Bài học Công thức lượng giác (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác) giúp các em nắm chắc công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích, kèm mẹo nhớ nhanh và ví dụ dễ hiểu. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Ở Bài 1 các em đã tính được giá trị lượng giác của các góc đặc biệt như $30^\circ,$ $45^\circ,$ $60^\circ.$ Còn các góc như $15^\circ,$ $75^\circ,$ $\dfrac{\pi}{8}$ thì sao? Các công thức trong bài này giúp ta tách, gộp, nhân đôi, chia đôi góc để tính chính xác những giá trị đó mà không cần máy tính.
Trong cả bài, ta luôn hiểu là các biểu thức đều có nghĩa (mẫu số khác 0, $\tan$ xác định…).
1. Công thức cộng
Công thức cộng cho biết sin, côsin, tang của tổng $a+b$ và hiệu $a-b$ của hai góc.
Công thức cộng
\[\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\] \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\] \[\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\] \[\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\] \[\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\] \[\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\]Mẹo nhớ.
• Côsin thì “cos cos, sin sin”, dấu ở giữa ngược với dấu của góc: $\cos(a+b)$ có dấu trừ, $\cos(a-b)$ có dấu cộng.
• Sin thì “sin cos, cos sin”, dấu ở giữa giữ nguyên: $\sin(a+b)$ có dấu cộng, $\sin(a-b)$ có dấu trừ.
• Tang thì tử số giữ nguyên dấu, mẫu số là “1 với dấu ngược lại, rồi $\tan a\tan b$”.
Lỗi hay gặp. Không được “phân phối” như phép nhân: $\cos(a+b)\ne\cos a+\cos b.$ Chẳng hạn $\cos(30^\circ+60^\circ)=\cos90^\circ=0,$ nhưng $\cos30^\circ+\cos60^\circ=\dfrac{\sqrt3+1}{2}.$
Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy tính a) $\sin75^\circ;$ b) $\tan\dfrac{5\pi}{12}.$
Giải
a) Tách $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ (hai góc đặc biệt), dùng công thức $\sin(a+b)$
\[\begin{aligned}&\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)\\&=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ\\&=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12\\&=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.\end{aligned}\]b) Tách $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6},$ với $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ và $\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}.$ Ta có
\[\begin{aligned}\tan\dfrac{5\pi}{12}&=\dfrac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}\\&=\dfrac{(3+\sqrt3)^2}{9-3}=\dfrac{12+6\sqrt3}{6}\\&=2+\sqrt3.\end{aligned}\]Mẹo tách góc. $15^\circ=45^\circ-30^\circ,$ $75^\circ=45^\circ+30^\circ,$ $105^\circ=60^\circ+45^\circ;$ $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4},$ $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6},$ $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}.$
Ví dụ 2 (gộp sin và côsin thành một hàm sin). Chứng minh rằng $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).$
Giải
Khai triển vế phải bằng công thức $\sin(a+b)$ với $\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
\[\begin{aligned}&\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt2\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\\&=\sin x+\cos x.\end{aligned}\]Làm tương tự, ta có $\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right).$
Áp dụng (tình huống mở đầu của SGK). Thiết bị nhận nốt thuần $f_1(t)=5\sin t$ và phát lại nốt $f_2(t)=5\cos t.$ Âm kết hợp là
\[\begin{aligned}f(t)&=5\sin t+5\cos t=5(\sin t+\cos t)\\&=5\sqrt2\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right).\end{aligned}\]Vậy âm kết hợp là một sóng hình sin có biên độ $k=5\sqrt2\approx7{,}07$ và pha ban đầu $\varphi=\dfrac{\pi}{4}.$
Nét đứt xanh dương là $5\sin t,$ nét chấm xanh lá là $5\cos t,$ nét liền đỏ là âm kết hợp $5\sqrt2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right),$ đạt lớn nhất $5\sqrt2$ tại $t=\frac{\pi}{4}.$
2. Công thức nhân đôi và công thức hạ bậc
Thay $b=a$ vào công thức cộng (chẳng hạn $\sin(a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a)$ ta được công thức cho góc gấp đôi $2a.$
Công thức nhân đôi
\[\sin2a=2\sin a\cos a\] \[\begin{aligned}\cos2a&=\cos^2a-\sin^2a\\&=2\cos^2a-1\\&=1-2\sin^2a\end{aligned}\] \[\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}\]• $\cos2a$ có ba dạng. Đề cho $\cos a$ thì dùng $2\cos^2a-1,$ đề cho $\sin a$ thì dùng $1-2\sin^2a$ cho nhanh.
