Bài học Cấp số nhân (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương II) giúp các em nhận biết một cấp số nhân, tìm công bội, viết công thức số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu, rồi vận dụng vào các bài toán thực tế như lãi suất, tăng dân số, phân chia tế bào. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa, kể cả bài tập cuối chương II.
A. Tóm tắt lý thuyết
Ở bài Cấp số cộng, mỗi số hạng có được bằng cách cộng thêm một số không đổi. Ở cấp số nhân, mỗi số hạng có được bằng cách nhân với một số không đổi. Ví dụ một khoản tiền tăng 5% mỗi năm, số vi khuẩn gấp đôi sau mỗi giờ… đều tạo thành cấp số nhân.
1. Định nghĩa cấp số nhân
• Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q.$
• Số $q$ gọi là công bội của cấp số nhân.
• Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ có hệ thức truy hồi
\[u_n=u_{n-1}\cdot q\ \text{ với } n\ge 2.\]Hình dưới đây là cấp số nhân 3, 6, 12, 24, 48 với công bội $q=2$ (mỗi lần đi sang phải ta nhân với 2).
Cách tìm công bội. Nếu các số hạng đều khác 0 thì lấy một số hạng chia cho số hạng đứng ngay trước nó
\[q=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}=\dots=\dfrac{u_n}{u_{n-1}}.\]Cách chứng minh dãy số $(u_n)$ (các số hạng khác 0) là cấp số nhân. Ta tính tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (hoặc $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$). Nếu tỉ số này là một hằng số (không phụ thuộc $n$) thì dãy là cấp số nhân, hằng số đó chính là công bội $q.$
Ví dụ 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=2$ và $q=-3.$
• Mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với $-3$ nên ta được $u_1=2,$ $u_2=2\cdot(-3)=-6,$ $u_3=(-6)\cdot(-3)=18,$ $u_4=18\cdot(-3)=-54,$ $u_5=(-54)\cdot(-3)=162.$
• Vậy năm số hạng đầu là 2, −6, 18, −54, 162. Khi công bội âm, các số hạng đổi dấu xen kẽ.
Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=2\cdot 5^n.$ Chứng minh dãy số này là cấp số nhân, tìm số hạng đầu và công bội.
• Với mọi $n\ge 1$ ta có $u_n\ne 0$ và
\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2\cdot 5^{n+1}}{2\cdot 5^n}=5.\]• Tỉ số luôn bằng 5 (không đổi) nên $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q=5$ và số hạng đầu $u_1=2\cdot 5=10.$
Chú ý. Dãy số không đổi $a,\ a,\ a,\ \dots$ là một cấp số nhân với công bội $q=1.$
Lỗi hay gặp. Lấy số hạng trước chia số hạng sau. Công bội luôn là “số sau chia số trước”, ví dụ dãy 8, 4, 2, 1 có $q=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ chứ không phải 2.
2. Số hạng tổng quát
Từ $u_1$ muốn đến $u_n$ ta phải nhân với $q$ đúng $n-1$ lần: $u_2=u_1q,$ $u_3=u_1q^2,$ $u_4=u_1q^3,$ … Do đó
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là
\[u_n=u_1\cdot q^{\,n-1}\ \text{ với } n\ge 2.\](Công thức cũng đúng khi $n=1$ vì $q^0=1$.)
