Bài học Phương trình lượng giác cơ bản (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I) giúp các em nắm vững công thức nghiệm của bốn phương trình sin x = m, cos x = m, tan x = m, cot x = m, biết dùng máy tính cầm tay tìm góc và tránh các lỗi hay gặp khi dùng độ, radian. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa, kể cả bài tập cuối chương I.
A. Tóm tắt lý thuyết
Giải phương trình lượng giác thực chất là đi tìm tất cả các góc có cùng một giá trị lượng giác cho trước. Vì các hàm số lượng giác tuần hoàn nên một phương trình thường có vô số nghiệm, ta viết chúng gọn bằng số nguyên $k.$
1. Phương trình tương đương
• Hai phương trình gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
• Nếu phương trình $f(x)=0$ tương đương với phương trình $g(x)=0$ thì ta viết $f(x)=0\Leftrightarrow g(x)=0.$
• Hai phương trình cùng vô nghiệm cũng là tương đương (cùng tập nghiệm rỗng).
Ví dụ. Phương trình $x-2=0$ có tập nghiệm $\{2\},$ còn phương trình $x^2-4=0$ có tập nghiệm $\{-2;\,2\}.$ Hai tập nghiệm khác nhau nên hai phương trình này không tương đương.
Khi giải phương trình, ta biến đổi nó thành phương trình tương đương đơn giản hơn (gọi là phép biến đổi tương đương). Nếu không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì hai phép biến đổi sau là tương đương.
a) Cộng (hoặc trừ) hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức
\[\begin{aligned}&f(x)=g(x)\\ \Leftrightarrow\ &f(x)+h(x)=g(x)+h(x).\end{aligned}\]b) Nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn khác 0
\[\begin{aligned}&f(x)=g(x)\\ \Leftrightarrow\ &f(x)h(x)=g(x)h(x)\ \ (h(x)\ne 0).\end{aligned}\]Lỗi hay gặp. Chia hai vế cho một biểu thức có thể bằng 0 sẽ làm mất nghiệm. Ví dụ $x^2=x$ nếu chia hai vế cho $x$ thì chỉ còn $x=1,$ mất nghiệm $x=0.$ Cách đúng là chuyển vế $x^2-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0.$
2. Phương trình sin x = m
Trên đường tròn lượng giác, $\sin x$ là tung độ của điểm biểu diễn góc $x.$ Kẻ đường thẳng nằm ngang $y=m.$ Nếu nó cắt đường tròn tại M và M′ thì các nghiệm chính là số đo các góc lượng giác có điểm cuối là M hoặc M′. Hai góc này bù nhau là $\alpha$ và $\pi-\alpha.$
• Nếu $|m|\gt 1$ thì phương trình $\sin x=m$ vô nghiệm (vì $-1\le\sin x\le 1$).
• Nếu $|m|\le 1$ thì chọn góc $\alpha$ có $\sin\alpha=m$ (thường lấy $\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$), khi đó (với $k\in\mathbb{Z}$)
\[\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=\pi-\alpha+k2\pi\end{array}\right..\]• Tổng quát, với $u,\,v$ là các biểu thức của $x$ và $k\in\mathbb{Z}$
\[\sin u=\sin v\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u=v+k2\pi\\ u=\pi-v+k2\pi\end{array}\right.\]• Nếu góc cho bằng độ
\[\begin{aligned}&\sin x=\sin\alpha^\circ\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=\alpha^\circ+k360^\circ\\ x=180^\circ-\alpha^\circ+k360^\circ\end{array}\right.\end{aligned}\]Các trường hợp đặc biệt (chỉ có một họ nghiệm, nhớ để viết nhanh), với $k\in\mathbb{Z}$
• $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi.$
• $\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi.$
• $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi.$
Minh họa bằng đồ thị. Nghiệm của $\sin x=m$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=m$ với đồ thị $y=\sin x.$ Trong mỗi chu kì $2\pi$ có hai giao điểm (hình dưới vẽ $m=\frac{1}{2},$ hai nghiệm $\frac{\pi}{6}$ và $\frac{5\pi}{6}$), rồi lặp lại sau mỗi $2\pi.$
Ví dụ 1. Giải các phương trình a) $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2};$ b) $\sin x=\dfrac{1}{3};$ c) $\sin 3x=\sin x.$
a) Vì $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$ nên
