Bài học Giới hạn của hàm số (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương V) giúp các em hiểu giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực, giới hạn một bên, giới hạn vô cực, đồng thời nắm chắc cách khử các dạng vô định 0/0, ∞/∞ và quy tắc xét dấu khi tính giới hạn vô cực. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Ở bài trước ta đã học giới hạn của dãy số. Giới hạn của hàm số trả lời câu hỏi: khi $x$ tiến dần tới một số (hoặc ra vô cực) thì giá trị $f(x)$ tiến dần tới đâu? Điều quan trọng là ta chỉ quan tâm $f(x)$ ở gần điểm đó, không cần biết $f(x)$ tại đúng điểm đó.
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa. Cho khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b),$ có thể trừ điểm $x_0.$ Hàm số $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n\in(a;b),$ $x_n\ne x_0$ và $x_n\to x_0,$ ta luôn có $f(x_n)\to L.$
Kí hiệu $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to x_0.$
Hiểu đơn giản. Cho $x$ chạy lại thật gần $x_0$ (nhưng khác $x_0$) mà $f(x)$ chạy lại thật gần số $L$ thì $L$ là giới hạn. Hàm số không cần xác định tại $x_0.$
Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn.
Nếu $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$ và $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M$ thì
• $\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)\pm g(x)\big]=L\pm M;$
• $\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)\cdot g(x)\big]=L\cdot M;$
• $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}$ nếu $M\ne 0;$
• Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in(a;b)\setminus\{x_0\}$ và $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$ thì $L\ge 0$ và $\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}.$
Hai giới hạn cơ bản $\lim\limits_{x\to x_0}c=c$ ($c$ là hằng số), $\lim\limits_{x\to x_0}x^n=x_0^n$ ($n\in\mathbb N$).
Mẹo. Với đa thức, phân thức, căn thức "đẹp" mà khi thay $x=x_0$ vào không ra dạng $\dfrac{0}{0}$ thì giới hạn chính là giá trị thay được.
Ví dụ 1. Tính $\lim\limits_{x\to 2}(x^2-3x+5)$ và $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x+1}{x+2}.$
• $\lim\limits_{x\to 2}(x^2-3x+5)=2^2-3\cdot 2+5=3.$
• Mẫu $x+2\to 3\ne 0$ nên $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x+1}{x+2}=\dfrac{2\cdot1+1}{1+2}=1.$
2. Dạng vô định 0/0 và cách khử
Khi thay $x=x_0$ vào mà tử và mẫu đều bằng 0 (dạng $\dfrac{0}{0}$), ta không dùng ngay quy tắc thương được. Ta biến đổi để rút gọn thừa số chung $(x-x_0)$ ở tử và mẫu, rồi mới thay $x=x_0.$
Cách khử dạng 0/0.
• Tử, mẫu là đa thức thì phân tích thành nhân tử (có nhân tử $x-x_0$) rồi rút gọn.
• Có căn thức thì nhân liên hợp, dùng $(\sqrt A-B)(\sqrt A+B)=A-B^2$ để làm mất căn, rồi rút gọn.
Ví dụ 2 (phân tích nhân tử). Tính $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}.$
• Thay $x=2$ được $\dfrac{0}{0}$ nên phải rút gọn.
• Với $x\ne 2$ ta có $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$
• Vậy $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4.$
Ví dụ 3 (nhân liên hợp). Tính $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{\sqrt x-2}{x-4}.$
• Thay $x=4$ được $\dfrac{0}{0}.$ Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\sqrt x+2$ của tử
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt x-2}{x-4}&=\frac{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{(x-4)(\sqrt x+2)}\\&=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt x+2)}=\frac{1}{\sqrt x+2}.\end{aligned}\]• Vậy $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{\sqrt x-2}{x-4}=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{1}{\sqrt x+2}=\dfrac{1}{4}.$
Lỗi hay gặp. Thay vào ra $\dfrac{0}{0}$ rồi kết luận giới hạn bằng 0 hoặc "không tồn tại" là sai. Dạng $\dfrac{0}{0}$ chỉ báo hiệu "phải biến đổi tiếp".
3. Giới hạn một bên
Nhiều khi $x$ tiến tới $x_0$ từ bên phải và từ bên trái cho kết quả khác nhau, nên ta tách ra hai giới hạn một bên.
