Bài học Hàm số liên tục (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục) giúp các em hiểu thế nào là hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn, biết các hàm số sơ cấp liên tục ở đâu và dùng tính liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa, kể cả bài tập cuối chương V.
A. Tóm tắt lý thuyết
Nói nôm na, một hàm số liên tục khi đồ thị của nó là một nét liền, vẽ được mà không phải nhấc bút. Chỗ nào đồ thị bị "đứt" hoặc "nhảy bậc" thì hàm số gián đoạn tại đó. Bài học này giúp các em kiểm tra điều đó bằng giới hạn.
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0.$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).\]Hàm số không liên tục tại $x_0$ thì ta nói hàm số gián đoạn tại $x_0.$
Cách kiểm tra hàm số liên tục tại $x_0$ (đủ cả 3 điều kiện)
• Điều kiện 1. Hàm số xác định tại $x_0$ (tính được $f(x_0)$).
• Điều kiện 2. Tồn tại giới hạn $\lim\limits_{x\to x_0}f(x).$ Với hàm cho bởi nhiều công thức, ta tính hai giới hạn một bên và kiểm tra chúng bằng nhau.
• Điều kiện 3. Giới hạn đó bằng đúng $f(x_0).$
Thiếu một trong ba điều kiện thì hàm số gián đoạn tại $x_0.$
Mẹo nhớ. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi
\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0).\]Nghĩa là "giới hạn bên phải = giới hạn bên trái = giá trị tại điểm".
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ tại $x_0=2.$
• Hàm số xác định khi $x\ne 1,$ nên xác định tại $x_0=2$ và $f(2)=\dfrac{2+1}{2-1}=3.$
• Ta có $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{3}{1}=3=f(2).$
Vậy hàm số liên tục tại $x_0=2.$
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm dấu $s(x)=\begin{cases}1 & \text{nếu } x\gt 0\\ 0 & \text{nếu } x=0\\ -1 & \text{nếu } x\lt 0\end{cases}$ tại $x_0=0.$
• Bên phải điểm 0 thì $s(x)=1$ nên $\lim\limits_{x\to 0^+}s(x)=1.$
• Bên trái điểm 0 thì $s(x)=-1$ nên $\lim\limits_{x\to 0^-}s(x)=-1.$
Hai giới hạn một bên khác nhau nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 0}s(x).$ Vậy hàm số gián đoạn tại 0. Trên đồ thị, tại $x=0$ đồ thị bị "nhảy bậc" (chấm rỗng là điểm không thuộc đồ thị).
Ví dụ 3. Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{nếu } x\ne 1\\ 2 & \text{nếu } x=1.\end{cases}$ Hàm số có liên tục tại $x_0=1$ không?
• Ta có $f(1)=2.$
• Với $x\ne 1$ thì $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,$ nên $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2.$
• Ta thấy $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=2=f(1).$
Vậy hàm số liên tục tại $x_0=1.$ (Nếu thay giá trị $f(1)$ bằng số khác 2 thì hàm số sẽ gián đoạn tại 1.)
Lỗi hay gặp. Chỉ tính giới hạn mà quên so sánh với $f(x_0),$ hoặc với hàm nhiều công thức lại chỉ tính một phía. Phải kiểm tra đủ 3 điều kiện.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn
• Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và
\[\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\] \[\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).\]Ở hai đầu mút của đoạn, ta chỉ xét giới hạn một bên (phía nằm trong đoạn). Liên tục trên nửa khoảng như $(a;b],$ $[a;+\infty),$ … được hiểu tương tự.
Ý nghĩa hình học. Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Ví dụ 4. Hai hàm số $f(x)=\begin{cases}2x & \text{nếu } 0\le x\le \frac12\\ 1 & \text{nếu } \frac12\lt x\le 1\end{cases}$ và $g(x)=\begin{cases}x & \text{nếu } 0\le x\le \frac12\\ 1 & \text{nếu } \frac12\lt x\le 1\end{cases}$ có đồ thị như hình dưới (hình trên là $f,$ hình dưới là $g$).