\[\begin{aligned}&\sin x=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\ x=\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\](Họ thứ hai là $\pi-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4\pi}{3}.$)
b) $\frac13$ không phải giá trị đặc biệt. Gọi $\alpha$ là góc thỏa mãn $\sin\alpha=\frac{1}{3}$ (máy tính cho $\alpha\approx 0{,}3398$), khi đó (với $k\in\mathbb{Z}$)
\[\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=\pi-\alpha+k2\pi\end{array}\right..\]c) Áp dụng công thức $\sin u=\sin v$ với $u=3x,$ $v=x$
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}3x=x+k2\pi\\ 3x=\pi-x+k2\pi\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=k\pi\\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\end{array}\right.\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\]Chú ý. Khi chia $4x=\pi+k2\pi$ cho 4, phải chia cả $k2\pi,$ được $\frac{k\pi}{2}$ chứ không phải $k2\pi.$
3. Phương trình cos x = m
$\cos x$ là hoành độ của điểm biểu diễn góc $x.$ Kẻ đường thẳng đứng $x=m,$ nó cắt đường tròn tại M và M′ đối xứng nhau qua trục hoành, nên hai góc nghiệm đối nhau là $\alpha$ và $-\alpha.$
• Nếu $|m|\gt 1$ thì phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm.
• Nếu $|m|\le 1$ thì chọn góc $\alpha$ có $\cos\alpha=m$ (thường lấy $\alpha\in[0;\pi]$), khi đó (với $k\in\mathbb{Z}$)
\[\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi.\]• Tổng quát $\cos u=\cos v$ $\Leftrightarrow u=\pm v+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
• Nếu góc cho bằng độ $\cos x=\cos\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\pm\alpha^\circ+k360^\circ.$
Các trường hợp đặc biệt $(k\in\mathbb{Z})$
• $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.$
• $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi.$
• $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi.$
Mẹo nhớ. "sin thì bù, cos thì đối". Phương trình sin cho hai họ $\alpha$ và $\pi-\alpha,$ phương trình cos cho hai họ $\alpha$ và $-\alpha.$
Ví dụ 2. Giải các phương trình a) $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2};$ b) $\cos x=0{,}1;$ c) $\cos 2x=\cos(45^\circ-x).$
a) $\cos x=\cos\dfrac{5\pi}{6}$ $\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
b) Gọi $\alpha\in[0;\pi]$ là góc có $\cos\alpha=0{,}1,$ ta có $\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
c) Góc cho bằng độ nên dùng $k360^\circ$
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}2x=45^\circ-x+k360^\circ\\ 2x=-45^\circ+x+k360^\circ\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=15^\circ+k120^\circ\\ x=-45^\circ+k360^\circ\end{array}\right.\end{aligned}\]Đưa về cùng tên. Khi phương trình có cả sin và cos, hoặc có dấu trừ phía trước, ta dùng các công thức góc liên quan để đưa về dạng $\sin u=\sin v$ hoặc $\cos u=\cos v$
• $\sin v=\cos\left(\frac{\pi}{2}-v\right),$ $\cos v=\sin\left(\frac{\pi}{2}-v\right).$
• $-\sin v=\sin(-v),$ $-\cos v=\cos(\pi-v).$
Ví dụ 3. Giải phương trình $\cos 3x-\sin 5x=0.$
Ta có $\cos 3x=\sin 5x$ $\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right),$ suy ra
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}3x=\dfrac{\pi}{2}-5x+k2\pi\\ 3x=-\dfrac{\pi}{2}+5x+k2\pi\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{k\pi}{4}\\ x=\dfrac{\pi}{4}-k\pi\end{array}\right.\end{aligned}\]Vì $k$ chạy khắp $\mathbb{Z}$ nên $x=\frac{\pi}{4}-k\pi$ cũng viết được là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
4. Phương trình tan x = m
Điều kiện để $\tan x$ có nghĩa là $\cos x\ne 0,$ tức là $x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi.$ Hàm $y=\tan x$ nhận mọi giá trị thực và tuần hoàn chu kì $\pi,$ nên đường thẳng $y=m$ cắt mỗi nhánh đồ thị đúng một lần.
• Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi $m.$
• Chọn góc $\alpha$ có $\tan\alpha=m$ (thường lấy $\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$), khi đó
\[\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).\]• Nếu góc cho bằng độ $\tan x=\tan\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\alpha^\circ+k180^\circ.$
• Tổng quát $\tan u=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi$ (với điều kiện $u,\,v$ khác $\frac{\pi}{2}+k\pi$).
Ví dụ 4. Giải các phương trình a) $\tan x=-\sqrt3;$ b) $\tan x=2;$ c) $\sqrt3\tan 2x=-1.$
a) $\tan x=\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ $\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
b) Gọi $\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ là góc có $\tan\alpha=2,$ ta có $x=\alpha+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
c) $\tan 2x=-\dfrac{1}{\sqrt3}=\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $\Leftrightarrow 2x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ $\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z}).$
5. Phương trình cot x = m
Điều kiện để $\cot x$ có nghĩa là $\sin x\ne 0,$ tức là $x\ne k\pi.$ Giống tang, hàm côtang nhận mọi giá trị thực và tuần hoàn chu kì $\pi.$
• Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi $m.$
• Chọn góc $\alpha$ có $\cot\alpha=m$ (thường lấy $\alpha\in(0;\pi)$), khi đó
\[\cot x=\cot\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).\]• Nếu góc cho bằng độ $\cot x=\cot\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\alpha^\circ+k180^\circ.$
• Tổng quát $\cot u=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi$ (với điều kiện $u,\,v$ khác $k\pi$).
Ví dụ 5. Giải các phương trình a) $\cot x=-\sqrt3;$ b) $\sqrt3\cot x+1=0.$
a) $\cot x=\cot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
b) $\cot x=-\dfrac{1}{\sqrt3}$ $=\cot\dfrac{2\pi}{3}$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
Bảng tóm tắt $(k\in\mathbb{Z})$
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| $\sin x=\sin\alpha$ | $x=\alpha+k2\pi$ $x=\pi-\alpha+k2\pi$ |
| $\cos x=\cos\alpha$ | $x=\pm\alpha+k2\pi$ |
| $\tan x=\tan\alpha$ | $x=\alpha+k\pi$ |
| $\cot x=\cot\alpha$ | $x=\alpha+k\pi$ |
6. Dùng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác
Các phím $\sin^{-1},$ $\cos^{-1},$ $\tan^{-1}$ (ấn SHIFT rồi sin, cos, tan) cho ta số đo một góc khi biết giá trị lượng giác của nó.
• Chọn đơn vị. Muốn kết quả bằng độ (màn hình hiện chữ nhỏ D) ấn SHIFT MODE 3. Muốn kết quả bằng radian (hiện chữ nhỏ R) ấn SHIFT MODE 4.
• Tìm góc. Ấn SHIFT, một trong các phím sin, cos, tan, nhập giá trị $m$ rồi ấn =. Ở chế độ độ, ấn thêm phím °′″ để đổi kết quả ra độ, phút, giây.
Chú ý.
• Phím $\sin^{-1}$ và $\tan^{-1}$ cho góc trong khoảng từ $-90^\circ$ đến $90^\circ$ (từ $-\frac{\pi}{2}$ đến $\frac{\pi}{2}$), phím $\cos^{-1}$ cho góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ (từ 0 đến $\pi$). Với $\sin^{-1},$ $\cos^{-1}$ phải có $|m|\le 1.$
• Máy không có phím $\cot^{-1}.$ Khi $\cot\alpha=m$ (với $m\ne 0$), ta dùng $\tan\alpha=\frac{1}{m}.$
Ví dụ 6. Tìm số đo độ và radian của góc $\alpha$ biết $\sin\alpha=0{,}58.$
• Chế độ độ ấn SHIFT MODE 3, SHIFT sin 0.58 =, màn hình hiện 35.45054264, ấn °′″ được $\alpha\approx 35^\circ 27'2''.$
• Chế độ radian ấn SHIFT MODE 4, SHIFT sin 0.58 =, màn hình hiện 0.6187286907, tức là $\alpha\approx 0{,}61873$ rad.
