Bài học Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương III) giúp các em tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, đồng thời hiểu ý nghĩa của từng số trong thực tế. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa, kể cả bài tập cuối chương III.
A. Tóm tắt lý thuyết
Khi chỉ có bảng số liệu ghép nhóm, ta không biết chính xác từng giá trị nằm ở đâu trong nhóm. Vì vậy các số đặc trưng tính từ bảng ghép nhóm chỉ là giá trị ước lượng (xấp xỉ) cho số liệu gốc. Các công thức dưới đây cho cách ước lượng hợp lí nhất.
Kí hiệu dùng chung
Mẫu số liệu ghép nhóm có $k$ nhóm $[a_1;a_2),$ $[a_2;a_3),$ …, $[a_k;a_{k+1}).$
• $m_i$ là tần số của nhóm thứ $i$ (số giá trị rơi vào nhóm đó).
• $n=m_1+m_2+\dots+m_k$ là cỡ mẫu (tổng các tần số).
• $x_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$ (trung điểm của nhóm).
• $h=a_{i+1}-a_i$ là độ dài nhóm.
• Tần số tích lũy của một nhóm là tổng tần số của nhóm đó và tất cả các nhóm đứng trước nó.
Chú ý (số liệu rời rạc). Với số liệu là số nguyên, sách thường ghi nhóm dạng $k_1-k_2$ (gồm các giá trị $k_1,$ $k_1+1,$ …, $k_2$). Trước khi tính, ta hiệu chỉnh thành nhóm $[k_1-0{,}5;\,k_2+0{,}5)$ để các nhóm nối liền nhau.
Ví dụ. Điểm thi được ghép thành các nhóm 1-4, 5-7, 8-10 với số học sinh lần lượt là 5, 20, 10. Sau khi hiệu chỉnh ta được bảng
| Điểm thi | Nhóm hiệu chỉnh | Số học sinh |
|---|---|---|
| 1-4 | [0,5; 4,5) | 5 |
| 5-7 | [4,5; 7,5) | 20 |
| 8-10 | [7,5; 10] | 10 |
(Theo quy tắc, nhóm cuối là [7,5; 10,5). Sách giáo khoa ghi [7,5; 10] vì điểm tối đa là 10, nhóm cuối lấy cả đầu mút phải.)
Ví dụ dùng xuyên suốt bài. Một cửa hàng ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy (Bảng 3.1 trong SGK). Ta thêm cột giá trị đại diện và tần số tích lũy để dùng cho cả 4 mục bên dưới.
| Số tiền (nghìn đồng) | Giá trị đại diện $x_i$ | Số khách $m_i$ | Tần số tích lũy |
|---|---|---|---|
| [0; 30) | 15 | 3 | 3 |
| [30; 60) | 45 | 15 | 18 |
| [60; 90) | 75 | 10 | 28 |
| [90; 120) | 105 | 7 | 35 |
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\[\overline{x}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2+\dots+m_kx_k}{n},\]trong đó $x_i$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm thứ $i,$ $m_i$ là tần số của nhóm đó và $n$ là cỡ mẫu.
Hiểu đơn giản. Ta coi mọi giá trị trong một nhóm đều bằng trung điểm của nhóm, rồi tính trung bình cộng như bình thường.
Ví dụ. Tính số tiền trung bình mỗi khách mua xăng.
• Cỡ mẫu $n=3+15+10+7=35.$
• Nhân mỗi giá trị đại diện với tần số rồi cộng lại
\[3\cdot 15+15\cdot 45+10\cdot 75+7\cdot 105=2205.\]• Số trung bình $\overline{x}=\dfrac{2205}{35}=63$ (nghìn đồng).
Ý nghĩa. Số trung bình của mẫu ghép nhóm xấp xỉ số trung bình của mẫu số liệu gốc; nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu. Ở ví dụ trên, trung bình mỗi khách mua khoảng 63 nghìn đồng tiền xăng.
