Bài 13. Hai mặt phẳng song song – Toán 11 Kết nối tri thức (lý thuyết và bài tập có lời giải)

Lời giải

a) Sai. Ví dụ, cho (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Trong (P) lấy đường thẳng a song song với c thì $a\parallel(Q)$ nhưng (P) không song song với (Q).

b) Sai. Trong ví dụ ở câu a), lấy thêm đường thẳng b nằm trong (P) và song song với c (khác a). Khi đó (P) chứa hai đường thẳng a, b cùng song song với (Q) nhưng (P) vẫn cắt (Q). Định lí 1 chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.

c) Đúng. Hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) cùng song song với mặt phẳng thứ ba (R) thì song song với nhau (hệ quả của Tính chất 1).

d) Sai. Ví dụ, (P) là mặt sàn, (Q) là một bức tường và (R) là một bức tường khác vuông góc với (Q). Cả (P) và (Q) đều cắt (R) nhưng (P) cắt (Q).

Vậy chỉ có mệnh đề c) đúng.

Lời giải

Ý chính là tìm trong (MNP) hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (ABC).

• Mặt bên ABB′A′ là hình bình hành, nên $AA'\parallel BB'$ và $AA'=BB'.$ Vì M, N là trung điểm của AA′, BB′ nên $AM\parallel BN$ và $AM=BN.$ Suy ra ABNM là hình bình hành, do đó $MN\parallel AB.$ Mà $AB\subset(ABC)$ nên $MN\parallel(ABC).$

• Tương tự, BCPN là hình bình hành nên $NP\parallel BC,$ suy ra $NP\parallel(ABC).$

• Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP (cắt nhau tại N) cùng song song với (ABC).

Vậy $(MNP)\parallel(ABC).$

Lời giải

Ý chính là trong mp(B, m) có hai đường thẳng cắt nhau tại A là m và AB; ta chứng minh mỗi đường đều song song với mp(C, n).

• Mặt phẳng mp(C, n) chứa n và CD. Điểm A không thuộc mp(C, n), vì nếu ngược lại thì mặt phẳng này chứa A, C, D, tức là trùng với (ABCD), khi đó n nằm trong (ABCD), trái giả thiết. Do đó m và AB (cùng đi qua A) đều không nằm trong mp(C, n).

• Ta có $m\parallel n$ và $n\subset\text{mp}(C,n)$ nên $m\parallel\text{mp}(C,n).$

• ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD nên $AB\parallel CD.$ Mà $CD\subset\text{mp}(C,n)$ nên $AB\parallel\text{mp}(C,n).$

• Mặt phẳng mp(B, m) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và AB cùng song song với mp(C, n).

Vậy mp(B, m) song song với mp(C, n).

Lời giải

Ý chính là dùng Tính chất 2 để có các đoạn song song với AB, rồi dùng định lí Thalès trong tam giác SAB.

• Mặt phẳng (SAB) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (ABC) theo hai giao tuyến A₁B₁ và AB, nên $A_1B_1\parallel AB.$ Tương tự, (SAB) cắt (Q) và (ABC) nên $A_2B_2\parallel AB.$

• Từ $AA_1=A_1A_2=A_2S$ ta có $SA_2=\dfrac{1}{3}SA$ và $SA_1=\dfrac{2}{3}SA.$

• Trong tam giác SAB, vì $A_2B_2\parallel AB$ và $A_1B_1\parallel AB$ nên theo định lí Thalès

Suy ra $SB_2=\dfrac{1}{3}SB$ và $SB_1=\dfrac{2}{3}SB.$ Khi đó

+ $B_2S=\dfrac{1}{3}SB,$

+ $B_1B_2=SB_1-SB_2$ $=\dfrac{2}{3}SB-\dfrac{1}{3}SB$ $=\dfrac{1}{3}SB,$

+ $BB_1=SB-SB_1$ $=SB-\dfrac{2}{3}SB$ $=\dfrac{1}{3}SB.$

Do đó $BB_1=B_1B_2=B_2S.$

• Lập luận tương tự trong mặt phẳng (SAC) (có $A_1C_1\parallel AC$ và $A_2C_2\parallel AC$) ta được $CC_1=C_1C_2=C_2S.$

Vậy $BB_1=B_1B_2=B_2S$ và $CC_1=C_1C_2=C_2S.$

Lời giải

• Mặt phẳng (A″B″C″D″) và mặt phẳng (ABCD) cùng song song với (A′B′C′D′) (hai đáy của hình lăng trụ song song), và chúng phân biệt, nên $(A''B''C''D'')\parallel(ABCD).$

• Các điểm A″, B″, C″, D″ lần lượt nằm trên các cạnh bên AA′, BB′, CC′, DD′. Các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song, nên các đường thẳng AA″, BB″, CC″, DD″ đôi một song song.

