Bài học Dãy số (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân) giúp các em hiểu dãy số là gì, phân biệt dãy số hữu hạn và vô hạn, biết các cách cho một dãy số và cách xét dãy số tăng, giảm, bị chặn. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Khi xếp các số theo một thứ tự nhất định (số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba, …) ta được một dãy số. Ví dụ, số dân của một thành phố qua từng năm, số tiền trong sổ tiết kiệm sau từng tháng đều là các dãy số.
1. Dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn
• Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
• Ta viết $u_n$ thay cho $u(n)$ và kí hiệu dãy số là $(u_n).$ Dạng khai triển của dãy số là
\[u_1,\ u_2,\ u_3,\ \ldots,\ u_n,\ \ldots\]• $u_1$ là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ $n$ và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
Nói đơn giản, dãy số là một “hàng” các số được đánh số thứ tự $1,2,3,\ldots$ Số hạng tổng quát $u_n$ cho biết số đứng ở vị trí thứ $n$ bằng bao nhiêu.
Chú ý. Nếu $u_n=c$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ ($c$ là hằng số) thì $(u_n)$ gọi là dãy số không đổi, ví dụ $5,5,5,\ldots$
• Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $M=\{1;2;3;\ldots;m\}$ với $m\in\mathbb{N}^*$ gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển là $u_1,u_2,\ldots,u_m.$ Số $u_1$ là số hạng đầu, số $u_m$ là số hạng cuối.
Dãy số hữu hạn chỉ có $m$ số hạng nên có số hạng cuối; dãy số vô hạn thì kéo dài mãi, không có số hạng cuối.
Ví dụ 1. Dãy các số tự nhiên lẻ xếp tăng dần là $1,3,5,7,\ldots$
• Đây là dãy số vô hạn, số hạng đầu $u_1=1.$
• Số lẻ thứ $n$ bằng $2n-1$ nên số hạng tổng quát là $u_n=2n-1.$
Ví dụ 2. Dãy các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20 xếp tăng dần là 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Đây là dãy số hữu hạn có 10 số hạng, số hạng đầu là 1 và số hạng cuối là 19.
2. Các cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng một trong các cách sau.
• Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
• Công thức của số hạng tổng quát $u_n$ theo $n.$
• Phương pháp mô tả (nói bằng lời cách tìm số hạng thứ $n$).
• Phương pháp truy hồi (cho số hạng đầu và một hệ thức tính số hạng thứ $n$ theo số hạng, hay vài số hạng, đứng trước nó).
Cách cho bằng công thức tổng quát. Muốn tìm số hạng thứ mấy thì thay $n$ bằng số đó vào công thức.
Ví dụ 3. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}.$ Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100.
• Thay $n=1,2,3,4,5$ ta được năm số hạng đầu là $-1,\ \dfrac{1}{2},\ -\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ -\dfrac{1}{5}.$
• Thay $n=100$ ta được $u_{100}=\dfrac{(-1)^{100}}{100}=\dfrac{1}{100}.$
Cách cho bằng mô tả. Ví dụ dãy các số nguyên tố xếp tăng dần là 2, 3, 5, 7, 11, … Số hạng thứ $n$ là “số nguyên tố thứ $n$”. Đến nay người ta vẫn chưa biết một công thức tính số nguyên tố thứ $n$ theo $n,$ nên dãy này chỉ cho được bằng mô tả.
Cách cho bằng truy hồi. Biết số hạng đầu, ta tính lần lượt từng số hạng tiếp theo nhờ hệ thức truy hồi.
Ví dụ 4. Cho dãy số $u_1=1,$ $u_n=3u_{n-1}+2$ với $n\ge 2.$ Viết ba số hạng đầu.
• $u_1=1.$
• $u_2=3u_1+2=3\cdot 1+2=5.$
• $u_3=3u_2+2=3\cdot 5+2=17.$
Vậy ba số hạng đầu là 1, 5, 17.
Dãy Fibonacci là dãy số $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi
\[\begin{cases}F_1=1,\ F_2=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\ \ (n\ge 3).\end{cases}\]Mỗi số hạng (từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng ngay trước nó, nên dãy là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Các số Fibonacci xuất hiện ở nhiều nơi trong tự nhiên, chẳng hạn số cánh của nhiều loài hoa là 3, 5, 8, 13, 21, …
Ví dụ 5 (bài toán mở đầu). Năm 2020 một thành phố có khoảng 500 nghìn người, dân số tăng 2% mỗi năm. Số dân sau $n$ năm là $P_n=500(1+0{,}02)^n$ (nghìn người). Năm 2030 ứng với $n=2030-2020=10$ nên ta có
\[P_{10}=500\cdot(1{,}02)^{10}\approx 609.\]Vậy năm 2030 thành phố có khoảng 609 nghìn người.