• Từ $\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ chuyển vế, ta được công thức hạ bậc (biến bình phương thành bậc nhất của góc gấp đôi).
Công thức hạ bậc
\[\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}\] \[\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}\]Mẹo nhớ. Côsin đi với dấu cộng, sin đi với dấu trừ. Công thức hạ bậc dùng để tính giá trị lượng giác của “nửa góc” như $\dfrac{\pi}{8}$ (nửa của $\dfrac{\pi}{4}),$ $15^\circ$ (nửa của $30^\circ).$
Ví dụ 3. Cho $\sin a=\dfrac35$ và $0\lt a\lt\dfrac{\pi}{2}.$ Tính $\sin2a,$ $\cos2a,$ $\tan2a.$
Giải
• Vì $0\lt a\lt\dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos a\gt0,$ do đó $\cos a=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac45.$
• $\sin2a=2\sin a\cos a=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}.$
• $\cos2a=1-2\sin^2a=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac{7}{25}.$
• $\tan2a=\dfrac{\sin2a}{\cos2a}=\dfrac{24}{7}.$
Lưu ý. Trước khi khai căn để tìm $\sin a$ hoặc $\cos a,$ luôn xét xem góc $a$ nằm ở góc phần tư nào để chọn dấu đúng.
Ví dụ 4. Không dùng máy tính, tính $\cos\dfrac{\pi}{8}.$
Giải
Dùng công thức hạ bậc với $2a=\dfrac{\pi}{4}$
\[\begin{aligned}\cos^2\dfrac{\pi}{8}&=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}\\&=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt2}{4}.\end{aligned}\]Vì $0\lt\dfrac{\pi}{8}\lt\dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos\dfrac{\pi}{8}\gt0.$ Vậy $\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Cộng hoặc trừ hai công thức $\cos(a-b)$ và $\cos(a+b)$ (tương tự với sin) ta đổi được một tích thành một tổng.
Công thức biến đổi tích thành tổng
\[\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\] \[\sin a\sin b=\tfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\] \[\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a-b)+\sin(a+b)]\]Mẹo nhớ.
• Luôn có $\dfrac12$ ở trước; trong ngoặc là góc hiệu $a-b$ trước, góc tổng $a+b$ sau.
• cos·cos ra cos cộng cos; sin·sin ra cos trừ cos; sin·cos ra sin cộng sin (góc $a$ là góc của sin).
Ví dụ 5. Tính $A=\sin75^\circ\sin15^\circ$ và $B=\sin\dfrac{7\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}.$
Giải
• Với $A,$ dùng công thức $\sin a\sin b$ có hiệu hai góc $75^\circ-15^\circ=60^\circ$ và tổng hai góc $75^\circ+15^\circ=90^\circ.$ Ta có
\[\begin{aligned}A&=\dfrac12(\cos60^\circ-\cos90^\circ)\\&=\dfrac12\left(\dfrac12-0\right)=\dfrac14.\end{aligned}\]• Với $B,$ dùng công thức $\sin a\cos b$ ta có
\[\begin{aligned}B&=\dfrac12\left[\sin\dfrac{6\pi}{12}+\sin\dfrac{8\pi}{12}\right]\\&=\dfrac12\left(\sin\dfrac{\pi}{2}+\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\\&=\dfrac12\left(1+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac{2+\sqrt3}{4}.\end{aligned}\]4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Đặt $u=a-b,$ $v=a+b$ trong các công thức ở mục 3 ta được công thức đổi một tổng (hiệu) thành một tích.