• Như vậy, tứ giác ABCD nằm trên (ABCD), qua các đỉnh của nó có các đường thẳng đôi một song song cắt mặt phẳng song song (A″B″C″D″) tại A″, B″, C″, D″. Theo định nghĩa đó là một hình lăng trụ.

Vậy hình tạo bởi tám điểm đã cho là hình lăng trụ tứ giác ABCD.A″B″C″D″.

Lời giải

Gọi M, M′ lần lượt là trung điểm của BC và B′C′. Khi đó G nằm trên trung tuyến AM với $AG=\dfrac{2}{3}AM,$ và G′ nằm trên trung tuyến A′M′ với $A'G'=\dfrac{2}{3}A'M'.$

a) Ý chính là chứng minh $AG\parallel A'G'$ và $AG=A'G'.$

• Mặt bên BCC′B′ là hình bình hành, M, M′ là trung điểm của hai cạnh đối BC, B′C′ nên BMM′B′ là hình bình hành. Suy ra $MM'\parallel BB'$ và $MM'=BB'.$

• Lại có $AA'\parallel BB'$ và $AA'=BB'$ (cạnh bên hình lăng trụ). Do đó $AA'\parallel MM'$ và $AA'=MM',$ nên AMM′A′ là hình bình hành. Suy ra $AM\parallel A'M'$ và $AM=A'M'.$

• Khi đó $AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}A'M'=A'G'.$ Ngoài ra AG nằm trên AM, A′G′ nằm trên A′M′ nên $AG\parallel A'G'.$

Tứ giác AGG′A′ có một cặp cạnh đối AG, A′G′ song song và bằng nhau. Vậy AGG′A′ là hình bình hành.

b) Ta kiểm tra hai điều kiện của hình lăng trụ.

• Tam giác AGC nằm trong (ABC), tam giác A′G′C′ nằm trong (A′B′C′) và $(ABC)\parallel(A'B'C').$

• Theo câu a), $GG'\parallel AA'.$ Lại có $CC'\parallel AA'.$ Do đó ba đường thẳng AA′, GG′, CC′ đôi một song song.

Vậy AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Lời giải

Gọi (α) là mặt phẳng đã cho, $(\alpha)\parallel(ABB'A').$ Ý chính là chứng minh ABNM.A′B′N′M′ là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

• Đáy ABNM. Mặt phẳng (ABCD) cắt hai mặt phẳng song song (ABB′A′) và (α) theo hai giao tuyến AB và MN, nên $AB\parallel MN.$ Lại có $AM\parallel BN$ (vì $AD\parallel BC$). Do đó ABNM là hình bình hành. Tương tự, xét mặt phẳng (A′B′C′D′) ta được A′B′N′M′ là hình bình hành.

• Cạnh bên. Mặt phẳng (ADD′A′) cắt hai mặt phẳng song song (ABB′A′) và (α) theo hai giao tuyến AA′ và MM′, nên $MM'\parallel AA'.$ Tương tự, xét mặt phẳng (BCC′B′) ta được $NN'\parallel BB'.$ Mà $AA'\parallel BB'$ nên bốn đường thẳng AA′, BB′, NN′, MM′ đôi một song song.

• Hai đáy ABNM và A′B′N′M′ nằm trên hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A′B′C′D′).

Do đó ABNM.A′B′N′M′ là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành. Vậy ABNM.A′B′N′M′ là hình hộp.

Lời giải

• Mặt trên của mỗi bậc thang đều nằm ngang, tức là song song với mặt sàn. Các mặt bậc thang phân biệt cùng song song với mặt sàn nên chúng đôi một song song với nhau.

• Bức tường là một mặt phẳng cắt các mặt bậc thang. Phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường chính là giao tuyến của mặt phẳng tường với mặt bậc thang đó.

• Theo Tính chất 2, một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì hai giao tuyến song song với nhau.

Vậy phần mép của các bậc thang nằm trên tường song song với nhau.