7. Lỗi hay gặp khi dùng độ và radian
• Không trộn hai đơn vị trong một công thức nghiệm. Viết $x=30^\circ+k2\pi$ là sai. Dùng độ thì đi với $k360^\circ,$ $k180^\circ;$ dùng radian thì đi với $k2\pi,$ $k\pi.$
• Đề cho góc bằng độ (như $15^\circ$) thì giải và kết luận bằng độ. Đề không ghi độ thì hiểu là radian. Chẳng hạn trong $\cot(2x-1)$ thì số 1 là 1 radian, không phải $1^\circ.$
• Không viết $\sin x=\sin 30$ khi muốn nói $30^\circ$ (vì 30 hiểu là 30 radian). Phải ghi rõ $\sin 30^\circ$ hoặc $\sin\frac{\pi}{6}.$
• Khi bấm máy, kiểm tra chữ D hay R trên màn hình. Để nhầm chế độ là sai cả bài.
• Khi chia hai vế cho hệ số của $x,$ phải chia cả phần $k2\pi$ (hoặc $k360^\circ$). Ví dụ $3x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k2\pi}{3}.$
• Nhớ ghi $(k\in\mathbb{Z})$ ở cuối công thức nghiệm.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.19 (SGK trang 39). Giải các phương trình sau
a) $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2};$
b) $2\cos x=-\sqrt2;$
c) $\sqrt3\tan\left(\dfrac{x}{2}+15^\circ\right)=1;$
d) $\cot(2x-1)=\cot\dfrac{\pi}{5}.$
Lời giải
a) Vì $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ nên
\[\begin{aligned}&\sin x=\sin\frac{\pi}{3}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\ x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\]Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi}{3}+k2\pi,$ $x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
b) Chia hai vế cho 2 ta được $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}.$ Vì $\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ nên
\[\begin{aligned}&\cos x=\cos\frac{3\pi}{4}\\ \Leftrightarrow\ &x=\pm\frac{3\pi}{4}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\]Vậy $x=\pm\frac{3\pi}{4}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
c) Đề cho góc bằng độ nên ta giải bằng độ. Chia hai vế cho $\sqrt3$ ta được
\[\tan\left(\frac{x}{2}+15^\circ\right)=\frac{1}{\sqrt3}=\tan 30^\circ.\]Suy ra
\[\begin{aligned}&\frac{x}{2}+15^\circ=30^\circ+k180^\circ\\ \Leftrightarrow\ &\frac{x}{2}=15^\circ+k180^\circ\\ \Leftrightarrow\ &x=30^\circ+k360^\circ.\end{aligned}\]Các giá trị này thỏa điều kiện vì khi đó $\frac{x}{2}+15^\circ=30^\circ+k180^\circ$ $\ne 90^\circ+k180^\circ.$
Vậy $x=30^\circ+k360^\circ\ (k\in\mathbb{Z}).$
d) Số 1 trong $2x-1$ là 1 radian. Áp dụng $\cot u=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi$
\[\begin{aligned}&2x-1=\frac{\pi}{5}+k\pi\\ \Leftrightarrow\ &2x=1+\frac{\pi}{5}+k\pi\\ \Leftrightarrow\ &x=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{2}.\end{aligned}\]Với các giá trị này $2x-1=\frac{\pi}{5}+k\pi\ne k\pi$ nên $\cot(2x-1)$ có nghĩa.