Công thức biến đổi tổng thành tích
\[\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}\] \[\cos u-\cos v=-2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}\] \[\sin u+\sin v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}\] \[\sin u-\sin v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}\]Mẹo nhớ (câu vần quen thuộc) là “cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, sin cộng sin bằng hai sin cos, sin trừ sin bằng hai cos sin”. Góc thứ nhất luôn là nửa tổng $\dfrac{u+v}{2},$ góc thứ hai luôn là nửa hiệu $\dfrac{u-v}{2}.$
Lỗi hay gặp. Quên dấu trừ ở công thức $\cos u-\cos v.$
Ví dụ 6. Không dùng máy tính, tính $A=\sin75^\circ-\sin15^\circ$ và $B=\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}.$
Giải
• $A=2\cos\dfrac{75^\circ+15^\circ}{2}\sin\dfrac{75^\circ-15^\circ}{2}$ $=2\cos45^\circ\sin30^\circ$ $=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt2}{2}.$
• Với $B,$ ghép hai số hạng có nửa tổng là góc đặc biệt
\[\begin{aligned}&\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}\\&=2\cos\dfrac{4\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{3}=\cos\dfrac{4\pi}{9}.\end{aligned}\]Mặt khác $\dfrac{5\pi}{9}=\pi-\dfrac{4\pi}{9}$ nên $\cos\dfrac{5\pi}{9}=-\cos\dfrac{4\pi}{9}.$ Vậy $B=\cos\dfrac{4\pi}{9}-\cos\dfrac{4\pi}{9}=0.$
5. Bảng chọn công thức nhanh
| Khi gặp | Dùng |
|---|---|
| Góc “lạ” tách được thành tổng, hiệu góc đặc biệt ($15^\circ,$ $75^\circ,$ $\frac{\pi}{12}$…) | Công thức cộng |
| Góc gấp đôi $2a$ khi biết $\sin a$ hoặc $\cos a$ | Nhân đôi |
| Nửa góc ($\frac{\pi}{8},$ $22{,}5^\circ$…) hoặc $\sin^2,$ $\cos^2$ | Hạ bậc |
| Tích $\sin\cdot\cos,$ $\cos\cdot\cos,$ $\sin\cdot\sin$ | Tích thành tổng |
| Tổng, hiệu hai sin hoặc hai côsin | Tổng thành tích |
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Trong SGK, các bài tập của bài này được đánh số tiếp theo Bài 1 (từ 1.7 đến 1.13).
Bài 1.7 (SGK trang 21). Sử dụng $15^\circ=45^\circ-30^\circ,$ hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^\circ.$
Lời giải
Ta dùng công thức cộng (dạng hiệu) với $a=45^\circ,$ $b=30^\circ.$
• Tính sin.
\[\begin{aligned}&\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)\\&=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ\\&=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12\\&=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.\end{aligned}\]• Tính côsin.
\[\begin{aligned}&\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)\\&=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\\&=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12\\&=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.\end{aligned}\]• Tính tang. Với $\tan45^\circ=1$ và $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}$ ta có
\[\begin{aligned}\tan15^\circ&=\dfrac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ}\\&=\dfrac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+\frac{\sqrt3}{3}}=\dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}\\&=\dfrac{(3-\sqrt3)^2}{9-3}=\dfrac{12-6\sqrt3}{6}\\&=2-\sqrt3.\end{aligned}\]• Tính côtang. $\cot15^\circ=\dfrac{1}{\tan15^\circ}$ $=\dfrac{1}{2-\sqrt3}$ $=2+\sqrt3$ (nhân cả tử và mẫu với $2+\sqrt3).$
Vậy $\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4},$ $\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4},$ $\tan15^\circ=2-\sqrt3,$ $\cot15^\circ=2+\sqrt3.$
Bài 1.8 (SGK trang 21). Tính
a) $\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right),$ biết $\sin a=\dfrac{1}{\sqrt3}$ và $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt\pi;$
