Bài học Hàm số lượng giác (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I) giúp các em nắm vững định nghĩa các hàm số sin, côsin, tang, côtang, hiểu thế nào là hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, đồng thời đọc được đồ thị để tìm tập xác định, tập giá trị và khoảng đồng biến, nghịch biến. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Nhịp thở, sóng biển, dao động của con lắc… đều lặp đi lặp lại sau những khoảng thời gian bằng nhau. Các hàm số lượng giác chính là công cụ để mô tả những hiện tượng "lặp lại" như vậy.
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
Với mỗi số thực $x,$ ta lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác $(OA,OM)$ có số đo bằng $x$ (đơn vị radian). Khi đó
• $\cos x$ là hoành độ của điểm M (H là hình chiếu của M trên trục hoành);
• $\sin x$ là tung độ của điểm M (K là hình chiếu của M trên trục tung).
• Hàm số sin $y=\sin x$ và hàm số côsin $y=\cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}.$
• Hàm số tang $y=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ chỉ xác định khi $\cos x\ne 0,$ tức là $x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi.$ Tập xác định
\[D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.\]• Hàm số côtang $y=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ chỉ xác định khi $\sin x\ne 0,$ tức là $x\ne k\pi.$ Tập xác định
\[D=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.\]Mẹo nhớ (nhìn đường tròn lượng giác). Các giá trị đặc biệt thường dùng khi tìm tập xác định $(k\in\mathbb{Z})$
• $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi;$ $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi;$
• $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi;$ $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi;$
• $\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;$ $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi.$
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số $y=\dfrac{2}{1-\cos x}.$
• Hàm số xác định khi $1-\cos x\ne 0,$ tức là $\cos x\ne 1.$
• Mà $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$ nên điều kiện là $x\ne k2\pi.$
Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\left\{k2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.$
Lỗi hay gặp. Viết tập xác định của $y=\tan x$ là $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k2\pi.$ Sai, vì $\cos x=0$ tại cả $\dfrac{\pi}{2}$ lẫn $-\dfrac{\pi}{2}$ nên phải là $+k\pi.$
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D.$
• $f$ là hàm số chẵn nếu với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=f(x).$ Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
• $f$ là hàm số lẻ nếu với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=-f(x).$ Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Cách xét tính chẵn, lẻ (làm theo thứ tự)
• Tìm tập xác định $D,$ kiểm tra $D$ có "đối xứng" không (có $x$ thì có $-x$). Nếu không thì hàm số không chẵn, không lẻ.
• Tính $f(-x)$ rồi so sánh với $f(x).$ Ghi nhớ $\sin(-x)=-\sin x,$ $\cos(-x)=\cos x,$ $\tan(-x)=-\tan x,$ $\cot(-x)=-\cot x.$
• Nếu $f(-x)=f(x)$ thì hàm chẵn; nếu $f(-x)=-f(x)$ thì hàm lẻ. Muốn chứng tỏ hàm số không chẵn, không lẻ thì chỉ ra một giá trị $x_0$ cụ thể làm hai đẳng thức trên đều sai.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x)=x^2\cos x.$
• Tập xác định $D=\mathbb{R}$ nên với mọi $x\in D$ thì $-x\in D.$
• Ta có $f(-x)=(-x)^2\cos(-x)$ $=x^2\cos x=f(x).$
Vậy $f(x)=x^2\cos x$ là hàm số chẵn.
Nhận xét. Muốn vẽ đồ thị hàm số chẵn (lẻ), chỉ cần vẽ phần bên phải trục tung rồi lấy đối xứng qua trục tung (qua gốc tọa độ).
b) Hàm số tuần hoàn
Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\ne 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có
i) $x+T\in D$ và $x-T\in D;$
ii) $f(x+T)=f(x).$
Số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) gọi là chu kì của hàm số.
Nói đơn giản, hàm tuần hoàn chu kì $T$ là hàm cứ sau mỗi đoạn dài $T$ thì giá trị lặp lại y như cũ, nên đồ thị gồm một "khúc" lặp đi lặp lại.