• Giới hạn bên phải ($x\to x_0^+$, tức là $x\to x_0$ và $x\gt x_0$). Cho $f(x)$ xác định trên $(x_0;b).$ Số $L$ là giới hạn bên phải của $f(x)$ khi $x\to x_0$ nếu với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_0\lt x_n\lt b,$ $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to L.$ Kí hiệu $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=L.$
• Giới hạn bên trái ($x\to x_0^-$, tức là $x\to x_0$ và $x\lt x_0$). Định nghĩa tương tự với $f(x)$ xác định trên $(a;x_0)$ và $a\lt x_n\lt x_0.$ Kí hiệu $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=L.$
• Liên hệ quan trọng. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=L.$
Như vậy, nếu hai giới hạn một bên khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại $x_0.$
Ví dụ 4. Cho $f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}.$ Tính $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x),$ $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x).$
• Khi $x\to 1^+$ thì $x\gt 1,$ nên $|x-1|=x-1$ và $f(x)=1.$ Suy ra $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1.$
• Khi $x\to 1^-$ thì $x\lt 1,$ nên $|x-1|=-(x-1)$ và $f(x)=-1.$ Suy ra $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-1.$
• Hai giới hạn một bên khác nhau nên $f(x)$ không có giới hạn khi $x\to 1$ (xem đồ thị, hai nhánh "nhảy" tại $x=1$).
Ví dụ 5 (hàm cho bởi nhiều công thức). Cho $f(x)=\begin{cases}x^2+1 & \text{nếu } x\lt 1\\ 3x-1 & \text{nếu } x\ge 1.\end{cases}$ Hàm số có giới hạn khi $x\to 1$ không?
• Bên trái ($x\lt 1$) dùng công thức $x^2+1,$ nên $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1^2+1=2.$
• Bên phải ($x\gt 1$) dùng công thức $3x-1,$ nên $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=3\cdot1-1=2.$
• Hai giới hạn một bên bằng nhau nên $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=2.$
Mẹo. Gặp trị tuyệt đối hoặc hàm nhiều công thức, hãy xác định $x$ đang ở bên nào của $x_0$ để chọn đúng công thức (hoặc bỏ dấu trị tuyệt đối đúng dấu).
4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
• Cho $f(x)$ xác định trên $(a;+\infty).$ Hàm số có giới hạn là số $L$ khi $x\to+\infty$ nếu với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_n\gt a,$ $x_n\to+\infty$ ta có $f(x_n)\to L.$ Kí hiệu $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=L.$
• Tương tự, với $f(x)$ xác định trên $(-\infty;b),$ ta có định nghĩa $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=L$ (dãy $x_n\lt b,$ $x_n\to-\infty$).
• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn ở mục 1 vẫn đúng khi $x\to\pm\infty.$
• Với $c$ là hằng số và $k$ là số nguyên dương
\[\lim_{x\to\pm\infty}c=c,\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^k}=0.\]Hiểu đơn giản. Khi $x$ rất lớn thì $\dfrac{1}{x},$ $\dfrac{1}{x^2},\ldots$ rất nhỏ, gần bằng 0. Ví dụ với $f(x)=1+\dfrac{2}{x-1}$ thì khi $x\to\pm\infty,$ phần $\dfrac{2}{x-1}\to 0$ nên $f(x)\to 1.$ Trên đồ thị, hai đầu đường cong sát dần đường thẳng $y=1.$
5. Dạng vô định ∞/∞ và ∞ − ∞ khi x → ±∞
• Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ (phân thức). Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$ ở mẫu (thường là $x^k$ với $k$ là bậc của mẫu), rồi dùng $\dfrac{1}{x^k}\to 0.$
• Có căn bậc hai. Đưa $x^2$ ra khỏi căn bằng công thức $\sqrt{x^2}=|x|,$ tức là $\sqrt{x^2}=x$ khi $x\gt 0$ (dùng khi $x\to+\infty$) và $\sqrt{x^2}=-x$ khi $x\lt 0$ (dùng khi $x\to-\infty$).
• Dạng $\infty-\infty$ có căn. Nhân và chia với biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức.
Ví dụ 6. Tính $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x+1}{2x^2+5}.$
• Chia cả tử và mẫu cho $x^2$
\[\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}\\&=\frac{3}{2}.\end{aligned}\]Mẹo nhớ. Với phân thức khi $x\to\pm\infty,$ nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì giới hạn bằng tỉ số hai hệ số của lũy thừa cao nhất; bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì giới hạn bằng 0.
Ví dụ 7. Tính $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{x+3}.$
• Vì $x\to-\infty$ nên $x\lt 0,$ do đó $\sqrt{4x^2+1}=\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x^2}\right)}$ $=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$ $=-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}.$
• Suy ra
\[\begin{aligned}&\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+3}\\={}&\lim_{x\to-\infty}\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}\\={}&\lim_{x\to-\infty}\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=-2.\end{aligned}\]Lỗi hay gặp. Viết $\sqrt{x^2}=x$ khi $x\to-\infty$ sẽ ra sai dấu (được 2 thay vì $-2$).