Mẹo nhớ. Số mũ của $q$ luôn nhỏ hơn chỉ số của số hạng 1 đơn vị, ví dụ $u_{10}=u_1q^9,$ $u_{20}=u_1q^{19}.$
Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân 8, −4, …
• Số hạng đầu $u_1=8,$ công bội $q=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}.$
• Năm số hạng đầu là 8, −4, 2, −1, $\dfrac{1}{2}.$
• Số hạng thứ 100 là
\[\begin{aligned}u_{100}&=u_1q^{99}=8\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{99}\\&=-\dfrac{2^3}{2^{99}}=-\dfrac{1}{2^{96}}.\end{aligned}\]Ví dụ 4. Một cấp số nhân có các số hạng dương, $u_{10}=1536$ và $u_{12}=6144.$ Tìm $u_{20}.$
• Viết hai số hạng đã biết theo $u_1$ và $q$
\[\begin{aligned}&u_{10}=u_1q^9=1536\ \ (1)\\&u_{12}=u_1q^{11}=6144\ \ (2).\end{aligned}\]• Lấy (2) chia (1) ta được $q^2=4$ nên $q=2$ hoặc $q=-2.$ Vì các số hạng đều dương nên $q=2.$ Thay vào (1) ta được $u_1=\dfrac{1536}{2^9}=3.$
• Vậy $u_{20}=u_1q^{19}=3\cdot 2^{19}=1572864.$
Ví dụ 5 (tăng theo phần trăm). Một lọ nuôi cấy ban đầu có 5000 con vi khuẩn, số lượng tăng thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
• Tăng thêm 8% nghĩa là số mới bằng 100% + 8% = 108% số cũ, tức là nhân với $1{,}08.$ Số vi khuẩn ban đầu, sau 1 giờ, sau 2 giờ, … lập thành cấp số nhân với $u_1=5000,$ $q=1{,}08.$
• Sau 5 giờ là số hạng thứ 6 nên số vi khuẩn là
\[u_6=5000\cdot 1{,}08^5\approx 7347.\]• Vậy sau 5 giờ có khoảng 7347 con vi khuẩn.
Mẹo bài toán thực tế. Tăng $r\%$ mỗi kì thì $q=1+\dfrac{r}{100}$; giảm $r\%$ mỗi kì thì $q=1-\dfrac{r}{100}.$ Nếu $u_1$ là giá trị ban đầu thì giá trị sau $n$ kì là $u_{n+1}=u_1q^n.$
Tính chất. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích hai số hạng đứng kề nó
\[u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}\ \text{ với } k\ge 2.\](Xem chứng minh ở Bài 2.29 phía dưới.) Ví dụ cấp số nhân 3, 6, 12 có $6^2=3\cdot 12=36.$
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q\ne 1.$ Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots+u_n.$ Khi đó
\[S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}.\]Nếu $q=1$ thì mọi số hạng đều bằng $u_1$ nên $S_n=n\cdot u_1.$
Vì sao có công thức này? Ta viết $S_n=u_1+u_1q+\dots+u_1q^{n-1}.$ Nhân hai vế với $q$ được $qS_n=u_1q+u_1q^2+\dots+u_1q^{n}.$ Trừ hai đẳng thức, các số hạng ở giữa triệt tiêu hết, còn lại $(1-q)S_n=u_1-u_1q^n,$ chia hai vế cho $1-q$ là được công thức trên.
Ví dụ 6. Một chuyên gia có lương năm đầu 240 triệu đồng, mỗi năm tăng thêm 5% so với năm trước. Tính tổng số lương nhận được sau 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).
• Lương các năm lập thành cấp số nhân với $u_1=240$ và $q=1{,}05.$
• Tổng lương 10 năm là tổng 10 số hạng đầu
\[S_{10}=\dfrac{240\left(1-1{,}05^{10}\right)}{1-1{,}05}\approx 3019.\]• Vậy tổng số lương sau 10 năm khoảng 3019 triệu đồng (khoảng 3,019 tỉ đồng).
Ví dụ 7. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 6, 18, … để được 728?
• Cấp số nhân có $u_1=2,$ $q=3.$ Gọi $n$ là số số hạng cần lấy, ta có
\[S_n=\dfrac{2\left(1-3^n\right)}{1-3}=3^n-1=728.\]• Suy ra $3^n=729=3^6$ nên $n=6.$ Vậy cần lấy 6 số hạng đầu.