• Tại $x=\frac12$ hàm $f$ có $\lim\limits_{x\to \frac12^-}f(x)=1,$ $\lim\limits_{x\to \frac12^+}f(x)=1$ và $f\left(\frac12\right)=1.$ Do đó $f$ liên tục tại $\frac12,$ đồ thị là một đường liền trên đoạn $[0;1].$
• Tại $x=\frac12$ hàm $g$ có $\lim\limits_{x\to \frac12^-}g(x)=\frac12$ nhưng $\lim\limits_{x\to \frac12^+}g(x)=1.$ Do đó $g$ gián đoạn tại $\frac12,$ đồ thị bị đứt thành hai phần.
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\begin{cases}x-1 & \text{nếu } x\in(0;1)\\ 0 & \text{nếu } x=1\end{cases}$ trên nửa khoảng $(0;1].$
• Trên khoảng $(0;1)$ thì $f(x)=x-1.$ Với mọi $x_0\in(0;1)$ ta có $\lim\limits_{x\to x_0}(x-1)=x_0-1=f(x_0),$ nên $f$ liên tục trên $(0;1).$
• Tại đầu mút phải $x=1$ ta có $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}(x-1)=0=f(1).$
Vậy $f(x)$ liên tục trên nửa khoảng $(0;1].$
3. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp và các phép toán
Các hàm số sơ cấp cơ bản
• Hàm số đa thức và các hàm số $y=\sin x,$ $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb R.$
• Các hàm số $y=\tan x,$ $y=\cot x,$ $y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng, tức là liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Tổng, hiệu, tích, thương. Nếu $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại $x_0$ thì
• Các hàm số $f(x)+g(x),$ $f(x)-g(x),$ $f(x)\cdot g(x)$ liên tục tại $x_0.$
• Hàm số $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0)\ne 0.$
Cách làm. Muốn tìm các khoảng mà hàm số (cho bởi một công thức) liên tục, ta chỉ cần tìm tập xác định. Hàm số liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Ví dụ 6. Tìm các khoảng trên đó hàm số $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ liên tục.
Hàm số là phân thức hữu tỉ, xác định khi $x\ne 1.$ Tập xác định là $(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$ Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty).$
Ví dụ 7. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\dfrac{\sin x}{x-1}.$
Tử $\sin x$ (hàm lượng giác) và mẫu $x-1$ (đa thức) đều liên tục trên $\mathbb R.$ Thương của chúng liên tục tại mọi điểm làm mẫu khác 0, tức là $x\ne 1.$ Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty).$
Chú ý. Với hàm số cho bởi nhiều công thức, trên mỗi khoảng ta dùng tính chất các hàm sơ cấp, còn tại điểm nối giữa các công thức phải kiểm tra riêng bằng giới hạn một bên (xem Bài 5.15b, 5.16 ở dưới).
4. Ứng dụng chứng minh phương trình có nghiệm
Nhận xét quan trọng. Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)\cdot f(b)\lt 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in(a;b)$ sao cho $f(c)=0.$
Hiểu bằng hình. $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu nghĩa là một đầu đồ thị nằm dưới trục Ox, đầu kia nằm trên. Vì đồ thị là một đường liền nên nó phải cắt trục Ox ít nhất một lần, hoành độ giao điểm chính là nghiệm $c.$
Cách làm để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có nghiệm.
• Chọn hai số $a,$ $b$ (thường thử $0,$ $\pm1,$ $\pm2,$ …) sao cho $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu.
• Nói rõ $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ (đa thức thì liên tục trên $\mathbb R$).
• Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $(a;b).$
Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình $x^5+x^3-10=0$ có ít nhất một nghiệm.