Ví dụ 8. Tính $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right).$
• Đây là dạng $\infty-\infty.$ Nhân và chia với liên hợp $\sqrt{x^2+4x}+x$
\[\begin{aligned}\sqrt{x^2+4x}-x&=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}\\&=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}.\end{aligned}\]• Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x\gt 0$ thì $\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$)
\[\begin{aligned}&\lim_{x\to+\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\\={}&\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\\={}&\frac{4}{2}=2.\end{aligned}\]6. Giới hạn vô cực của hàm số
Xét $f(x)=\dfrac{1}{x^2}.$ Khi $x$ tiến gần 0 thì $x^2$ rất nhỏ và dương, nên $\dfrac{1}{x^2}$ lớn vô cùng. Ta nói $f(x)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to 0.$
• Cho khoảng $(a;b)$ chứa $x_0$ và $f(x)$ xác định trên $(a;b)\setminus\{x_0\}.$ Hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to x_0$ nếu với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_n\in(a;b)\setminus\{x_0\},$ $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to+\infty.$ Kí hiệu $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty.$
• $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-\infty$ nghĩa là $\lim\limits_{x\to x_0}\big[-f(x)\big]=+\infty.$
• Các giới hạn một bên $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\pm\infty,$ $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\pm\infty$ và các giới hạn $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ được định nghĩa tương tự (chỉ thay điều kiện của dãy $x_n$).
Một số giới hạn đặc biệt ($k$ là số nguyên dương)
• $\lim\limits_{x\to+\infty}x^k=+\infty;$
• $\lim\limits_{x\to-\infty}x^k=+\infty$ nếu $k$ chẵn, $\lim\limits_{x\to-\infty}x^k=-\infty$ nếu $k$ lẻ.
Ví dụ thực tế. Theo thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc $v$ là $m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ($m_0$ là khối lượng khi đứng yên, $c$ là vận tốc ánh sáng). Khi $v\to c^-$ thì mẫu $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\to 0$ và luôn dương, nên $\lim\limits_{v\to c^-}m(v)=+\infty,$ nghĩa là khối lượng trở nên vô cùng lớn.
7. Quy tắc tính giới hạn vô cực (quy tắc dấu)
Chú ý các quy tắc của giới hạn hữu hạn không còn dùng được khi có giới hạn vô cực. Thay vào đó ta dùng hai quy tắc dưới đây. Chúng đúng cho cả $x\to x_0,$ $x\to x_0^+,$ $x\to x_0^-,$ $x\to+\infty,$ $x\to-\infty.$
a) Giới hạn của tích $f(x)\cdot g(x)$ khi $\lim f(x)=L\ne 0$ và $\lim g(x)=\pm\infty$
| $\lim f(x)$ | $\lim g(x)$ | $\lim f(x)g(x)$ |
|---|---|---|
| $L\gt 0$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $-\infty$ | $-\infty$ | |
| $L\lt 0$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $-\infty$ | $+\infty$ |
b) Giới hạn của thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$
| $\lim f(x)$ | $\lim g(x)$ | Dấu $g(x)$ | $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}$ |
|---|---|---|---|
| $L$ | $\pm\infty$ | Tùy ý | $0$ |
| $L\gt 0$ | $0$ | $+$ | $+\infty$ |
| $-$ | $-\infty$ | ||
| $L\lt 0$ | $0$ | $+$ | $-\infty$ |
| $-$ | $+\infty$ |
Mẹo nhớ. Dấu của kết quả $\pm\infty$ lấy theo quy tắc nhân dấu quen thuộc: "cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm". Với thương $\dfrac{L}{g(x)}$ mà $g(x)\to 0,$ ta chỉ cần biết dấu của $L$ và dấu của $g(x)$ khi $x$ ở gần $x_0$ (về phía đang xét).