Biểu diễn dãy số trên trục số. Để dễ hình dung, ta đánh dấu các số hạng lên trục số. Ví dụ, dãy $u_n=\dfrac{(-1)^n}{2^n}$ có năm số hạng đầu là $-\dfrac{1}{2},$ $\dfrac{1}{4},$ $-\dfrac{1}{8},$ $\dfrac{1}{16},$ $-\dfrac{1}{32}.$ Các điểm nhảy qua lại hai bên số 0 và ngày càng gần 0.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
a) Dãy số tăng, dãy số giảm
• Dãy số $(u_n)$ gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}\gt u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$
• Dãy số $(u_n)$ gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}\lt u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$
Hiểu đơn giản, dãy tăng là số hạng sau luôn lớn hơn số hạng ngay trước nó, dãy giảm là số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng ngay trước nó.
Cách xét tính tăng, giảm. Tính hiệu $u_{n+1}-u_n$ rồi xét dấu.
• Nếu $u_{n+1}-u_n\gt 0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ thì dãy số tăng.
• Nếu $u_{n+1}-u_n\lt 0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ thì dãy số giảm.
Mẹo nhớ. Muốn có $u_{n+1}$ thì thay $n$ bằng $n+1$ trong công thức $u_n$ (nhớ đặt trong ngoặc).
Ví dụ 6. Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n=-2n+5.$
Ta có $u_{n+1}=-2(n+1)+5=-2n+3.$ Suy ra
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=(-2n+3)-(-2n+5)\\&=-2\lt 0.\end{aligned}\]Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.
Ví dụ 7. Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n=\dfrac{1}{n}.$
Ta có
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\\&=\dfrac{-1}{n(n+1)}\lt 0.\end{aligned}\]Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm. Trên hình, các điểm $(n;u_n)$ đi xuống dần.
Lỗi hay gặp. Chỉ so sánh vài số hạng đầu rồi kết luận dãy tăng (giảm) là chưa đủ, phải chứng minh đúng với mọi $n.$ Ngược lại, để chỉ ra dãy không tăng (hoặc không giảm) thì chỉ cần một cặp số hạng trái quy luật. Có những dãy không tăng cũng không giảm, ví dụ $-1,1,-1,1,\ldots$
b) Dãy số bị chặn
• Dãy số $(u_n)$ gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n\le M$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$
• Dãy số $(u_n)$ gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n\ge m$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$
• Dãy số $(u_n)$ gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m,M$ sao cho $m\le u_n\le M$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$
Hiểu đơn giản, dãy bị chặn trên là mọi số hạng đều không vượt quá một “trần” $M$; bị chặn dưới là mọi số hạng đều không nhỏ hơn một “sàn” $m.$
Ví dụ 8. Xét tính bị chặn của dãy số $u_n=\dfrac{n-1}{n}.$
• Ta có $u_n=1-\dfrac{1}{n}\lt 1$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ nên dãy bị chặn trên (bởi 1).
• Vì $n-1\ge 0$ và $n\gt 0$ nên $u_n\ge 0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*,$ do đó dãy bị chặn dưới (bởi 0).