• Xét hàm số $f(x)=x^5+x^3-10.$ Đây là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb R,$ do đó liên tục trên đoạn $[0;2].$
• Ta có $f(0)=-10\lt 0$ và $f(2)=32+8-10=30\gt 0,$ suy ra $f(0)\cdot f(2)\lt 0.$
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;2).$
Lỗi hay gặp. Nhận xét trên chỉ cho biết có ít nhất một nghiệm, không cho biết có đúng một nghiệm. Ngược lại, nếu $f(a)\cdot f(b)\gt 0$ thì chưa kết luận được phương trình vô nghiệm trên $(a;b).$ Ngoài ra, phải nêu điều kiện liên tục trên đoạn $[a;b];$ thiếu điều kiện này thì kết luận có thể sai (ví dụ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ có $f(-1)\cdot f(1)\lt 0$ nhưng không có nghiệm).
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.14 (SGK trang 122). Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục tại $x=1.$ Biết $f(1)=2$ và $\lim\limits_{x\to 1}\left[2f(x)-g(x)\right]=3.$ Tính $g(1).$
Lời giải
Ý chính là hàm liên tục tại $x=1$ thì giới hạn tại 1 bằng giá trị tại 1.
• Hai hàm $f,$ $g$ liên tục tại $x=1$ nên hàm $2f(x)-g(x)$ cũng liên tục tại $x=1.$ Do đó
\[\lim_{x\to 1}\left[2f(x)-g(x)\right]=2f(1)-g(1).\]• Suy ra $2f(1)-g(1)=3,$ tức là $2\cdot 2-g(1)=3.$
Vậy $g(1)=1.$
Bài 5.15 (SGK trang 122). Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng
a) $f(x)=\dfrac{x}{x^2+5x+6};$
b) $f(x)=\begin{cases}1+x^2 & \text{nếu } x\lt 1\\ 4-x & \text{nếu } x\ge 1.\end{cases}$
Lời giải
a) Hàm số là phân thức hữu tỉ, xác định khi $x^2+5x+6\ne 0$ $\Leftrightarrow x\ne -2$ và $x\ne -3.$
Tập xác định là $D=\mathbb R\setminus\{-3;-2\}.$ Phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty;-3),$ $(-3;-2)$ và $(-2;+\infty).$
b) Tập xác định là $\mathbb R.$
• Trên khoảng $(-\infty;1)$ thì $f(x)=1+x^2$ là đa thức nên liên tục.
• Trên khoảng $(1;+\infty)$ thì $f(x)=4-x$ là đa thức nên liên tục.
• Tại điểm nối $x=1$ ta có $f(1)=4-1=3,$
\[\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(1+x^2)=2,\] \[\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(4-x)=3.\]Hai giới hạn một bên khác nhau $(2\ne 3)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}f(x).$ Do đó hàm số gián đoạn tại $x=1.$
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty),$ gián đoạn tại $x=1.$
Bài 5.16 (SGK trang 122). Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số
\[f(x)=\begin{cases}\sin x & \text{nếu } x\ge 0\\ -x+m & \text{nếu } x\lt 0\end{cases}\]liên tục trên $\mathbb R.$
Lời giải
Ý chính là trên mỗi khoảng hàm số luôn liên tục, chỉ cần làm cho hàm số liên tục tại điểm nối $x=0.$
• Trên $(0;+\infty)$ thì $f(x)=\sin x$ liên tục. Trên $(-\infty;0)$ thì $f(x)=-x+m$ là đa thức nên liên tục.
• Tại $x=0$ ta có $f(0)=\sin 0=0,$
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\sin x=0,\] \[\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(-x+m)=m.\]• Hàm số liên tục tại $x=0$ khi hai giới hạn một bên bằng nhau và bằng $f(0),$ tức là $m=0.$
Vậy $m=0.$
Bài 5.17 (SGK trang 122). Một bảng giá cước taxi được cho như sau
| Loại cước | Giá |
|---|---|
| Giá mở cửa (0,5 km đầu) | 10 000 đồng |
| Giá cước các km tiếp theo đến 30 km | 13 500 đồng |
| Giá cước từ km thứ 31 | 11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Lời giải
a) Gọi $x$ (km) là quãng đường di chuyển $(x\gt 0)$ và $f(x)$ (đồng) là số tiền phải trả.