Vậy $x=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z}).$
Bài 1.20 (SGK trang 39). Giải các phương trình sau
a) $\sin 2x+\cos 4x=0;$
b) $\cos 3x=-\cos 7x.$
Lời giải
Ý chính là đưa hai vế về cùng một hàm (cùng cos) rồi dùng công thức $\cos u=\cos v\Leftrightarrow u=\pm v+k2\pi.$
a) Ta có $\cos 4x=-\sin 2x.$ Vì $-\sin 2x=\sin(-2x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)$ nên phương trình trở thành
\[\cos 4x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x\right).\]Suy ra
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}4x=\dfrac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\ 4x=-\dfrac{\pi}{2}-2x+k2\pi\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\ x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3}\end{array}\right.\end{aligned}\]Vậy $x=\frac{\pi}{4}+k\pi,$ $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\ (k\in\mathbb{Z}).$
Ghi chú. Họ $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ nằm sẵn trong họ $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}$ (ứng với $k=1,\,4,\,7,\ldots$), nên có thể viết gọn nghiệm là $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\ (k\in\mathbb{Z}).$ Viết cả hai họ vẫn đúng.
b) Vì $-\cos 7x=\cos(\pi-7x)$ nên phương trình trở thành $\cos 3x=\cos(\pi-7x),$ suy ra
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}3x=\pi-7x+k2\pi\\ 3x=-\pi+7x+k2\pi\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}10x=\pi+k2\pi\\ -4x=-\pi+k2\pi\end{array}\right.\end{aligned}\]Do đó $x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5}$ hoặc $x=\frac{\pi}{4}-\frac{k\pi}{2}.$ Vì $k$ chạy khắp $\mathbb{Z}$ nên họ sau viết lại là $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.$
Vậy $x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5},$ $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z}).$
Bài 1.21 (SGK trang 39). Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0=500$ m/s hợp với phương ngang một góc $\alpha.$ Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan\alpha,$ ở đó $g=9{,}8$ m/s² là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).
b) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
Lời giải
Gốc tọa độ đặt tại khẩu pháo, trục $Ox$ nằm ngang theo hướng bắn, góc bắn $0^\circ\lt\alpha\lt 90^\circ.$
a) Quả đạn chạm đất khi $y=0,$ tức là
\[x\left(\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x+\tan\alpha\right)=0.\]• Nghiệm $x=0$ là vị trí bắn.
• Nghiệm còn lại là điểm chạm đất
\[\begin{aligned}x&=\frac{2v_0^2\cos^2\alpha\tan\alpha}{g}\\ &=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\\ &=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.\end{aligned}\]Thay $v_0=500,$ $g=9{,}8$ ta có tầm xa (tính bằng mét)
\[L=\frac{500^2\sin 2\alpha}{9{,}8}=\frac{250\,000\sin 2\alpha}{9{,}8}.\]Vậy tầm xa của quả đạn là $L=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ $=\dfrac{250\,000\sin 2\alpha}{9{,}8}$ (m).
b) Quả đạn trúng mục tiêu khi $L=22\,000,$ tức là
\[\begin{aligned}&\frac{250\,000\sin 2\alpha}{9{,}8}=22\,000\\ \Leftrightarrow\ &\sin 2\alpha=0{,}8624.\end{aligned}\]Bấm máy ở chế độ độ, SHIFT sin 0.8624 = cho góc $\beta\approx 59{,}587^\circ$ (với $\sin\beta=0{,}8624$). Ta có
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}2\alpha=\beta+k360^\circ\\ 2\alpha=180^\circ-\beta+k360^\circ\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}\alpha=\dfrac{\beta}{2}+k180^\circ\\ \alpha=90^\circ-\dfrac{\beta}{2}+k180^\circ\end{array}\right.\end{aligned}\]Vì $0^\circ\lt\alpha\lt 90^\circ$ nên chỉ lấy $k=0,$ được $\alpha\approx 29{,}79^\circ$ hoặc $\alpha\approx 60{,}21^\circ.$
Vậy góc bắn $\alpha\approx 29^\circ 48'$ hoặc $\alpha\approx 60^\circ 12'.$
Bài 1.22 (SGK trang 39). Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
\[x=2\cos\left(5t-\frac{\pi}{6}\right).\]Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần.