Lỗi hay gặp. Khi $q$ âm, nhớ đặt $q$ trong ngoặc khi lũy thừa, ví dụ $q=-2$ thì $q^4=(-2)^4=16$ chứ không phải $-2^4=-16.$
So sánh nhanh cấp số cộng và cấp số nhân
| Cấp số cộng | Cấp số nhân | |
|---|---|---|
| Truy hồi | $u_n=u_{n-1}+d$ | $u_n=u_{n-1}\cdot q$ |
| $u_n$ | $u_1+(n-1)d$ | $u_1\cdot q^{n-1}$ |
| $S_n$ | $\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ | $\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ |
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 2.15 (SGK trang 55). Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) 1, 4, 16, …;
b) $2,\ -\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{8},\ \dots$
Lời giải
a) Cấp số nhân có $u_1=1$ và công bội $q=\dfrac{4}{1}=4.$
• Số hạng thứ 5 là $u_5=u_1q^4=1\cdot 4^4=256.$
• Số hạng tổng quát là $u_n=1\cdot 4^{n-1}=4^{n-1}.$
• Số hạng thứ 100 là $u_{100}=4^{99}.$
Vậy $q=4,$ $u_5=256,$ $u_n=4^{n-1},$ $u_{100}=4^{99}.$
b) Cấp số nhân có $u_1=2$ và công bội
\[q=\dfrac{-\frac{1}{2}}{2}=-\dfrac{1}{4}.\]• Số hạng thứ 5 là
\[\begin{aligned}u_5&=u_1q^4=2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^4\\&=\dfrac{2}{256}=\dfrac{1}{128}.\end{aligned}\]• Số hạng tổng quát là $u_n=2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.$
• Số hạng thứ 100 là
\[\begin{aligned}u_{100}&=2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{99}\\&=-\dfrac{2}{2^{198}}=-\dfrac{1}{2^{197}}.\end{aligned}\]Vậy $q=-\dfrac{1}{4},$ $u_5=\dfrac{1}{128},$ $u_n=2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1},$ $u_{100}=-\dfrac{1}{2^{197}}.$
Bài 2.16 (SGK trang 55). Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội $q$ và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n=u_1\cdot q^{n-1}.$
a) $u_n=5n;$
b) $u_n=5^n;$
c) $u_1=1,$ $u_n=nu_{n-1};$
d) $u_1=1,$ $u_n=5u_{n-1}.$
Lời giải
a) Năm số hạng đầu là 5, 10, 15, 20, 25.
Ta có $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{10}{5}=2$ nhưng $\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}.$ Hai tỉ số khác nhau nên dãy số không phải cấp số nhân.
b) Năm số hạng đầu là 5, 25, 125, 625, 3125.
Với mọi $n\ge 1$ ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5^{n+1}}{5^n}=5$ (không đổi). Vậy dãy số là cấp số nhân với $u_1=5,$ $q=5$ và $u_n=5\cdot 5^{n-1}.$
c) Thay lần lượt $n=2,\,3,\,4,\,5$ vào $u_n=nu_{n-1}$ ta được $u_2=2\cdot 1=2,$ $u_3=3\cdot 2=6,$ $u_4=4\cdot 6=24,$ $u_5=5\cdot 24=120.$ Năm số hạng đầu là 1, 2, 6, 24, 120.
Ta có $\dfrac{u_2}{u_1}=2$ nhưng $\dfrac{u_3}{u_2}=3.$ Vậy dãy số không phải cấp số nhân.
d) Năm số hạng đầu là 1, 5, 25, 125, 625.
Hệ thức $u_n=5u_{n-1}$ cho thấy mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với 5. Vậy dãy số là cấp số nhân với $u_1=1,$ $q=5$ và $u_n=1\cdot 5^{n-1}.$
Bài 2.17 (SGK trang 55). Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
Lời giải
Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $q$ là công bội. Viết hai số hạng đã biết theo $u_1$ và $q$
\[\begin{aligned}&u_3=u_1q^2=12\ \ (1)\\&u_6=u_1q^5=96\ \ (2).\end{aligned}\]• Lấy (2) chia (1) ta được $q^3=8$ nên $q=2.$
• Thay $q=2$ vào (1) ta được $4u_1=12$ nên $u_1=3.$
• Số hạng thứ 50 là $u_{50}=u_1q^{49}=3\cdot 2^{49}.$
Vậy $u_{50}=3\cdot 2^{49}.$
Bài 2.18 (SGK trang 55). Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?