• Nếu $0\lt x\le 0{,}5$ thì khách chỉ trả giá mở cửa, $f(x)=10\,000.$
• Nếu $0{,}5\lt x\le 30$ thì ngoài 0,5 km đầu, khách đi thêm $x-0{,}5$ km, mỗi km giá 13 500 đồng. Ta có
\[\begin{aligned}f(x)&=10\,000+13\,500(x-0{,}5)\\&=13\,500x+3\,250.\end{aligned}\]• Nếu $x\gt 30$ thì tiền 30 km đầu là $f(30)=13\,500\cdot 30+3\,250$ $=408\,250$ đồng, cộng thêm $x-30$ km, mỗi km giá 11 000 đồng. Ta có
\[\begin{aligned}f(x)&=408\,250+11\,000(x-30)\\&=11\,000x+78\,250.\end{aligned}\]Vậy hàm số cần tìm là
+ $f(x)=10\,000$ nếu $0\lt x\le 0{,}5;$
+ $f(x)=13\,500x+3\,250$ nếu $0{,}5\lt x\le 30;$
+ $f(x)=11\,000x+78\,250$ nếu $x\gt 30.$
b) Tập xác định là $(0;+\infty).$
• Trên mỗi khoảng $(0;0{,}5),$ $(0{,}5;30),$ $(30;+\infty)$ hàm số là đa thức nên liên tục.
• Tại $x=0{,}5$ ta có $f(0{,}5)=10\,000,$ $\lim\limits_{x\to 0{,}5^-}f(x)=10\,000$ và
\[\begin{aligned}\lim_{x\to 0{,}5^+}f(x)&=13\,500\cdot 0{,}5+3\,250\\&=10\,000.\end{aligned}\]Ba giá trị bằng nhau nên hàm số liên tục tại $x=0{,}5.$
• Tại $x=30$ ta có $f(30)=408\,250,$ $\lim\limits_{x\to 30^-}f(x)=408\,250$ và
\[\begin{aligned}\lim_{x\to 30^+}f(x)&=11\,000\cdot 30+78\,250\\&=408\,250.\end{aligned}\]Ba giá trị bằng nhau nên hàm số liên tục tại $x=30.$
Vậy hàm số liên tục trên $(0;+\infty).$
C. Bài tập cuối chương V
Trắc nghiệm
Bài 5.18 (SGK trang 123). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n}.$ Mệnh đề đúng là
Lời giải
Đặt $n$ làm nhân tử chung (lưu ý $\sqrt{n^2+1}=n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}$ và $\sqrt n=n\cdot\frac{1}{\sqrt n}$), ta có
\[u_n=n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-\frac{1}{\sqrt n}\right).\]Khi $n\to+\infty$ thì $n\to+\infty$ và biểu thức trong ngoặc dần tới $1-0=1\gt 0.$ Suy ra $\lim u_n=+\infty.$
Chọn C
Bài 5.19 (SGK trang 123). Cho $u_n=\dfrac{2+2^2+\ldots+2^n}{2^n}.$ Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng
Lời giải
• Tử số là tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=2,$ công bội $q=2,$ nên
\[\begin{aligned}2+2^2+\ldots+2^n&=\frac{2(2^n-1)}{2-1}\\&=2^{n+1}-2.\end{aligned}\]• Suy ra $u_n=\dfrac{2^{n+1}-2}{2^n}=2-\dfrac{2}{2^n}.$ Vì $\lim\dfrac{2}{2^n}=0$ nên $\lim u_n=2.$
Chọn B
Bài 5.20 (SGK trang 123). Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n=\dfrac{2}{3^n}.$ Tổng của cấp số nhân này bằng
Lời giải
Dãy số bắt đầu từ $n=1$ (quy ước của SGK) nên số hạng đầu là $u_1=\dfrac{2}{3}.$ Ta có $u_{n+1}=\dfrac{2}{3^{n+1}}=\dfrac{1}{3}u_n$ nên công bội $q=\dfrac{1}{3}$ $(|q|\lt 1).$ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là
\[S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=1.\]Chọn C
Bài 5.21 (SGK trang 123). Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}.$ Mệnh đề đúng là
Lời giải
Nhân và chia với biểu thức liên hợp $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2},$ ta có
\[\begin{aligned}f(x)&=\frac{(x+1)-(x+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\\&=\frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}.\end{aligned}\]Khi $x\to+\infty$ thì mẫu dần tới $+\infty$ nên $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.$
Chọn B
Bài 5.22 (SGK trang 123). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x-x^2}{|x|}.$ Khi đó $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$ bằng
Lời giải
Khi $x\to 0^+$ thì $x\gt 0$ nên $|x|=x.$ Suy ra $f(x)=\dfrac{x(1-x)}{x}=1-x.$
Do đó $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(1-x)=1.$
Chọn B
Bài 5.23 (SGK trang 123). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x+1}{|x+1|}.$ Hàm số $f(x)$ liên tục trên
Lời giải
• Hàm số xác định khi $|x+1|\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1.$ Tại $x=-1$ hàm số không xác định nên loại A, B, D.