Lời giải
Ý chính là vật ở vị trí cân bằng khi $x=0,$ ta giải phương trình rồi đếm số nghiệm $t$ trong đoạn $[0;6].$
• Giải phương trình $x=0$
\[\begin{aligned}&\cos\left(5t-\frac{\pi}{6}\right)=0\\ \Leftrightarrow\ &5t-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \Leftrightarrow\ &t=\frac{2\pi}{15}+\frac{k\pi}{5}\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\]• Điều kiện $0\le t\le 6$ cho
\[\begin{aligned}&0\le\frac{2\pi}{15}+\frac{k\pi}{5}\le 6\\ \Leftrightarrow\ &-\frac{2}{3}\le k\le\frac{30}{\pi}-\frac{2}{3}\approx 8{,}88.\end{aligned}\]• Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k\in\{0;1;2;\ldots;8\},$ có 9 giá trị.
Vậy trong 6 giây đầu vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.
C. Bài tập cuối chương I
Trắc nghiệm
Bài 1.23 (SGK trang 40). Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha=-\dfrac{5\pi}{6},$ $\beta=\dfrac{\pi}{3},$ $\gamma=\dfrac{25\pi}{3},$ $\delta=\dfrac{17\pi}{6}$ trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
Lời giải
Hai góc có điểm biểu diễn trùng nhau khi chúng hơn kém nhau một bội của $2\pi.$ Ta tách mỗi góc thành bội của $2\pi$ cộng phần dư.
• $\gamma=\dfrac{25\pi}{3}=8\pi+\dfrac{\pi}{3},$ nên $\gamma$ trùng với $\beta=\dfrac{\pi}{3}.$
• $\delta=\dfrac{17\pi}{6}=2\pi+\dfrac{5\pi}{6},$ nên $\delta$ trùng với điểm của góc $\dfrac{5\pi}{6}.$
• $\alpha=-\dfrac{5\pi}{6}=-2\pi+\dfrac{7\pi}{6},$ nên $\alpha$ trùng với điểm của góc $\dfrac{7\pi}{6}.$
Vậy chỉ có $\beta$ và $\gamma$ trùng nhau.
Chọn A
Bài 1.24 (SGK trang 40). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
Lời giải
Hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, côsin đối nhau, nên đúng là $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.$ Do đó khẳng định B sai. Các khẳng định A, C, D đều đúng.
Chọn B
Bài 1.25 (SGK trang 40). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
Lời giải
Công thức cộng đúng là $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (dấu cộng). Vậy khẳng định A sai, các khẳng định B, C, D đúng.
Chọn A
Bài 1.26 (SGK trang 40). Rút gọn biểu thức $M=\cos(a+b)\cos(a-b)$ $-\sin(a+b)\sin(a-b),$ ta được
Lời giải
Biểu thức có dạng $\cos u\cos v-\sin u\sin v=\cos(u+v)$ với $u=a+b,$ $v=a-b.$ Do đó
\[\begin{aligned}M&=\cos\big[(a+b)+(a-b)\big]\\ &=\cos 2a=1-2\sin^2 a.\end{aligned}\]Chọn C
Bài 1.27 (SGK trang 40). Khẳng định nào sau đây là sai?
Lời giải
Ta có $\cos(-x)=\cos x$ với mọi $x$ nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ. Vậy khẳng định C sai.
Chọn C
Bài 1.28 (SGK trang 40). Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
Lời giải
Hàm số $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ vì $\cot(x+\pi)=\cot x$ với mọi $x\ne k\pi.$ Các hàm số ở A, B, D không tuần hoàn. Chẳng hạn với B, hàm số $y=x^2+1$ đồng biến khi $x\gt 0$ nên không có số $T\gt 0$ nào để $f(x+T)=f(x)$ với mọi $x.$
Chọn C
Bài 1.29 (SGK trang 40). Đồ thị của các hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-2\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$?