Lời giải
Cấp số nhân có $u_1=5,$ $q=2.$ Gọi $n$ là số số hạng đầu cần lấy. Theo công thức tổng $n$ số hạng đầu ta có
\[S_n=\dfrac{5\left(1-2^n\right)}{1-2}=5\left(2^n-1\right).\]Tổng bằng 5115 nên $5\left(2^n-1\right)=5115.$ Suy ra $2^n-1=1023,$ tức là $2^n=1024=2^{10}$ nên $n=10.$
Vậy phải lấy tổng của 10 số hạng đầu.
Bài 2.19 (SGK trang 55). Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.
Lời giải
• Giảm 20% nghĩa là giá trị năm sau bằng 80% giá trị năm trước, tức là nhân với $0{,}8.$
• Giá trị ban đầu, sau 1 năm, sau 2 năm, … (tỉ đồng) lập thành cấp số nhân với $u_1=3$ và $q=0{,}8.$
• Sau 5 năm sử dụng là số hạng thứ 6 nên giá trị còn lại là
\[u_6=u_1q^5=3\cdot 0{,}8^5=0{,}98304.\]Vậy sau 5 năm, giá trị còn lại của máy ủi là 0,98304 tỉ đồng (tức 983,04 triệu đồng).
Bài 2.20 (SGK trang 55). Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.
Lời giải
• Mỗi năm dân số tăng 0,91% nên dân số năm sau bằng dân số năm trước nhân với $1+0{,}0091=1{,}0091.$
• Dân số (triệu người) các năm 2020, 2021, … lập thành cấp số nhân với $u_1=97$ (năm 2020) và $q=1{,}0091.$
• Năm 2030 cách năm 2020 là 10 năm nên ứng với số hạng $u_{11}$
\[u_{11}=u_1q^{10}=97\cdot 1{,}0091^{10}\approx 106{,}2.\]Vậy dân số năm 2030 ước tính khoảng 106,2 triệu người.
Bài 2.21 (SGK trang 55). Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.
Lời giải
• Lượng thuốc (mg) ở ngày thứ 1, 2, 3, … lập thành cấp số nhân với $u_1=50$ và $q=\dfrac{1}{2}.$
• Tổng lượng thuốc sau 10 ngày là tổng 10 số hạng đầu
\[\begin{aligned}S_{10}&=\dfrac{50\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}}\\&=100\left(1-\dfrac{1}{1024}\right)\approx 99{,}9.\end{aligned}\]Vậy tổng lượng thuốc trong máu sau 10 ngày khoảng 99,9 mg (đúng bằng $\dfrac{25575}{256}$ mg).
C. Bài tập cuối chương II
Trắc nghiệm
Bài 2.22 (SGK trang 56). Khẳng định nào sau đây là sai?
Lời giải
• Dãy tăng thì $u_n\ge u_1$ với mọi $n$ nên bị chặn dưới bởi $u_1.$ Khẳng định A đúng.
• Dãy giảm thì $u_n\le u_1$ với mọi $n$ nên bị chặn trên bởi $u_1.$ Khẳng định B đúng.
• Dãy không đổi $u_n=a$ thì $a\le u_n\le a$ nên bị chặn. Khẳng định D đúng.
• Dãy $u_n=(-1)^n$ có $-1\le u_n\le 1$ nên bị chặn, nhưng các số hạng −1, 1, −1, 1, … lúc lên lúc xuống nên không tăng cũng không giảm. Khẳng định C sai.
Chọn C
Bài 2.23 (SGK trang 56). Cho dãy số $1,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{8},\ \dots$ (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Lời giải
Số hạng sau bằng số hạng trước nhân với $\dfrac{1}{2}$ nên dãy là cấp số nhân với $u_1=1$ và $q=\dfrac{1}{2}.$ Do đó
\[u_n=u_1q^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}.\](Kiểm tra nhanh các phương án khác với $n=1$ thì A cho $\dfrac{1}{2},$ B cho $-1,$ C cho $\dfrac{1}{2},$ đều khác $u_1=1.$)
Chọn D
Bài 2.24 (SGK trang 56). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=3n+6.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải
Với mọi $n\ge 1$ ta có $u_{n+1}=3(n+1)+6=3n+9.$ Suy ra
\[u_{n+1}-u_n=3n+9-3n-6=3.\]Hiệu không đổi nên $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=3.$ Dãy này (9, 12, 15, …) có $\dfrac{12}{9}\ne\dfrac{15}{12}$ nên không phải cấp số nhân.