b) $\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right),$ biết $\cos a=-\dfrac13$ và $\pi\lt a\lt\dfrac{3\pi}{2}.$
Lời giải
a) Ý chính là tìm thêm $\cos a$ rồi dùng công thức $\cos(a+b).$
• Vì $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt\pi$ nên $\cos a\lt0,$ do đó
\[\begin{aligned}\cos a&=-\sqrt{1-\sin^2a}\\&=-\sqrt{1-\dfrac13}=-\dfrac{\sqrt6}{3}.\end{aligned}\]• Áp dụng công thức cộng
\[\begin{aligned}&\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right)\\&=\cos a\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin a\sin\dfrac{\pi}{6}\\&=-\dfrac{\sqrt6}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac12\\&=-\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt3}{6}=-\dfrac{3\sqrt2+\sqrt3}{6}.\end{aligned}\]Vậy $\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{3\sqrt2+\sqrt3}{6}.$
b) Ý chính là tìm $\tan a$ rồi dùng công thức $\tan(a-b)$ với $\tan\dfrac{\pi}{4}=1.$
• Vì $\pi\lt a\lt\dfrac{3\pi}{2}$ nên $\sin a\lt0,$ do đó
\[\begin{aligned}\sin a&=-\sqrt{1-\cos^2a}\\&=-\sqrt{1-\dfrac19}=-\dfrac{2\sqrt2}{3}.\end{aligned}\]• Suy ra $\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}=\dfrac{-\frac{2\sqrt2}{3}}{-\frac13}=2\sqrt2.$
• Áp dụng công thức cộng
\[\begin{aligned}&\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\tan a-1}{1+\tan a}\\&=\dfrac{2\sqrt2-1}{2\sqrt2+1}=\dfrac{(2\sqrt2-1)^2}{8-1}\\&=\dfrac{9-4\sqrt2}{7}.\end{aligned}\]Vậy $\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{9-4\sqrt2}{7}.$
Bài 1.9 (SGK trang 21). Tính $\sin2a,$ $\cos2a,$ $\tan2a,$ biết
a) $\sin a=\dfrac13$ và $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt\pi;$
b) $\sin a+\cos a=\dfrac12$ và $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt\dfrac{3\pi}{4}.$
Lời giải
a) Vì $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt\pi$ nên $\cos a\lt0,$ do đó $\cos a=-\sqrt{1-\dfrac19}=-\dfrac{2\sqrt2}{3}.$ Áp dụng công thức nhân đôi
• $\sin2a=2\sin a\cos a$ $=2\cdot\dfrac13\cdot\left(-\dfrac{2\sqrt2}{3}\right)$ $=-\dfrac{4\sqrt2}{9}.$
• $\cos2a=1-2\sin^2a=1-\dfrac29=\dfrac79.$
• $\tan2a=\dfrac{\sin2a}{\cos2a}$ $=-\dfrac{4\sqrt2}{9}\cdot\dfrac97$ $=-\dfrac{4\sqrt2}{7}.$
Vậy $\sin2a=-\dfrac{4\sqrt2}{9},$ $\cos2a=\dfrac79,$ $\tan2a=-\dfrac{4\sqrt2}{7}.$
b) Ý chính là bình phương hai vế, vì $(\sin a+\cos a)^2$ chứa sẵn $2\sin a\cos a=\sin2a.$
• Tính sin2a. Bình phương hai vế của $\sin a+\cos a=\dfrac12$ ta có
\[\sin^2a+\cos^2a+2\sin a\cos a=\dfrac14.\]Mà $\sin^2a+\cos^2a=1$ và $2\sin a\cos a=\sin2a$ nên $1+\sin2a=\dfrac14,$ suy ra $\sin2a=-\dfrac34.$
• Tính cos2a. Vì $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt\dfrac{3\pi}{4}$ nên $\pi\lt 2a\lt\dfrac{3\pi}{2},$ do đó $\cos2a\lt0.$ Suy ra
\[\begin{aligned}\cos2a&=-\sqrt{1-\sin^22a}\\&=-\sqrt{1-\dfrac{9}{16}}=-\dfrac{\sqrt7}{4}.\end{aligned}\]• Tính tan2a. $\tan2a=\dfrac{\sin2a}{\cos2a}$ $=\dfrac{-\frac34}{-\frac{\sqrt7}{4}}=\dfrac{3}{\sqrt7}$ $=\dfrac{3\sqrt7}{7}.$
Vậy $\sin2a=-\dfrac34,$ $\cos2a=-\dfrac{\sqrt7}{4},$ $\tan2a=\dfrac{3\sqrt7}{7}.$
Bài 1.10 (SGK trang 21). Tính giá trị của các biểu thức sau
a) $A=\dfrac{\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{10}+\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{15}}{\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{\pi}{5}-\sin\frac{2\pi}{15}\sin\frac{\pi}{5}};$
b) $B=\sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}.$
Lời giải
a) Tử số và mẫu số đều có dạng vế phải của công thức cộng.