Lời giải
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $\sin x=\cos x.$
• Nếu $\cos x=0$ thì $\sin x=\pm1\ne 0,$ không thỏa mãn. Do đó $\cos x\ne 0,$ chia hai vế cho $\cos x$ ta được
\[\tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).\]• Điều kiện $-2\pi\le\frac{\pi}{4}+k\pi\le\frac{5\pi}{2}$ $\Leftrightarrow -\frac{9}{4}\le k\le\frac{9}{4},$ suy ra $k\in\{-2;-1;0;1;2\}.$
Vậy có 5 giao điểm.
Chọn A
Bài 1.30 (SGK trang 40). Tập xác định của hàm số $y=\dfrac{\cos x}{\sin x-1}$ là
Lời giải
Hàm số xác định khi mẫu khác 0, tức là $\sin x\ne 1\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
Chọn B
Tự luận
Bài 1.31 (SGK trang 41). Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi,$ $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt3}.$ Tính giá trị của các biểu thức sau
a) $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right);$
b) $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right);$
c) $\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{3}\right);$
d) $\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$
Lời giải
Ý chính là tìm $\sin\alpha$ trước rồi dùng công thức cộng.
• Ta có $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$ Vì $\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi$ nên $\sin\alpha\gt 0,$ suy ra $\sin\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt6}{3}.$ Ngoài ra $\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$
a) Áp dụng $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
\[\begin{aligned}&\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)\\ =\ &\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{1}{2}\\ =\ &\frac{3\sqrt2-\sqrt3}{6}.\end{aligned}\]b) Áp dụng $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
\[\begin{aligned}&\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)\\ =\ &-\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{1}{2}\\ =\ &-\frac{3+\sqrt6}{6}.\end{aligned}\]c) Áp dụng $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
\[\begin{aligned}&\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)\\ =\ &\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ =\ &\frac{3+\sqrt6}{6}.\end{aligned}\]d) Áp dụng $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
\[\begin{aligned}&\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\\ =\ &-\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{1}{2}\\ =\ &\frac{\sqrt6-3}{6}.\end{aligned}\]Bài 1.32 (SGK trang 41). Chứng minh các đẳng thức sau
a) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha;$
b) $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos 2\alpha.$
Lời giải
a) Khai triển vế trái rồi dùng $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ và $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$
\[\begin{aligned}&(\sin\alpha+\cos\alpha)^2\\ =\ &\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha\\ =\ &1+\sin 2\alpha.\end{aligned}\]Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Dùng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
\[\begin{aligned}&\cos^4\alpha-\sin^4\alpha\\ =\ &(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\\ =\ &\cos 2\alpha\cdot 1=\cos 2\alpha.\end{aligned}\]Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 1.33 (SGK trang 41). Tìm tập giá trị của các hàm số sau
a) $y=2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-1;$
b) $y=\sin x+\cos x.$
Lời giải
a) Vì $-1\le\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1$ nên nhân 2 rồi trừ 1 ta được
\[-3\le 2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1\le 1.\]Giá trị $y=1$ đạt khi $2x-\frac{\pi}{3}=0,$ giá trị $y=-3$ đạt khi $2x-\frac{\pi}{3}=\pi.$ Vậy tập giá trị là $[-3;1].$
b) Dùng công thức cộng với $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$ ta có
\[\begin{aligned}&\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ =\ &\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\\ =\ &\frac{\sqrt2}{2}(\sin x+\cos x).\end{aligned}\]Suy ra $y=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$
Vì $-1\le\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt2\le y\le\sqrt2.$ Giá trị $\sqrt2$ đạt tại $x=\frac{\pi}{4},$ giá trị $-\sqrt2$ đạt tại $x=-\frac{3\pi}{4}.$
Vậy tập giá trị là $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right].$
Bài 1.34 (SGK trang 41). Giải các phương trình sau
a) $\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2};$
b) $2\sin^2 x-1+\cos 3x=0;$
c) $\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right)=\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).$
Lời giải
a) Vì $\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ nên phương trình tương đương $\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{3\pi}{4},$ suy ra
\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{l}3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\\ 3x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{array}{l}3x=\pi+k2\pi\\ 3x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array}\right.\end{aligned}\]Vậy $x=\frac{\pi}{3}+\frac{k2\pi}{3},$ $x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k2\pi}{3}\ (k\in\mathbb{Z}).$
b) Ý chính là dùng công thức nhân đôi $\cos 2x=1-2\sin^2 x,$ suy ra $2\sin^2 x-1=-\cos 2x.$ Phương trình trở thành $-\cos 2x+\cos 3x=0,$ tức là $\cos 3x=\cos 2x.$ Suy ra
\[\left[\begin{array}{l}3x=2x+k2\pi\\ 3x=-2x+k2\pi\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=k2\pi\\ x=\dfrac{k2\pi}{5}\end{array}\right.\]Họ $x=k2\pi$ nằm trong họ $x=\frac{k2\pi}{5}$ (ứng với $k$ chia hết cho 5).
