMN).
Lời giải
Ý chính là tìm trong (AMN) một đường thẳng song song với BD, đó là MN.
• Trong tam giác BCD, M và N là trung điểm của BC, CD nên MN là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD.$ Lại có $MN\subset(AMN).$
• BD không nằm trong (AMN). Thật vậy, (AMN) và (BCD) là hai mặt phẳng phân biệt (vì A không thuộc (BCD)) và cắt nhau theo giao tuyến MN. Nếu BD nằm trong (AMN) thì BD nằm trong cả hai mặt phẳng, nên BD trùng với MN, vô lí vì BD và MN là hai đường thẳng song song.
Vậy $BD\parallel(AMN).$
Bài 4.19 (SGK trang 87). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ($AB\parallel CD$). Gọi E là một điểm nằm giữa S và A. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Lời giải
Ý chính là dùng tính chất "mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với (P) sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với đường thẳng đó".
• Giao tuyến với (SAB). (SAB) chứa AB song song với (P) và có điểm chung E với (P). Trong (SAB), qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt SB tại F. Khi đó (SAB) cắt (P) theo giao tuyến EF và $EF\parallel AB.$
• Giao tuyến với (SAD). (SAD) chứa AD song song với (P) và có điểm chung E với (P). Qua E kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SD tại H. Khi đó (SAD) cắt (P) theo giao tuyến EH và $EH\parallel AD.$
• Giao tuyến với (SCD). Ta có $CD\parallel AB$ và $AB\parallel EF$ nên $CD\parallel EF,$ mà EF nằm trong (P). Điểm D không thuộc (P) (vì $AD\parallel(P)$) nên CD không nằm trong (P). Suy ra $CD\parallel(P).$
(SCD) chứa CD và có điểm chung H với (P). Qua H kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại G. Khi đó (SCD) cắt (P) theo giao tuyến HG và $HG\parallel CD.$
• Giao tuyến với (SBC). (SBC) và (P) có hai điểm chung F, G nên giao tuyến là FG.
• Hình tạo bởi các giao tuyến. Ta có $EF\parallel AB,$ $HG\parallel CD$ và $AB\parallel CD$ nên $EF\parallel HG.$ Do đó tứ giác EFGH là hình thang (hai đáy EF và HG).
Vậy (P) cắt các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) lần lượt theo các giao tuyến EF, FG, GH, HE, và EFGH là hình thang.
Bài 4.20 (SGK trang 87). Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.
Lời giải
Mặt phẳng cố định đó là mặt sàn (mặt đất).
• Cánh cửa có dạng hình chữ nhật nên mép trên của cửa song song với mép dưới của cửa.
• Cửa quay quanh trục bản lề, mép dưới luôn sát mặt sàn, nên ở mọi vị trí ta coi đường thẳng chứa mép dưới nằm trong mặt sàn.
• Mép trên không nằm trong mặt sàn và song song với một đường thẳng nằm trong mặt sàn (mép dưới), nên theo Định lí 1, mép trên song song với mặt sàn.
Vậy dù cửa mở ở vị trí nào, mép trên của cửa luôn song song với mặt sàn.
Bình luận
Viết bình luận của bạn