• Tử số $=\sin\left(\dfrac{\pi}{15}+\dfrac{\pi}{10}\right)$ $=\sin\dfrac{5\pi}{30}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12.$
• Mẫu số $=\cos\left(\dfrac{2\pi}{15}+\dfrac{\pi}{5}\right)$ $=\cos\dfrac{5\pi}{15}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12.$
Vậy $A=\dfrac{1/2}{1/2}=1.$
b) Ý chính là dùng liên tiếp công thức $\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$ (suy từ $\sin2x=2\sin x\cos x).$
• $\sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32}=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{16},$ nên $B=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}.$
• $\sin\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{16}=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{8},$ nên $B=\dfrac14\sin\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{\pi}{8}.$
• $\sin\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{4},$ nên $B=\dfrac18\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac18\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}.$
Vậy $B=\dfrac{\sqrt2}{16}.$
Bài 1.11 (SGK trang 21). Chứng minh đẳng thức sau
\[\begin{aligned}\sin(a+b)\sin(a-b)&=\sin^2a-\sin^2b\\&=\cos^2b-\cos^2a.\end{aligned}\]Lời giải
Ý chính là dùng công thức tích thành tổng $\sin x\sin y$ $=\dfrac12\big[\cos(x-y)-\cos(x+y)\big]$ với $x=a+b,$ $y=a-b.$ Khi đó $x-y=2b$ và $x+y=2a,$ nên
\[\begin{aligned}&\sin(a+b)\sin(a-b)\\&=\dfrac12(\cos2b-\cos2a).\end{aligned}\]• Đẳng thức thứ nhất. Thay $\cos2b=1-2\sin^2b$ và $\cos2a=1-2\sin^2a$ ta có
\[\begin{aligned}&\dfrac12\big[(1-2\sin^2b)-(1-2\sin^2a)\big]\\&=\dfrac12(2\sin^2a-2\sin^2b)\\&=\sin^2a-\sin^2b.\end{aligned}\]• Đẳng thức thứ hai. Thay $\cos2b=2\cos^2b-1$ và $\cos2a=2\cos^2a-1$ ta có
\[\begin{aligned}&\dfrac12\big[(2\cos^2b-1)-(2\cos^2a-1)\big]\\&=\dfrac12(2\cos^2b-2\cos^2a)\\&=\cos^2b-\cos^2a.\end{aligned}\]Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 1.12 (SGK trang 21). Cho tam giác ABC có $\widehat B=75^\circ;$ $\widehat C=45^\circ$ và $a=BC=12$ cm.
a) Sử dụng công thức $S=\dfrac12ab\sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức
\[S=\dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}.\]b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích $S$ của tam giác ABC.
Lời giải
a) Theo định lí sin $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B},$ suy ra $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}.$ Thay vào công thức diện tích ta có
\[\begin{aligned}&S=\dfrac12\cdot a\cdot\dfrac{a\sin B}{\sin A}\cdot\sin C\\&=\dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}.\end{aligned}\]Vậy công thức được chứng minh.
b) Tổng ba góc của tam giác bằng $180^\circ$ nên $\widehat A=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ.$
• Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
\[\begin{aligned}&\sin B\sin C=\sin75^\circ\sin45^\circ\\&=\dfrac12(\cos30^\circ-\cos120^\circ)\\&=\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12\right)=\dfrac{\sqrt3+1}{4}.\end{aligned}\]• Thay $a=12,$ $\sin A=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ vào công thức ở câu a
\[\begin{aligned}&S=\dfrac{144\cdot\frac{\sqrt3+1}{4}}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{36(\sqrt3+1)}{\sqrt3}\\&=12\sqrt3(\sqrt3+1)\\&=36+12\sqrt3.\end{aligned}\]Vậy $S=36+12\sqrt3\approx56{,}78$ (cm2).
Bài 1.13 (SGK trang 21). Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),$ trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t,$ $A$ là biên độ dao động $(A\gt0)$ và $\varphi\in[-\pi;\pi]$ là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình
\[x_1(t)=2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t+\dfrac{\pi}{6}\right)\ \text{(cm)},\] \[x_2(t)=2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t-\dfrac{\pi}{3}\right)\ \text{(cm)}.\]Tìm dao động tổng hợp $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Lời giải
Ý chính là dùng công thức $\cos u+\cos v$ $=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$ để đưa tổng về dạng $A\cos(\omega t+\varphi).$
• Đặt $u=\dfrac{\pi}{3}t+\dfrac{\pi}{6}$ và $v=\dfrac{\pi}{3}t-\dfrac{\pi}{3},$ ta có $x(t)=2(\cos u+\cos v).$ Khi đó
+ Nửa tổng $\dfrac{u+v}{2}=\dfrac{\pi}{3}t-\dfrac{\pi}{12}.$
+ Nửa hiệu $\dfrac{u-v}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{4}.$
• Suy ra
\[\begin{aligned}x(t)&=2\cdot2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t-\dfrac{\pi}{12}\right)\cos\dfrac{\pi}{4}\\&=2\sqrt2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t-\dfrac{\pi}{12}\right).\end{aligned}\]Vậy dao động tổng hợp là $x(t)=2\sqrt2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t-\dfrac{\pi}{12}\right)$ (cm), có biên độ $A=2\sqrt2$ cm và pha ban đầu $\varphi=-\dfrac{\pi}{12}.$
Bình luận
Viết bình luận của bạn