Vậy $x=\frac{k2\pi}{5}\ (k\in\mathbb{Z}).$
c) Điều kiện $\cos\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)\ne 0$ và $\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\ne 0.$ Áp dụng $\tan u=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi$
\[\begin{aligned}&2x+\frac{\pi}{5}=x-\frac{\pi}{6}+k\pi\\ \Leftrightarrow\ &x=-\frac{11\pi}{30}+k\pi.\end{aligned}\]Kiểm tra điều kiện, với các giá trị này $x-\frac{\pi}{6}=-\frac{8\pi}{15}+k\pi$ và $2x+\frac{\pi}{5}=-\frac{8\pi}{15}+k2\pi,$ đều khác $\frac{\pi}{2}+m\pi$ nên thỏa mãn.
Vậy $x=-\frac{11\pi}{30}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$
Bài 1.35 (SGK trang 41). Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số
\[p(t)=115+25\sin(160\pi t),\]trong đó $p(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số $p(t).$
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.
Lời giải
a) Hàm số $y=\sin(at)$ với $a\gt 0$ có chu kì $\frac{2\pi}{a}.$ Ở đây $a=160\pi$ nên chu kì là
\[T=\frac{2\pi}{160\pi}=\frac{1}{80}\ \text{(phút)}.\]Vậy chu kì của $p(t)$ là $\frac{1}{80}$ phút.
b) Mỗi chu kì ứng với một nhịp tim. Số nhịp tim trong 1 phút là $1\div\frac{1}{80}=80.$ Vậy tim đập 80 nhịp mỗi phút.
c) Vì $-1\le\sin(160\pi t)\le 1$ nên $115-25\le p(t)\le 115+25,$ tức là $90\le p(t)\le 140.$
• Huyết áp tâm thu (lớn nhất) là 140 mmHg.
• Huyết áp tâm trương (nhỏ nhất) là 90 mmHg.
Vậy chỉ số huyết áp của người này là 140/90, cao hơn mức bình thường 120/80.
Bài 1.36 (SGK trang 41). Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới $i$ liên hệ với góc khúc xạ $r$ bởi Định luật khúc xạ ánh sáng
\[\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_2}{n_1}.\]Ở đây, $n_1$ và $n_2$ tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới $i=50^\circ,$ hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
Lời giải
Thay $i=50^\circ,$ $n_1=1,$ $n_2=1{,}33$ vào định luật khúc xạ ta có
\[\begin{aligned}&\frac{\sin 50^\circ}{\sin r}=1{,}33\\ \Leftrightarrow\ &\sin r=\frac{\sin 50^\circ}{1{,}33}\approx 0{,}5760.\end{aligned}\]Góc khúc xạ thỏa mãn $0^\circ\lt r\lt 90^\circ.$ Bấm máy ở chế độ độ, SHIFT sin (sin 50 ÷ 1.33) = ta được $r\approx 35{,}17^\circ.$
Vậy góc khúc xạ $r\approx 35^\circ 10'.$
Bình luận
Viết bình luận của bạn