Bài học Cấp số cộng (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương II) giúp các em nhận biết một dãy số là cấp số cộng, tìm công sai, viết số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu, rồi áp dụng vào các bài toán thực tế như đếm ghế trong hội trường, tính lương, dân số. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Một nhà hát có 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ ba, … Hàng sau luôn nhiều hơn hàng trước đúng 2 ghế. Dãy số 16, 18, 20, … như vậy được gọi là cấp số cộng. Bài này giúp các em làm việc nhanh với loại dãy số rất hay gặp này.
1. Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với cùng một số $d.$ Số $d$ gọi là công sai.
Nói cách khác, $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d$ khi
\[u_n=u_{n-1}+d\ \text{ với mọi } n\ge 2.\]Hiểu đơn giản, các số hạng của cấp số cộng cách đều nhau, mỗi lần “bước” sang số hạng kế tiếp thì cộng thêm $d.$
Cách tìm công sai. Lấy số hạng sau trừ số hạng ngay trước nó
\[d=u_2-u_1=u_3-u_2=\dots\]• $d\gt 0$ thì cấp số cộng tăng, $d\lt 0$ thì cấp số cộng giảm.
• $d=0$ thì tất cả các số hạng bằng nhau. Ví dụ dãy không đổi $a,a,a,\dots$ là cấp số cộng với công sai $d=0.$
Ví dụ 1. Cấp số cộng có $u_1=2$ và $d=3.$ Viết năm số hạng đầu.
Cứ cộng thêm 3, ta được năm số hạng đầu là 2, 5, 8, 11, 14.
Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng. Tính hiệu $u_n-u_{n-1}$ (với $n\ge 2$). Nếu hiệu này là một hằng số (không chứa $n$) thì dãy là cấp số cộng, hằng số đó chính là công sai $d.$
Ví dụ 2. Chứng minh dãy số $u_n=5n-1$ là cấp số cộng. Tìm $u_1$ và $d.$
• Ta có $u_n-u_{n-1}=(5n-1)-[5(n-1)-1]$ $=5$ với mọi $n\ge 2.$
• Hiệu không đổi nên $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=5$ và $u_1=5\cdot 1-1=4.$
Lỗi hay gặp. Chỉ thấy vài số hạng đầu cách đều nhau rồi kết luận ngay là cấp số cộng. Muốn khẳng định thì phải chứng minh $u_n-u_{n-1}$ không đổi với mọi $n\ge 2.$ Ngược lại, muốn chứng tỏ dãy không là cấp số cộng thì chỉ cần chỉ ra hai hiệu khác nhau, chẳng hạn $u_2-u_1\ne u_3-u_2.$
Mẹo nhớ. Dãy số có dạng $u_n=an+b$ ($a,b$ là hằng số) luôn là cấp số cộng với công sai $d=a$ (hệ số của $n$).
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát là
\[u_n=u_1+(n-1)d.\]Vì sao? Từ $u_1$ đi đến $u_n$ phải “bước” $n-1$ lần, mỗi lần cộng thêm $d.$ Chẳng hạn $u_2=u_1+d,$ $u_3=u_1+2d,$ $u_4=u_1+3d,$ … nên $u_n=u_1+(n-1)d.$
Mẹo nhớ. Số lần cộng $d$ luôn ít hơn số thứ tự của số hạng 1 đơn vị, ví dụ $u_{10}=u_1+9d,$ $u_{100}=u_1+99d.$
Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số cộng 10, 5, …
• Ta có $u_1=10$ và $d=5-10=-5.$
• Năm số hạng đầu là 10, 5, 0, −5, −10.
• Số hạng thứ 100 là $u_{100}=10+99\cdot(-5)=-485.$
Ví dụ 4. Cấp số cộng có $u_{10}=48$ và $u_{18}=88.$ Tìm $u_{100}.$
• Dùng công thức số hạng tổng quát cho $u_{10}$ và $u_{18},$ ta có hệ
\[\begin{cases}u_1+9d=48\\ u_1+17d=88.\end{cases}\]• Giải hệ ta được $u_1=3$ và $d=5.$
• Vậy $u_{100}=u_1+99d=3+99\cdot 5=498.$
Cách làm chung. Bài cho hai số hạng bất kì thì viết mỗi số hạng theo $u_1$ và $d$ để được hệ hai phương trình, giải ra $u_1,$ $d$ rồi tính số hạng cần tìm.
3. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d.$ Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots+u_n.$ Khi đó
\[S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}\]hoặc
\[S_n=\frac{n}{2}\big[2u_1+(n-1)d\big].\]Cách chọn công thức. Biết số hạng đầu và số hạng cuối thì dùng công thức thứ nhất. Biết $u_1$ và $d$ thì dùng công thức thứ hai (công thức thứ hai có được khi thay $u_n=u_1+(n-1)d$ vào công thức thứ nhất).