Vậy $(u_n)$ bị chặn, mọi số hạng đều nằm giữa đường $u=0$ và $u=1.$
Mẹo. Dãy số tăng luôn bị chặn dưới bởi $u_1,$ dãy số giảm luôn bị chặn trên bởi $u_1.$ Các bất đẳng thức hay dùng là $n\ge 1,$ $\dfrac{1}{n}\le 1,$ $-1\le \sin n\le 1,$ $-1\le\cos n\le 1.$
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 2.1 (SGK trang 46). Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát cho bởi
a) $u_n=3n-2;$
b) $u_n=3\cdot 2^n;$
c) $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n.$
Lời giải
Thay lần lượt $n=1,2,3,4,5$ và $n=100$ vào công thức $u_n.$
a) Ta có $u_1=3\cdot1-2=1,$ $u_2=4,$ $u_3=7,$ $u_4=10,$ $u_5=13.$
Số hạng thứ 100 là $u_{100}=3\cdot 100-2=298.$
Vậy năm số hạng đầu là 1, 4, 7, 10, 13 và $u_{100}=298.$
b) Ta có $u_1=3\cdot 2=6,$ $u_2=3\cdot 4=12,$ $u_3=24,$ $u_4=48,$ $u_5=96.$
Vậy năm số hạng đầu là 6, 12, 24, 48, 96 và $u_{100}=3\cdot 2^{100}.$
c) Ta có
• $u_1=(1+1)^1=2,$
• $u_2=\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4},$
• $u_3=\left(\dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{64}{27},$
• $u_4=\left(\dfrac{5}{4}\right)^4=\dfrac{625}{256},$
• $u_5=\left(\dfrac{6}{5}\right)^5=\dfrac{7776}{3125}.$
Số hạng thứ 100 là
\[u_{100}=\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^{100}=\left(\dfrac{101}{100}\right)^{100}.\]Vậy năm số hạng đầu là $2,$ $\dfrac{9}{4},$ $\dfrac{64}{27},$ $\dfrac{625}{256},$ $\dfrac{7776}{3125}$ và $u_{100}=\left(\dfrac{101}{100}\right)^{100}\approx 2{,}705.$
Bài 2.2 (SGK trang 46). Dãy số $(u_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi $u_1=1,$ $u_n=n\cdot u_{n-1}$ với $n\ge 2.$
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n.$
Lời giải
a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự $n$ nhân với số hạng đứng ngay trước nó.
• $u_1=1.$
• $u_2=2\cdot u_1=2\cdot 1=2.$
• $u_3=3\cdot u_2=3\cdot 2=6.$
• $u_4=4\cdot u_3=4\cdot 6=24.$
• $u_5=5\cdot u_4=5\cdot 24=120.$
Vậy năm số hạng đầu là 1, 2, 6, 24, 120.
b) Ta thấy
$u_2=1\cdot 2,$ $u_3=1\cdot 2\cdot 3,$ $u_4=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,$ $u_5=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5.$
Vậy ta dự đoán $u_n=1\cdot 2\cdot 3\cdots n=n!.$
Bài 2.3 (SGK trang 46). Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n),$ biết
a) $u_n=2n-1;$
b) $u_n=-3n+2;$
c) $u_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}.$
Lời giải
a) Ta có $u_{n+1}=2(n+1)-1=2n+1.$ Suy ra
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=(2n+1)-(2n-1)\\&=2\gt 0.\end{aligned}\]Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) Ta có $u_{n+1}=-3(n+1)+2=-3n-1.$ Suy ra
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=(-3n-1)-(-3n+2)\\&=-3\lt 0.\end{aligned}\]Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.
c) Ta tính ba số hạng đầu
$u_1=\dfrac{1}{2},$ $u_2=-\dfrac{1}{4},$ $u_3=\dfrac{1}{8}.$
• Vì $u_2\lt u_1$ nên dãy số không tăng.
• Vì $u_3\gt u_2$ nên dãy số không giảm.
Vậy $(u_n)$ không tăng cũng không giảm (các số hạng đổi dấu liên tục, dương rồi âm xen kẽ).
Bài 2.4 (SGK trang 46). Trong các dãy số $(u_n)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_n=n-1;$
b) $u_n=\dfrac{n+1}{n+2};$
c) $u_n=\sin n;$
d) $u_n=(-1)^{n-1}n^2.$
Lời giải
a) Vì $n\ge 1$ nên $u_n=n-1\ge 0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$ Do đó dãy số bị chặn dưới.
Dãy số không bị chặn trên vì với số $M$ bất kì, khi $n\gt M+1$ thì $u_n=n-1\gt M.$
Vậy dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên, nên không bị chặn.
b) Ta viết lại
\[u_n=\dfrac{(n+2)-1}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+2}.\]• Vì $\dfrac{1}{n+2}\gt 0$ nên $u_n\lt 1,$ dãy số bị chặn trên.
• Vì $n+1\gt 0$ và $n+2\gt 0$ nên $u_n\gt 0,$ dãy số bị chặn dưới.
Vậy $0\lt u_n\lt 1$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*,$ dãy số bị chặn.
c) Ta có $-1\le \sin n\le 1$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*.$
Vậy dãy số bị chặn dưới (bởi $-1$), bị chặn trên (bởi 1), nên bị chặn.
d) Ta xét $n$ lẻ và $n$ chẵn.
• Khi $n$ lẻ thì $u_n=n^2,$ ví dụ $u_1=1,$ $u_3=9,$ $u_5=25,$ … lớn dần không giới hạn. Với số $M$ bất kì, chọn $n$ lẻ đủ lớn để $n^2\gt M$ thì $u_n\gt M.$ Do đó dãy số không bị chặn trên.