Ví dụ 9. Tính $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^2}.$
• Tử $x-2\to -2\lt 0.$ Mẫu $x^2\to 0$ và $x^2\gt 0$ với mọi $x\ne 0.$
• Theo quy tắc thương ($L\lt 0,$ mẫu dương) ta được $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^2}=-\infty.$
Ví dụ 10. Tính $\lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{x+1}{x-3}$ và $\lim\limits_{x\to 3^-}\dfrac{x+1}{x-3}.$
• Tử $x+1\to 4\gt 0,$ mẫu $x-3\to 0.$
• Khi $x\to 3^+$ thì $x\gt 3$ nên $x-3\gt 0.$ Suy ra $\lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{x+1}{x-3}=+\infty.$
• Khi $x\to 3^-$ thì $x\lt 3$ nên $x-3\lt 0.$ Suy ra $\lim\limits_{x\to 3^-}\dfrac{x+1}{x-3}=-\infty.$
Ví dụ 11. Tính $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3-2x^2).$
• Đặt $x^3$ làm thừa số chung, $x^3-2x^2=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}\right).$
• Ta có $\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ và $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)=1\gt 0.$
• Theo quy tắc tích, $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3-2x^2)=-\infty.$
8. Tóm tắt cách tính giới hạn hàm số
| Gặp dạng | Cách làm |
|---|---|
| Thay được, không ra $\frac{0}{0}$ | Thay trực tiếp $x=x_0$ |
| $\frac{0}{0}$ (đa thức) | Phân tích nhân tử, rút gọn |
| $\frac{0}{0}$ (có căn) | Nhân liên hợp, rút gọn |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | Chia cho lũy thừa cao nhất |
| $\infty-\infty$ (có căn) | Nhân liên hợp |
| $\frac{L}{0}$ với $L\ne 0$ | Xét dấu mẫu, dùng quy tắc dấu |
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.7 (SGK trang 118). Cho hai hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ và $g(x)=x+1.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $f(x)=g(x);$
b) $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}g(x).$
Lời giải
a) Hàm số $f(x)$ chỉ xác định khi $x\ne 1,$ còn $g(x)$ xác định với mọi $x\in\mathbb R.$
• Tại $x=1$ thì $g(1)=2$ nhưng $f(1)$ không xác định.
• Với $x\ne 1$ thì $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$ $=x+1=g(x),$ nhưng hai hàm số có tập xác định khác nhau nên không bằng nhau.
Vậy khẳng định a) sai.
b) Khi $x\to 1$ ta chỉ xét $x\ne 1$ nên
\[\begin{aligned}\lim_{x\to 1}f(x)&=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1}(x+1)=2.\end{aligned}\]Mặt khác $\lim\limits_{x\to 1}g(x)=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2.$
Vậy khẳng định b) đúng.
Đồ thị của $f(x)$ là đường thẳng $y=x+1$ bị "khuyết" điểm $(1;2)$ (chấm tròn rỗng), nhưng khi $x\to 1$ giá trị $f(x)$ vẫn tiến tới 2.
Bài 5.8 (SGK trang 118). Tính các giới hạn sau
a) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(x+2)^2-4}{x};$
b) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}.$
Lời giải
a) Thay $x=0$ được dạng $\dfrac{0}{0}$ nên ta khai triển tử rồi rút gọn.
• Ta có $(x+2)^2-4=x^2+4x=x(x+4).$
• Suy ra
\[\begin{aligned}\lim_{x\to 0}\frac{(x+2)^2-4}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+4)}{x}\\&=\lim_{x\to 0}(x+4)=4.\end{aligned}\]Vậy giới hạn bằng 4.
b) Thay $x=0$ được dạng $\dfrac{0}{0}$ và tử có căn nên ta nhân liên hợp $\sqrt{x^2+9}+3.$
• Ta có
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}&=\frac{(x^2+9)-9}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}\\&=\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}.\end{aligned}\]• Suy ra
\[\begin{aligned}&\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}\\={}&\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\\={}&\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.\end{aligned}\]Vậy giới hạn bằng $\dfrac{1}{6}.$
Bài 5.9 (SGK trang 118). Cho hàm số $H(t)=\begin{cases}0 & \text{nếu } t\lt 0\\ 1 & \text{nếu } t\ge 0\end{cases}$ (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm $t=0$).
Tính $\lim\limits_{t\to 0^+}H(t)$ và $\lim\limits_{t\to 0^-}H(t).$
Lời giải
• Khi $t\to 0^+$ thì $t\gt 0,$ do đó $H(t)=1.$ Suy ra $\lim\limits_{t\to 0^+}H(t)=1.$
• Khi $t\to 0^-$ thì $t\lt 0,$ do đó $H(t)=0.$ Suy ra $\lim\limits_{t\to 0^-}H(t)=0.$
Vậy $\lim\limits_{t\to 0^+}H(t)=1$ và $\lim\limits_{t\to 0^-}H(t)=0.$ Hai giới hạn một bên khác nhau nên $H(t)$ không có giới hạn khi $t\to 0$ (đồ thị "nhảy bậc" tại $t=0$).