Vì sao có công thức này? Viết tổng hai lần, một lần xuôi và một lần ngược, rồi cộng theo từng cột. Mỗi cột đều có tổng bằng $u_1+u_n.$ Có $n$ cột nên $2S_n=n(u_1+u_n).$ Hình dưới minh họa với tổng $S=2+5+8+11+14.$
Ví dụ 5. Nhà hát có 25 hàng ghế, hàng đầu 16 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Tính tổng số ghế.
• Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=16,$ $d=2,$ $n=25.$
• Tổng số ghế là
\[S_{25}=\frac{25}{2}\big[2\cdot 16+24\cdot 2\big]=1000.\]• Vậy nhà hát có 1 000 ghế.
Ví dụ 6. Cần lấy tổng bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng 2, 5, 8, … để được 345?
• Ta có $u_1=2$ và $d=3.$ Gọi $n$ là số số hạng cần lấy ($n$ nguyên dương).
• Ta có $S_n=\dfrac{n}{2}\big[2\cdot 2+(n-1)\cdot 3\big]$ $=\dfrac{n(3n+1)}{2}.$
• Cho $S_n=345$ ta được $3n^2+n-690=0,$ suy ra $n=15$ hoặc $n=-\dfrac{46}{3}$ (loại).
• Vậy cần lấy tổng 15 số hạng đầu.
Lỗi hay gặp. Khi giải ra $n,$ phải loại nghiệm âm hoặc không nguyên vì $n$ là số số hạng.
4. Kí hiệu tổng Σ và cách tính tổng bằng máy tính cầm tay
Tổng $S_n=u_1+u_2+\dots+u_n$ được viết gọn là
\[S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k\](kí hiệu Σ đọc là “xích ma”).
Máy tính cầm tay tính được tổng này khi biết công thức số hạng tổng quát. Ví dụ tính tổng 35 số hạng đầu của dãy $u_n=3n+1.$
• Nhấn SHIFT rồi phím $x^{\square}$ (phím có kí hiệu Σ) để mở màn hình tổng.
• Nhập $3x+1$ vào trong ngoặc (máy dùng $x$ thay cho $n$).
• Nhập giá trị đầu của $x$ là 1, giá trị cuối là 35, rồi nhấn phím “=”.
• Máy hiện kết quả 1925, tức là $\displaystyle\sum_{k=1}^{35}(3k+1)=1925.$
Các em nên dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả tính bằng công thức.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 2.8 (SGK trang 51). Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau
a) 4, 9, 14, 19, …;
b) 1, −1, −3, −5, …
Lời giải
a) Ta có $u_1=4.$
• Công sai $d=9-4=5.$
• Số hạng thứ 5 là $u_5=19+5=24.$
• Số hạng tổng quát $u_n=4+(n-1)\cdot 5=5n-1.$
• Số hạng thứ 100 là $u_{100}=5\cdot 100-1=499.$
Vậy $d=5,$ $u_5=24,$ $u_n=5n-1,$ $u_{100}=499.$
b) Ta có $u_1=1.$
• Công sai $d=-1-1=-2.$
• Số hạng thứ 5 là $u_5=-5+(-2)=-7.$
• Số hạng tổng quát $u_n=1+(n-1)\cdot(-2)=3-2n.$
• Số hạng thứ 100 là $u_{100}=3-2\cdot 100=-197.$
Vậy $d=-2,$ $u_5=-7,$ $u_n=3-2n,$ $u_{100}=-197.$
Bài 2.9 (SGK trang 51). Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai $d$ và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n=u_1+(n-1)d.$
a) $u_n=3+5n;$
b) $u_n=6n-4;$
c) $u_1=2,$ $u_n=u_{n-1}+n;$
d) $u_1=2,$ $u_n=u_{n-1}+3.$
Lời giải
a) Thay $n=1,2,3,4,5$ ta được năm số hạng đầu là 8, 13, 18, 23, 28.
• Ta có $u_n-u_{n-1}$ $=(3+5n)-[3+5(n-1)]$ $=5$ với mọi $n\ge 2.$
• Hiệu không đổi nên $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=8$ và $d=5.$
Vậy $u_n=8+(n-1)\cdot 5.$
b) Thay $n=1,2,3,4,5$ ta được năm số hạng đầu là 2, 8, 14, 20, 26.
• Ta có $u_n-u_{n-1}$ $=(6n-4)-[6(n-1)-4]$ $=6$ với mọi $n\ge 2.$
• Hiệu không đổi nên $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=2$ và $d=6.$
Vậy $u_n=2+(n-1)\cdot 6.$
c) Mỗi số hạng bằng số hạng trước cộng với chính số thứ tự $n$ của nó.