• Với $x\gt -1$ thì $f(x)=1;$ với $x\lt -1$ thì $f(x)=-1.$ Đây là các hàm hằng nên $f(x)$ liên tục trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty).$
Chọn C
Bài 5.24 (SGK trang 123). Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+x-2}{x-1} & \text{nếu } x\ne 1\\ a & \text{nếu } x=1.\end{cases}$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ khi
Lời giải
• Ta có $x^2+x-2=(x-1)(x+2),$ nên với $x\ne 1$ thì $f(x)=x+2.$
• Suy ra $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(x+2)=3.$
• Hàm số liên tục tại $x=1$ khi $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1),$ tức là $a=3.$
Chọn B
Tự luận
Bài 5.25 (SGK trang 124). Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n-1|\lt \dfrac{2}{n}.$ Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
Lời giải
• Ta có $\lim\dfrac{2}{n}=0.$ Vì $0\le |u_n-1|\lt \dfrac{2}{n}$ nên $|u_n-1|$ nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• Theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0, suy ra $\lim(u_n-1)=0.$
Vậy $\lim u_n=1.$
Bài 5.26 (SGK trang 124). Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau
a) $u_n=\dfrac{n^2}{3n^2+7n-2};$
b) $v_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k+5^k}{6^k};$
c) $w_n=\dfrac{\sin n}{4n}.$
Lời giải
a) Chia cả tử và mẫu cho $n^2,$ ta có
\[\lim u_n=\lim\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{3}.\]Vậy $\lim u_n=\dfrac{1}{3}.$
b) Tách mỗi số hạng $\dfrac{3^k+5^k}{6^k}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^k+\left(\dfrac{5}{6}\right)^k,$ ta có
\[v_n=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{5}{6}\right)^k.\]• Tổng thứ nhất là tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1, công bội $\frac12,$ nên dần tới $\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$
• Tổng thứ hai là tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1, công bội $\frac56,$ nên dần tới $\dfrac{1}{1-\frac{5}{6}}=6.$
Vậy $\lim v_n=2+6=8.$
c) Vì $|\sin n|\le 1$ nên $|w_n|=\dfrac{|\sin n|}{4n}\le\dfrac{1}{4n}$ với mọi $n\ge 1.$
Mà $\lim\dfrac{1}{4n}=0$ nên theo tính chất "nếu $|u_n|\le v_n$ và $\lim v_n=0$ thì $\lim u_n=0$" ta có $\lim w_n=0.$
Vậy $\lim w_n=0.$
Bài 5.27 (SGK trang 124). Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số
a) 1,(01);
b) 5,(132).