Bài 5.10 (SGK trang 118). Tính các giới hạn một bên
a) $\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x-2}{x-1};$
b) $\lim\limits_{x\to 4^-}\dfrac{x^2-x+1}{4-x}.$
Lời giải
Ý chính là tử dần tới một số khác 0, mẫu dần tới 0, nên ta xét dấu của mẫu rồi dùng quy tắc tìm giới hạn của thương.
a) • Tử $\lim\limits_{x\to 1^+}(x-2)=-1\lt 0.$
• Mẫu $\lim\limits_{x\to 1^+}(x-1)=0,$ và khi $x\to 1^+$ thì $x\gt 1$ nên $x-1\gt 0.$
• Tử âm, mẫu dương dần tới 0 nên thương dần tới $-\infty.$
Vậy $\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x-2}{x-1}=-\infty.$
b) • Tử $\lim\limits_{x\to 4^-}(x^2-x+1)$ $=16-4+1$ $=13\gt 0.$
• Mẫu $\lim\limits_{x\to 4^-}(4-x)=0,$ và khi $x\to 4^-$ thì $x\lt 4$ nên $4-x\gt 0.$
• Tử dương, mẫu dương dần tới 0 nên thương dần tới $+\infty.$
Vậy $\lim\limits_{x\to 4^-}\dfrac{x^2-x+1}{4-x}=+\infty.$
Bài 5.11 (SGK trang 118). Cho hàm số $g(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{|x-2|}.$ Tìm $\lim\limits_{x\to 2^+}g(x)$ và $\lim\limits_{x\to 2^-}g(x).$
Lời giải
Ý chính là bỏ dấu trị tuyệt đối theo từng phía của điểm 2, rồi rút gọn nhân tử $x-2.$ Tử số phân tích được $x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$
• Giới hạn bên phải. Khi $x\to 2^+$ thì $x\gt 2$ nên $|x-2|=x-2.$ Ta có
\[\begin{aligned}\lim_{x\to 2^+}g(x)&=\lim_{x\to 2^+}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}\\&=\lim_{x\to 2^+}(x-3)=-1.\end{aligned}\]• Giới hạn bên trái. Khi $x\to 2^-$ thì $x\lt 2$ nên $|x-2|=-(x-2).$ Ta có
\[\begin{aligned}\lim_{x\to 2^-}g(x)&=\lim_{x\to 2^-}\frac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)}\\&=\lim_{x\to 2^-}(3-x)=1.\end{aligned}\]Vậy $\lim\limits_{x\to 2^+}g(x)=-1$ và $\lim\limits_{x\to 2^-}g(x)=1.$
Bài 5.12 (SGK trang 118). Tính các giới hạn sau
a) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}};$
b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right).$
Lời giải
a) Đây là dạng $\dfrac{\infty}{\infty}.$ Ý chính là đưa $x$ ra khỏi căn rồi chia tử và mẫu cho $x.$
• Vì $x\to+\infty$ nên $x\gt 0,$ do đó $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}$ $=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.$
• Chia tử và mẫu cho $x,$ ta có
\[\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\&=\frac{0-2}{\sqrt{1+0}}=-2.\end{aligned}\]Vậy giới hạn bằng $-2.$
b) Đây là dạng $\infty-\infty$ có căn nên ta nhân và chia với biểu thức liên hợp $\sqrt{x^2+x+2}+x.$
• Ta có
\[\begin{aligned}&\sqrt{x^2+x+2}-x\\={}&\frac{(x^2+x+2)-x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}\\={}&\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}.\end{aligned}\]• Với $x\gt 0$ thì $\sqrt{x^2+x+2}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}.$ Chia tử và mẫu cho $x,$ ta được
\[\begin{aligned}&\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}\\={}&\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1}\\={}&\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.\end{aligned}\]Vậy giới hạn bằng $\dfrac{1}{2}.$
Bài 5.13 (SGK trang 118). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2}{(x-1)(x-2)}.$ Tìm $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)$ và $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x).$
Lời giải
Ý chính là tử bằng $2\gt 0,$ mẫu $(x-1)(x-2)\to (2-1)(2-2)$ $=0,$ nên ta xét dấu của mẫu khi $x$ ở gần 2 rồi dùng quy tắc tìm giới hạn của thương. Khi $x$ gần 2 thì $x-1\gt 0$ (vì $x-1$ gần 1).
• Giới hạn bên phải. Khi $x\to 2^+$ thì $x-2\gt 0,$ suy ra $(x-1)(x-2)\gt 0.$ Tử dương, mẫu dương dần tới 0 nên $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$
• Giới hạn bên trái. Khi $x\to 2^-$ thì $x-2\lt 0,$ suy ra $(x-1)(x-2)\lt 0.$ Tử dương, mẫu âm dần tới 0 nên $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty.$
Vậy $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty.$
Bình luận
Viết bình luận của bạn