+ $u_1=2.$
+ $u_2=u_1+2=4.$
+ $u_3=u_2+3=7.$
+ $u_4=u_3+4=11.$
+ $u_5=u_4+5=16.$
• Ta có $u_2-u_1=2$ còn $u_3-u_2=3,$ hai hiệu khác nhau.
Vậy dãy số này không phải là cấp số cộng.
d) Mỗi số hạng bằng số hạng trước cộng 3, nên năm số hạng đầu là 2, 5, 8, 11, 14.
• Ta có $u_n=u_{n-1}+3$ với mọi $n\ge 2,$ đúng theo định nghĩa cấp số cộng với công sai $d=3.$
Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=2,$ $d=3$ và $u_n=2+(n-1)\cdot 3.$
Bài 2.10 (SGK trang 51). Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.
Lời giải
Gọi $u_1$ là số hạng đầu và $d$ là công sai.
• Số hạng thứ 5 bằng 18 nên $u_1+4d=18$ (1).
• Số hạng thứ 12 bằng 32 nên $u_1+11d=32$ (2).
• Giải hệ (1), (2) ta được $u_1=10$ và $d=2.$
• Số hạng thứ 50 là $u_{50}=u_1+49d=10+49\cdot 2=108.$
Vậy số hạng thứ 50 bằng 108.
Bài 2.11 (SGK trang 51). Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2 700?
Lời giải
Ta có $u_1=5,$ $d=2.$ Gọi $n$ là số số hạng cần lấy ($n$ nguyên dương).
• Tổng $n$ số hạng đầu là
\[\begin{aligned}S_n&=\frac{n}{2}\big[2\cdot 5+(n-1)\cdot 2\big]\\&=n(n+4).\end{aligned}\]• Cho $S_n=2700$ ta được $n^2+4n-2700=0.$
• Giải phương trình ta được $n=50$ hoặc $n=-54$ (loại vì $n\gt 0$).
Vậy phải lấy tổng của 50 số hạng đầu.
Bài 2.12 (SGK trang 51). Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá trị còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Lời giải
Gọi $u_1=680$ (triệu đồng) là giá xe lúc mới mua, $u_2$ là giá sau 1 năm, …, $u_6$ là giá sau 5 năm.
• Mỗi năm giá giảm 55 triệu đồng nên các giá trị này lập thành cấp số cộng với công sai $d=-55.$
• Giá trị sau 5 năm là $u_6=u_1+5d$ $=680+5\cdot(-55)$ $=405.$
Vậy sau 5 năm sử dụng, chiếc xe còn giá trị 405 triệu đồng.
Ghi chú. Sau 5 năm là số hạng thứ 6 (không phải $u_5$) vì $u_1$ là giá lúc mới mua, chưa qua năm nào.
Bài 2.13 (SGK trang 51). Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Lời giải
Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=15$ và $d=3.$ Gọi $n$ là số hàng ghế ($n$ nguyên dương).
• Tổng số ghế của $n$ hàng là
\[\begin{aligned}S_n&=\frac{n}{2}\big[2\cdot 15+(n-1)\cdot 3\big]\\&=\frac{n(3n+27)}{2}.\end{aligned}\]• Sức chứa ít nhất 870 ghế nên $\dfrac{n(3n+27)}{2}\ge 870,$ tức là
\[\begin{aligned}&3n^2+27n-1740\ge 0\\ \Leftrightarrow\ &n^2+9n-580\ge 0.\end{aligned}\]• Phân tích $n^2+9n-580=(n-20)(n+29).$ Vì $n+29\gt 0$ nên bất phương trình tương đương $n-20\ge 0,$ tức là $n\ge 20.$
• Kiểm tra lại, với 20 hàng thì $S_{20}=\dfrac{20\cdot 87}{2}=870$ ghế, vừa đủ.
Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.
Bài 2.14 (SGK trang 51). Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.
Lời giải
Gọi $u_1=1{,}2$ (triệu người) là dân số năm 2020, $u_2$ là dân số năm 2021, … Khi đó dân số năm 2030 là $u_{11}$ (vì $2030-2020=10$ năm, tức là 10 lần tăng).
• Mỗi năm tăng 30 nghìn người, tức là 0,03 triệu người, nên dân số các năm lập thành cấp số cộng với công sai $d=0{,}03.$
• Dân số năm 2030 là $u_{11}=u_1+10d$ $=1{,}2+10\cdot 0{,}03$ $=1{,}5.$
Vậy dân số thành phố năm 2030 ước tính khoảng 1,5 triệu người.
Bình luận
Viết bình luận của bạn