Lời giải
a) Ta viết
\[1{,}(01)=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^2}+\ldots\]Các số hạng sau số 1 lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=\dfrac{1}{100},$ $q=\dfrac{1}{100}.$ Do đó
\[\begin{aligned}1{,}(01)&=1+\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}\\&=1+\frac{1}{99}=\frac{100}{99}.\end{aligned}\]Vậy $1{,}(01)=\dfrac{100}{99}.$
b) Ta viết
\[5{,}(132)=5+\frac{132}{1000}+\frac{132}{1000^2}+\ldots\]Các số hạng sau số 5 lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=\dfrac{132}{1000},$ $q=\dfrac{1}{1000}.$ Do đó
\[\begin{aligned}5{,}(132)&=5+\frac{\frac{132}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}\\&=5+\frac{132}{999}=\frac{1709}{333}.\end{aligned}\]Vậy $5{,}(132)=\dfrac{1709}{333}.$
Bài 5.28 (SGK trang 124). Tính các giới hạn sau
a) $\lim\limits_{x\to 7}\dfrac{\sqrt{x+2}-3}{x-7};$
b) $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x^2-1};$
c) $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2-x}{(1-x)^2};$
d) $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}.$
Lời giải
a) Dạng $\frac{0}{0}$ có căn, ta nhân tử và mẫu với liên hợp $\sqrt{x+2}+3.$ Vì $(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)=x-7$ nên với $x\ne 7$ ta có
\[\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}.\]Vậy giới hạn bằng $\dfrac{1}{\sqrt{9}+3}=\dfrac{1}{6}.$
b) Dạng $\frac{0}{0},$ ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
\[\begin{aligned}\frac{x^3-1}{x^2-1}&=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{x^2+x+1}{x+1}.\end{aligned}\]Vậy giới hạn bằng $\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}.$
c) Ta có $\lim\limits_{x\to 1}(2-x)=1\gt 0.$ Mẫu $(1-x)^2\gt 0$ với mọi $x\ne 1$ và $\lim\limits_{x\to 1}(1-x)^2=0.$
Tử dần tới số dương, mẫu dần tới 0 và luôn dương. Vậy $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2-x}{(1-x)^2}=+\infty.$
d) Khi $x\to-\infty$ thì $x\lt 0$ nên $\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$ $=-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}.$ Chia tử và mẫu cho $x,$ ta có
\[\begin{aligned}&\lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}\\=\;&\lim_{x\to-\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{2}.\end{aligned}\]Vậy giới hạn bằng $-\dfrac{1}{2}.$
Bài 5.29 (SGK trang 124). Tính các giới hạn một bên
a) $\lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{x^2-9}{|x-3|};$
b) $\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}.$
Lời giải
a) Khi $x\to 3^+$ thì $x\gt 3$ nên $|x-3|=x-3.$ Suy ra
\[\frac{x^2-9}{|x-3|}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\]Vậy $\lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{x^2-9}{|x-3|}=\lim\limits_{x\to 3^+}(x+3)=6.$
b) Ta có $\lim\limits_{x\to 1^-}x=1\gt 0.$ Khi $x\to 1^-$ thì $x\lt 1$ nên $\sqrt{1-x}\gt 0$ và $\lim\limits_{x\to 1^-}\sqrt{1-x}=0.$
Tử dần tới số dương, mẫu dần tới 0 và luôn dương. Vậy $\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty.$
Bài 5.30 (SGK trang 124). Chứng minh rằng giới hạn $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại.
Lời giải
Ý chính là tính hai giới hạn một bên tại 0 và chỉ ra chúng khác nhau.
• Khi $x\to 0^+$ thì $x\gt 0,$ $|x|=x$ nên $\dfrac{|x|}{x}=1.$ Suy ra $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{|x|}{x}=1.$
• Khi $x\to 0^-$ thì $x\lt 0,$ $|x|=-x$ nên $\dfrac{|x|}{x}=-1.$ Suy ra $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{|x|}{x}=-1.$
Hai giới hạn một bên khác nhau $(1\ne -1).$ Vậy $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại.