• Khi $n$ chẵn thì $u_n=-n^2,$ ví dụ $u_2=-4,$ $u_4=-16,$ … nhỏ dần không giới hạn. Với số $m$ bất kì, chọn $n$ chẵn đủ lớn để $n^2\gt -m$ thì $u_n=-n^2\lt m.$ Do đó dãy số không bị chặn dưới.
Vậy dãy số không bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Kết luận. Dãy a) chỉ bị chặn dưới; dãy b) và c) bị chặn; dãy d) không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới.
Bài 2.5 (SGK trang 46). Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó
a) Đều chia hết cho 3;
b) Khi chia cho 4 dư 1.
Lời giải
a) Dãy số là 3, 6, 9, 12, … Số hạng thứ $n$ là bội thứ $n$ của 3.
Vậy $u_n=3n$ với $n\in\mathbb{N}^*.$
b) Các số chia cho 4 dư 1 có dạng $4k+1.$ Dãy số là 1, 5, 9, 13, … (số hạng sau hơn số hạng trước 4 đơn vị, số hạng đầu là 1).
Ta có $u_1=1=4\cdot 1-3,$ $u_2=5=4\cdot 2-3,$ $u_3=9=4\cdot 3-3,$ …
Vậy $u_n=4n-3$ với $n\in\mathbb{N}^*.$
Bài 2.6 (SGK trang 46). Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau $n$ tháng được cho bởi công thức
\[A_n=100\left(1+\dfrac{0{,}06}{12}\right)^n.\]a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.
Lời giải
Ta có $1+\dfrac{0{,}06}{12}=1+0{,}005=1{,}005$ nên $A_n=100\cdot 1{,}005^n.$
a) Sau tháng thứ nhất ($n=1$) ông An nhận được
\[A_1=100\cdot 1{,}005=100{,}5.\]Sau tháng thứ hai ($n=2$) ông An nhận được
\[A_2=100\cdot 1{,}005^2=101{,}0025.\]Vậy sau tháng thứ nhất ông An nhận được 100,5 triệu đồng, sau tháng thứ hai nhận được 101,0025 triệu đồng.
b) Một năm là 12 tháng, ứng với $n=12.$ Ta có
\[A_{12}=100\cdot 1{,}005^{12}\approx 106{,}168.\]Vậy sau 1 năm ông An nhận được khoảng 106,168 triệu đồng.
Bài 2.7 (SGK trang 47). Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi $A_n$ $(n\in\mathbb{N})$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau $n$ tháng.
a) Tìm lần lượt $A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_n).$
Lời giải
Ý chính là mỗi tháng số nợ được cộng thêm lãi 0,8% rồi trừ đi 2 triệu đồng chị Hương trả.
a) Lúc mới vay chị Hương nợ 100 triệu đồng nên $A_0=100.$
Sau 1 tháng, số nợ cộng lãi là $100+100\cdot 0{,}8\%=100\cdot 1{,}008,$ trả 2 triệu đồng nên còn nợ
\[A_1=100\cdot 1{,}008-2=98{,}8.\]Các tháng sau tính giống hệt, lấy số nợ tháng trước nhân 1,008 rồi trừ 2.
• $A_2=98{,}8\cdot 1{,}008-2=97{,}5904.$
• $A_3=97{,}5904\cdot 1{,}008-2\approx 96{,}3711.$
• $A_4=A_3\cdot 1{,}008-2\approx 95{,}1421.$
• $A_5=A_4\cdot 1{,}008-2\approx 93{,}9032.$
• $A_6=A_5\cdot 1{,}008-2\approx 92{,}6545.$
Vậy sau 6 tháng chị Hương còn nợ khoảng 92,654 triệu đồng.
b) Từ cách tính ở câu a), số nợ sau tháng thứ $n$ bằng số nợ sau tháng thứ $n-1$ nhân 1,008 rồi trừ 2.
Vậy hệ thức truy hồi là $A_0=100$ và
\[A_n=1{,}008\,A_{n-1}-2\ \text{ với } n\ge 1.\]Ghi chú. Lời giải hiểu theo cách thông thường là mỗi tháng tính lãi 0,8% trên số nợ đầu tháng rồi chị Hương trả 2 triệu đồng vào cuối tháng. Các giá trị ở câu a) được làm tròn đến 4 chữ số thập phân (tính liên tiếp bằng máy tính, không làm tròn giữa chừng).
Bình luận
Viết bình luận của bạn