• $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi.$
• $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi.$
• Hàm số $y=A\sin\omega x$ và $y=A\cos\omega x$ $(A\ne 0,\ \omega\ne 0)$ tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}.$
Ví dụ 3 (tình huống mở đầu SGK). Vận tốc luồng khí khi thở của một người là $v=0{,}85\sin\dfrac{\pi t}{3}$ ($t$ tính bằng giây). Tìm thời gian một chu kì hô hấp và số chu kì hô hấp trong một phút.
• Đây là hàm dạng $A\sin\omega t$ với $\omega=\dfrac{\pi}{3}$ nên chu kì $T=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6$ (giây).
• Một phút có 60 giây nên số chu kì hô hấp là $60\div 6=10.$
Vậy một chu kì hô hấp kéo dài 6 giây và người đó thở 10 nhịp mỗi phút.
Chú ý. Hàm số hằng $f(x)=c$ là hàm tuần hoàn (mọi $T\ne 0$ đều thỏa mãn) nhưng không có chu kì, vì không có số dương nhỏ nhất.
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x
Đồ thị $y=\sin x$ là một "làn sóng" đi qua gốc tọa độ, nằm giữa hai đường thẳng $y=-1$ và $y=1.$
Hàm số $y=\sin x$
• Tập xác định $\mathbb{R},$ tập giá trị $[-1;1].$
• Là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $2\pi.$
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right),$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\right),$ $k\in\mathbb{Z}.$
• Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ, gọi là một đường hình sin.
Bảng biến thiên trên một chu kì $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ (các chu kì khác lặp lại y hệt)
Ví dụ 4. Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ để $\sin x\gt 0.$
• $\sin x\gt 0$ ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.
• Trên đoạn đã cho, phần đó ứng với $0\lt x\lt\pi.$
Vậy $x\in(0;\pi).$
Mẹo tìm tập giá trị. Từ $-1\le\sin x\le 1$ ta "nhân, cộng" hai vế theo đúng biểu thức của hàm số. Ví dụ $y=2\sin x$ có $-2\le y\le 2,$ tập giá trị là $[-2;2].$
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cos x
Đồ thị $y=\cos x$ cũng là một đường hình sin, nhưng đi qua điểm $(0;1)$ và đối xứng qua trục tung.
Hàm số $y=\cos x$
• Tập xác định $\mathbb{R},$ tập giá trị $[-1;1].$
• Là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì $2\pi.$
• Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi+k2\pi;k2\pi),$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi;\pi+k2\pi),$ $k\in\mathbb{Z}.$
• Đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
Bảng biến thiên trên một chu kì $[-\pi;\pi]$
Ví dụ 5. Tìm tập giá trị của hàm số $y=3-2\cos x.$
• Ta có $-1\le\cos x\le 1$ nên $-2\le -2\cos x\le 2$ (nhân với số âm thì đổi chiều).
• Cộng 3 vào các vế ta được $1\le 3-2\cos x\le 5.$
• Giá trị $y=1$ đạt khi $\cos x=1$ và $y=5$ đạt khi $\cos x=-1.$
Vậy tập giá trị là $[1;5].$
Ứng dụng. Dao động điều hòa $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ $(\omega\gt 0)$ có chu kì $T=\dfrac{2\pi}{\omega}.$ Chẳng hạn $x(t)=-5\cos 4\pi t$ (cm) có chu kì $T=\dfrac{2\pi}{4\pi}=\dfrac{1}{2}$ giây, nên trong 2 giây vật thực hiện được 4 dao động toàn phần.
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tan x
Đồ thị $y=\tan x$ gồm nhiều nhánh giống hệt nhau, mỗi nhánh nằm giữa hai đường tiệm cận đứng (nét đứt) $x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ và $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi;$ nhánh đi lên từ trái sang phải.