Bài 5.31 (SGK trang 124). Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.
a) $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x} & \text{nếu } x\ne 0\\ 1 & \text{nếu } x=0\end{cases}$ tại điểm $x=0;$
b) $g(x)=\begin{cases}1+x & \text{nếu } x\lt 1\\ 2-x & \text{nếu } x\ge 1\end{cases}$ tại điểm $x=1.$
Lời giải
a) Ta có $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.$
Do đó không tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 0}f(x),$ điều kiện 2 không thỏa mãn. Vậy hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x=0.$
b) Ta có
\[\lim_{x\to 1^-}g(x)=\lim_{x\to 1^-}(1+x)=2,\] \[\lim_{x\to 1^+}g(x)=\lim_{x\to 1^+}(2-x)=1.\]Hai giới hạn một bên khác nhau nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}g(x).$ Vậy hàm số $g(x)$ gián đoạn tại $x=1.$
Bài 5.32 (SGK trang 124). Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là
\[F(r)=\begin{cases}\dfrac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r\lt R\\ \dfrac{GM}{r^2} & \text{nếu } r\ge R,\end{cases}\]trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r).$
Lời giải
Khoảng cách $r\ge 0$ nên hàm số $F(r)$ xác định trên $[0;+\infty).$ Ở đây $G,$ $M,$ $R$ là các hằng số dương.
• Trên $[0;R)$ thì $F(r)=\dfrac{GM}{R^3}\cdot r$ là đa thức bậc nhất nên liên tục.
• Trên $(R;+\infty)$ thì $F(r)=\dfrac{GM}{r^2}$ là phân thức hữu tỉ xác định với mọi $r\gt R$ nên liên tục.
• Tại điểm nối $r=R$ ta có $F(R)=\dfrac{GM}{R^2},$
\[\lim_{r\to R^-}F(r)=\lim_{r\to R^-}\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2},\] \[\lim_{r\to R^+}F(r)=\lim_{r\to R^+}\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}.\]Hai giới hạn một bên bằng nhau và bằng $F(R)$ nên $F(r)$ liên tục tại $r=R.$
Vậy hàm số $F(r)$ liên tục trên $[0;+\infty).$
Bài 5.33 (SGK trang 124). Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
a) $f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+5x+6};$
b) $g(x)=\dfrac{x-2}{\sin x}.$
Lời giải
a) Hàm số xác định khi $x^2+5x+6\ne 0\Leftrightarrow x\ne -2$ và $x\ne -3.$ Tập xác định là $D=\mathbb R\setminus\{-3;-2\}.$
Tử $\cos x$ và mẫu $x^2+5x+6$ đều liên tục trên $\mathbb R,$ mẫu khác 0 tại mọi điểm thuộc $D.$ Theo tính chất thương hai hàm liên tục, $f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc $D.$
Vậy $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty;-3),$ $(-3;-2),$ $(-2;+\infty).$
b) Hàm số xác định khi $\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi$ $(k\in\mathbb Z).$ Tập xác định là $D=\mathbb R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}.$
Tử $x-2$ và mẫu $\sin x$ đều liên tục trên $\mathbb R,$ mẫu khác 0 tại mọi điểm thuộc $D.$ Theo tính chất thương hai hàm liên tục, $g(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc $D.$
Vậy $g(x)$ liên tục trên các khoảng $(k\pi;(k+1)\pi)$ với $k\in\mathbb Z.$
Bài 5.34 (SGK trang 124). Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x)=\begin{cases}x+1 & \text{nếu } x\le a\\ x^2 & \text{nếu } x\gt a\end{cases}$ liên tục trên $\mathbb R.$
Lời giải
Ý chính là trên mỗi khoảng $(-\infty;a)$ và $(a;+\infty)$ hàm số là đa thức nên luôn liên tục, chỉ cần hàm số liên tục tại điểm nối $x=a.$
• Tại $x=a$ ta có $f(a)=a+1,$
\[\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^-}(x+1)=a+1,\] \[\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}x^2=a^2.\]• Hàm số liên tục tại $x=a$ khi $a^2=a+1,$ tức là $a^2-a-1=0.$ Giải phương trình ta được $a=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ hoặc $a=\dfrac{1-\sqrt5}{2}.$
Vậy $a=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}.$
Bình luận
Viết bình luận của bạn