Chọn A
Bài 2.25 (SGK trang 56). Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Lời giải
• Dãy B có $u_{n+1}=u_n\cdot 2,$ mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với 2 nên là cấp số nhân với công bội $q=2.$
• Dãy A là −1, 1, 1, … có $\dfrac{u_2}{u_1}=-1$ nhưng $\dfrac{u_3}{u_2}=1$ nên không là cấp số nhân.
• Dãy C và D là cấp số cộng (công sai 2 và −2). Dãy C là −1, 1, 3 có $\dfrac{1}{-1}\ne\dfrac{3}{1}$; dãy D là −1, −3, −5 có $\dfrac{-3}{-1}\ne\dfrac{-5}{-3}$ nên đều không là cấp số nhân.
Chọn B
Bài 2.26 (SGK trang 56). Tổng 100 số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với $u_n=2n-1$ là
Lời giải
Ta có $u_{n+1}-u_n=2$ nên $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=1,$ $d=2$ và $u_{100}=199.$ Do đó
\[\begin{aligned}S_{100}&=\dfrac{100\,(u_1+u_{100})}{2}\\&=\dfrac{100\cdot(1+199)}{2}=10000.\end{aligned}\]Chọn C
Tự luận
Bài 2.27 (SGK trang 57). Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Lời giải
• Lúc 0 giờ, số giờ bằng 0 nên đồng hồ không đánh chuông. Lúc 1 giờ, 2 giờ, …, 12 giờ, đồng hồ lần lượt đánh 1, 2, …, 12 tiếng.
• Các số 1, 2, …, 12 lập thành cấp số cộng với $u_1=1,$ $d=1$ và $u_{12}=12.$ Tổng số tiếng chuông là
\[S_{12}=\dfrac{12\,(1+12)}{2}=78.\]Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông.
Bài 2.28 (SGK trang 57). Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Lời giải
• Đổi 24 giờ = 1440 phút. Số lần phân đôi trong 24 giờ là $1440\div 20=72$ lần.
• Sau mỗi lần phân đôi số tế bào nhân với 2. Số tế bào ban đầu, sau lần 1, sau lần 2, … lập thành cấp số nhân với $u_1=1$ và $q=2.$
• Sau 72 lần phân đôi là số hạng thứ 73 nên số tế bào là
\[u_{73}=u_1q^{72}=2^{72}\approx 4{,}72\cdot 10^{21}.\]Vậy sau 24 giờ, tế bào ban đầu phân chia thành $2^{72}$ tế bào.
Bài 2.29 (SGK trang 57). Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng $(u_n),$ mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\[u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\ \text{ với } k\ge 2.\]b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\[u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}\ \text{ với } k\ge 2.\]Lời giải
a) Gọi $d$ là công sai. Số hạng đứng trước $u_k$ bằng $u_k$ trừ $d,$ số hạng đứng sau bằng $u_k$ cộng $d$
\[u_{k-1}=u_k-d,\qquad u_{k+1}=u_k+d.\]Cộng hai đẳng thức ta được $u_{k-1}+u_{k+1}=2u_k.$ Vậy $u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với $k\ge 2.$
b) Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $q$ là công bội. Theo công thức số hạng tổng quát
\[\begin{aligned}u_{k-1}&=u_1q^{k-2},\\u_k&=u_1q^{k-1},\\u_{k+1}&=u_1q^{k}.\end{aligned}\]Suy ra
\[\begin{aligned}u_{k-1}\cdot u_{k+1}&=u_1q^{k-2}\cdot u_1q^{k}\\&=u_1^2\,q^{2k-2}=\left(u_1q^{k-1}\right)^2.\end{aligned}\]Vậy $u_{k-1}\cdot u_{k+1}=u_k^2$ với $k\ge 2.$
Bài 2.30 (SGK trang 57). Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Lời giải
Ý chính là đặt số ở giữa là $a$ và công sai là $d$ để tổng ba số chỉ còn một ẩn.