Hàm số $y=\tan x$
• Tập xác định $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\},$ tập giá trị $\mathbb{R}.$
• Là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $\pi.$
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right),$ $k\in\mathbb{Z}.$
• Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ví dụ 6. Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị $x\in\left[-\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ để $\tan x=0.$
• Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $x=k\pi.$
• Trên đoạn đã cho, đó là $x=-\pi,$ $x=0,$ $x=\pi.$
Vậy $x\in\{-\pi;0;\pi\}.$
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x
Đồ thị $y=\cot x$ cũng gồm nhiều nhánh giống nhau, mỗi nhánh nằm giữa hai tiệm cận đứng $x=k\pi$ và $x=\pi+k\pi;$ nhánh đi xuống từ trái sang phải.
Hàm số $y=\cot x$
• Tập xác định $\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\},$ tập giá trị $\mathbb{R}.$
• Là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $\pi.$
• Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi;\pi+k\pi),$ $k\in\mathbb{Z}.$
• Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ví dụ 7. Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ để $\cot x\lt 0.$
• $\cot x\lt 0$ ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
• Trên đoạn đã cho, đó là các khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};0\right),$ $\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right),$ $\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right).$
Vậy $x\in\left(-\dfrac{\pi}{2};0\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right).$
7. Bảng tóm tắt tính chất bốn hàm số lượng giác
| Tính chất | $y=\sin x$ | $y=\cos x$ |
|---|---|---|
| Tập xác định | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Tập giá trị | $[-1;1]$ | $[-1;1]$ |
| Chẵn, lẻ | Lẻ | Chẵn |
| Chu kì | $2\pi$ | $2\pi$ |
| Đối xứng | Qua gốc O | Qua trục Oy |
| Tính chất | $y=\tan x$ | $y=\cot x$ |
|---|---|---|
| Điều kiện | $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ | $x\ne k\pi$ |
| Tập giá trị | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Chẵn, lẻ | Lẻ | Lẻ |
| Chu kì | $\pi$ | $\pi$ |
| Biến thiên | Luôn đồng biến trên từng khoảng xác định | Luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định |
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.14 (SGK trang 30). Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) $y=\dfrac{1-\cos x}{\sin x};$
b) $y=\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x}}.$
Lời giải
a) Phân thức xác định khi mẫu khác 0, tức là $\sin x\ne 0.$
Mà $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$ nên điều kiện là $x\ne k\pi$ $(k\in\mathbb{Z}).$
Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.$
b) Hàm số xác định khi $\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0$ và $2-\cos x\ne 0.$
• Vì $\cos x\le 1$ nên $2-\cos x\ge 1\gt 0$ với mọi $x.$
• Vì $\cos x\ge -1$ nên $1+\cos x\ge 0$ với mọi $x.$
Suy ra $\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}.$
Vậy $D=\mathbb{R}.$
Bài 1.15 (SGK trang 30). Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=\sin 2x+\tan 2x;$
b) $y=\cos x+\sin^2 x;$
c) $y=\sin x\cos 2x;$
d) $y=\sin x+\cos x.$
Lời giải
Nhắc lại $\sin(-a)=-\sin a,$ $\cos(-a)=\cos a,$ $\tan(-a)=-\tan a.$
a) Đặt $f(x)=\sin 2x+\tan 2x.$
• Hàm số xác định khi $\cos 2x\ne 0,$ tức là $2x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ hay $x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}.$
• Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.$ Nếu $x\in D$ thì $\cos(-2x)=\cos 2x\ne 0$ nên $-x\in D.$
• Ta có
\[\begin{aligned}f(-x)&=\sin(-2x)+\tan(-2x)\\&=-\sin 2x-\tan 2x=-f(x).\end{aligned}\]Vậy $y=\sin 2x+\tan 2x$ là hàm số lẻ.
b) Đặt $f(x)=\cos x+\sin^2 x.$
• Tập xác định $D=\mathbb{R}$ nên với mọi $x\in D$ thì $-x\in D.$
• Ta có $f(-x)=\cos(-x)+\left[\sin(-x)\right]^2$ $=\cos x+\sin^2 x=f(x).$
Vậy $y=\cos x+\sin^2 x$ là hàm số chẵn.