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Trung vị $M_e$ là giá trị đứng giữa khi xếp các số liệu tăng dần: có khoảng một nửa ($\dfrac{n}{2}$ giá trị) nhỏ hơn nó.
Cách tính trung vị
• Tính $\dfrac{n}{2}.$ Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{n}{2}.$ Giả sử đó là nhóm thứ $p$ là $[a_p;a_{p+1}).$
• Trung vị là
\[M_e=a_p+\dfrac{\frac{n}{2}-C}{m_p}\cdot h,\]trong đó
+ $a_p$ là đầu mút trái của nhóm $p,$ $m_p$ là tần số nhóm $p;$
+ $C=m_1+\dots+m_{p-1}$ là tổng tần số các nhóm đứng trước nhóm $p$ (với $p=1$ thì quy ước $C=0$);
+ $h=a_{p+1}-a_p$ là độ dài nhóm $p.$
Hiểu công thức. Xuất phát từ đầu nhóm $a_p,$ ta còn thiếu $\dfrac{n}{2}-C$ giá trị nữa mới tới giữa mẫu; nhóm $p$ có $m_p$ giá trị trải đều trên độ dài $h,$ nên phải đi thêm một đoạn bằng $\dfrac{\frac{n}{2}-C}{m_p}\cdot h.$
Ví dụ. Tính trung vị của mẫu số liệu số tiền mua xăng.
• Ta có $n=35,$ suy ra $\dfrac{n}{2}=17{,}5.$
• Tần số tích lũy là 3; 18; 28; 35. Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 17{,}5$ là nhóm [30; 60), đây là nhóm chứa trung vị.
• Với nhóm này $a_p=30,$ $C=3,$ $m_p=15,$ $h=30.$ Do đó
\[M_e=30+\dfrac{17{,}5-3}{15}\cdot 30=59.\]Ý nghĩa. Trung vị của mẫu ghép nhóm xấp xỉ trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị. Ở ví dụ trên, khoảng một nửa số khách mua dưới 59 nghìn đồng.
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Ba tứ phân vị $Q_1,$ $Q_2,$ $Q_3$ chia mẫu số liệu (đã xếp tăng dần) thành 4 phần bằng nhau: có khoảng 25%, 50%, 75% số giá trị nhỏ hơn lần lượt $Q_1,$ $Q_2,$ $Q_3.$
• Tứ phân vị thứ nhất $Q_1.$ Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \dfrac{n}{4},$ giả sử là nhóm $p$ là $[a_p;a_{p+1}).$ Khi đó
\[Q_1=a_p+\dfrac{\frac{n}{4}-C}{m_p}\cdot h.\]• Tứ phân vị thứ ba $Q_3.$ Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \dfrac{3n}{4},$ giả sử là nhóm $p$ là $[a_p;a_{p+1}).$ Khi đó
\[Q_3=a_p+\dfrac{\frac{3n}{4}-C}{m_p}\cdot h.\]• Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị $M_e.$
(Kí hiệu $a_p,$ $m_p,$ $C=m_1+\dots+m_{p-1},$ $h=a_{p+1}-a_p$ như ở mục trung vị.)
Mẹo nhớ. Ba công thức $Q_1,$ $M_e,$ $Q_3$ giống hệt nhau, chỉ khác vị trí cần tìm.
| Số cần tìm | Vị trí | Số giá trị nhỏ hơn nó |
|---|---|---|
| $Q_1$ | $\dfrac{n}{4}$ | khoảng 25% |
| $Q_2=M_e$ | $\dfrac{n}{2}$ | khoảng 50% |
| $Q_3$ | $\dfrac{3n}{4}$ | khoảng 75% |
Công thức chung là $Q=a_p+\dfrac{\text{vị trí}-C}{m_p}\cdot h.$
Ví dụ. Tìm $Q_1$ và $Q_3$ của mẫu số liệu số tiền mua xăng ($n=35$).