• Ba số lập thành cấp số cộng nên viết được là $a-d,$ $a,$ $a+d.$ Tổng bằng 21 nên $3a=21,$ suy ra $a=7.$ Ba số là $7-d,$ $7,$ $7+d.$
• Cộng thêm lần lượt 2; 3; 9 ta được ba số $9-d,$ $10,$ $16+d.$ Ba số này lập thành cấp số nhân nên theo tính chất ở Bài 2.29b ta có
\[(9-d)(16+d)=10^2.\]• Khai triển ta được $144-7d-d^2=100,$ tức là $d^2+7d-44=0.$ Giải phương trình ta được $d=4$ hoặc $d=-11.$
+ Với $d=4,$ ba số là 3, 7, 11 (cộng thêm thì được 5, 10, 20, là cấp số nhân với $q=2$).
+ Với $d=-11,$ ba số là 18, 7, −4 (cộng thêm thì được 20, 10, 5, là cấp số nhân với $q=\dfrac{1}{2}$).
Vậy ba số cần tìm là 3, 7, 11 hoặc 18, 7, −4.
Bài 2.31 (SGK trang 57). Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Lời giải
a) Đổi 16 cm = 0,16 m. Gọi $h_n$ (mét) là độ cao của mặt bậc thứ $n$ so với mặt sân.
• Bậc thứ nhất cao hơn sàn tầng một 0,16 m nên $h_1=0{,}5+0{,}16=0{,}66.$
• Mỗi bậc sau cao hơn bậc trước 0,16 m nên $(h_n)$ là cấp số cộng với $h_1=0{,}66$ và $d=0{,}16.$ Do đó
\[\begin{aligned}h_n&=0{,}66+(n-1)\cdot 0{,}16\\&=0{,}5+0{,}16n.\end{aligned}\]Vậy độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân là $h_n=0{,}5+0{,}16n$ (mét), với $1\le n\le 25.$
b) Sàn tầng hai ngang với mặt bậc thứ 25 nên độ cao của nó so với mặt sân là
\[h_{25}=0{,}5+0{,}16\cdot 25=4{,}5.\]Vậy sàn tầng hai cao 4,5 m so với mặt sân.
Bài 2.32 (SGK trang 57). Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?
Lời giải
Ý chính là tính diện tích được tô xanh thêm ở mỗi lần, thấy chúng lập thành cấp số nhân rồi dùng công thức tổng.
• Lần 1. Tô 1 hình vuông cạnh $\dfrac{1}{3},$ diện tích tô thêm là $u_1=\dfrac{1}{9}.$
• Lần 2. Còn 8 hình vuông vàng cạnh $\dfrac{1}{3}.$ Mỗi hình tô 1 hình vuông cạnh $\dfrac{1}{9}$ nên diện tích tô thêm là $u_2=8\cdot\dfrac{1}{81}=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{8}{9}.$
• Lần 3. Còn $8\cdot 8=64$ hình vuông vàng cạnh $\dfrac{1}{9}.$ Mỗi hình tô 1 hình vuông cạnh $\dfrac{1}{27}$ nên diện tích tô thêm là $u_3=\dfrac{64}{729}=u_2\cdot\dfrac{8}{9}.$
• Cứ như vậy, mỗi lần số hình vuông xanh mới gấp 8 lần còn diện tích mỗi hình bằng $\dfrac{1}{9}$ lần trước. Do đó $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=\dfrac{1}{9}$ và $q=\dfrac{8}{9}.$
• Tổng diện tích tô xanh sau 5 lần là
\[S_5=\dfrac{\frac{1}{9}\left(1-\left(\frac{8}{9}\right)^5\right)}{1-\frac{8}{9}}=1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^5.\]• Tính ra $S_5=1-\dfrac{32768}{59049}=\dfrac{26281}{59049}\approx 0{,}445.$
Vậy tổng diện tích các hình vuông màu xanh là $\dfrac{26281}{59049}\approx 0{,}445$ (đơn vị diện tích).
Ghi chú. Lời giải trên hiểu “lặp lại năm lần” là tổng cộng có 5 lần tô (kể cả lần đầu). Nếu hiểu là lặp thêm 5 lần sau lần đầu (tổng 6 lần) thì kết quả là $1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^6\approx 0{,}507.$
Bình luận
Viết bình luận của bạn