c) Đặt $f(x)=\sin x\cos 2x.$
• Tập xác định $D=\mathbb{R}$ nên với mọi $x\in D$ thì $-x\in D.$
• Ta có $f(-x)=\sin(-x)\cos(-2x)$ $=-\sin x\cos 2x=-f(x).$
Vậy $y=\sin x\cos 2x$ là hàm số lẻ.
d) Đặt $f(x)=\sin x+\cos x,$ tập xác định $D=\mathbb{R}.$
Ta thử với $x=\dfrac{\pi}{4}$ và $x=-\dfrac{\pi}{4}.$
• $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$
• $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.$
Ta thấy $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\ne f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ nên hàm số không chẵn, và $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\ne -f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ nên hàm số không lẻ.
Vậy $y=\sin x+\cos x$ không phải hàm số chẵn, cũng không phải hàm số lẻ.
Bài 1.16 (SGK trang 30). Tìm tập giá trị của các hàm số sau
a) $y=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1;$
b) $y=\sqrt{1+\cos x}-2.$
Lời giải
a) Khi $x$ chạy khắp $\mathbb{R}$ thì $x-\dfrac{\pi}{4}$ cũng chạy khắp $\mathbb{R},$ nên $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ nhận mọi giá trị trong $[-1;1].$
• Ta có $-1\le\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\le 1.$
• Nhân các vế với 2 được $-2\le 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\le 2.$
• Trừ các vế cho 1 được $-3\le y\le 1.$
Vậy tập giá trị của hàm số là $[-3;1].$
b) Hàm số $\cos x$ nhận mọi giá trị trong $[-1;1].$
• Ta có $-1\le\cos x\le 1$ nên $0\le 1+\cos x\le 2.$
• Lấy căn bậc hai được $0\le\sqrt{1+\cos x}\le\sqrt{2}.$
• Trừ các vế cho 2 được $-2\le y\le\sqrt{2}-2.$
Giá trị $y=-2$ đạt khi $\cos x=-1$ và $y=\sqrt{2}-2$ đạt khi $\cos x=1.$
Vậy tập giá trị của hàm số là $\left[-2;\sqrt{2}-2\right].$
Bài 1.17 (SGK trang 30). Từ đồ thị của hàm số $y=\tan x,$ hãy tìm các giá trị $x$ sao cho $\tan x=0.$
Lời giải
• $\tan x=0$ ứng với các giao điểm của đồ thị $y=\tan x$ với trục hoành (xem đồ thị ở mục 5 phần lý thuyết).
• Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $\ldots,$ $-2\pi,$ $-\pi,$ $0,$ $\pi,$ $2\pi,$ $\ldots,$ tức là các điểm cách đều nhau một khoảng $\pi.$
Vậy $\tan x=0\Leftrightarrow x=k\pi$ $(k\in\mathbb{Z}).$
Bài 1.18 (SGK trang 30). Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số $h(t)=90\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right),$ trong đó $h(t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
Lời giải
a) Hàm số có dạng $A\cos\omega t$ với $\omega=\dfrac{\pi}{10}.$ Chu kì là
\[T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\pi/10}=20.\]Vậy chu kì của sóng là 20 giây.
b) Ta có $-1\le\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)\le 1$ nên $-90\le h(t)\le 90.$
• Đỉnh sóng cao nhất là $h=90$ cm (khi $\cos\dfrac{\pi t}{10}=1,$ chẳng hạn $t=0$).
• Đáy sóng thấp nhất là $h=-90$ cm (khi $\cos\dfrac{\pi t}{10}=-1,$ chẳng hạn $t=10$).
• Chiều cao của sóng bằng $90-(-90)=180$ (cm).
Vậy chiều cao của sóng là 180 cm.
Bình luận
Viết bình luận của bạn