• Ta có $\dfrac{n}{4}=8{,}75.$ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 8{,}75$ là [30; 60) (tần số tích lũy 18). Với nhóm này $a_p=30,$ $C=3,$ $m_p=15,$ $h=30$ nên
\[Q_1=30+\dfrac{8{,}75-3}{15}\cdot 30=41{,}5.\]• Ta có $\dfrac{3n}{4}=26{,}25.$ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 26{,}25$ là [60; 90) (tần số tích lũy 28). Với nhóm này $a_p=60,$ $C=3+15=18,$ $m_p=10,$ $h=30$ nên
\[Q_3=60+\dfrac{26{,}25-18}{10}\cdot 30=84{,}75.\]Ý nghĩa. Các tứ phân vị của mẫu ghép nhóm xấp xỉ các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị. Ở ví dụ trên, khoảng 25% số khách mua dưới 41,5 nghìn đồng và khoảng 75% số khách mua dưới 84,75 nghìn đồng.
Xem bằng hình (đường tần số tích lũy). Nối các điểm (đầu mút nhóm; tần số tích lũy) là (0; 0), (30; 3), (60; 18), (90; 28), (120; 35). Kẻ các đường nằm ngang tại độ cao $\dfrac{n}{4},$ $\dfrac{n}{2},$ $\dfrac{3n}{4}$ cắt đường gấp khúc; hoành độ các giao điểm chính là $Q_1,$ $M_e,$ $Q_3.$ Công thức ở trên thực chất là tính các hoành độ này. Phần mềm GeoGebra cũng tìm tứ phân vị theo đúng cách này.
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Mốt $M_o$ là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Với mẫu ghép nhóm, mốt nằm trong nhóm có tần số lớn nhất.
Cách tìm mốt
• Tìm nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm thứ $j$ là $[a_j;a_{j+1}).$
• Tính $d_1=m_j-m_{j-1}$ và $d_2=m_j-m_{j+1}.$ Mốt được xác định bởi
\[M_o=a_j+\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\cdot h,\]trong đó
+ $m_j$ là tần số nhóm chứa mốt;
+ $m_{j-1}$ và $m_{j+1}$ là tần số của nhóm liền trước và liền sau nó (quy ước $m_0=m_{k+1}=0$ khi không có nhóm trước hoặc sau);
+ $h$ là độ dài nhóm.
(SGK viết trực tiếp $m_j-m_{j-1}$ và $m_j-m_{j+1}$ vào công thức thay cho $d_1,$ $d_2.$)
Lưu ý. Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt (khi tần số các nhóm đều bằng nhau) hoặc có nhiều hơn một mốt.
Ví dụ. Tìm mốt của mẫu số liệu số tiền mua xăng.
• Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là [30; 60). Ta có $a_j=30,$ $m_j=15,$ nhóm liền trước có $m_{j-1}=3,$ nhóm liền sau có $m_{j+1}=10,$ $h=30.$
• Suy ra $d_1=15-3=12$ và $d_2=15-10=5.$ Do đó
\[M_o=30+\dfrac{12}{12+5}\cdot 30\approx 51{,}18.\]Ý nghĩa. Mốt của mẫu ghép nhóm xấp xỉ mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Ở ví dụ trên, số tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là mức mà nhiều khách mua nhất.
Trên biểu đồ tần số dạng cột, mốt là hoành độ giao điểm của hai đoạn chéo nối đỉnh cột cao nhất với đỉnh hai cột hai bên (hình dưới).
5. Tổng kết và lỗi hay gặp
Với mẫu số tiền mua xăng ta có $\overline{x}=63,$ $M_e=59,$ $Q_1=41{,}5,$ $Q_3=84{,}75,$ $M_o\approx 51{,}18$ (nghìn đồng). Số trung bình lớn hơn trung vị vì các khách mua nhiều tiền xăng (nhóm [90; 120)) kéo số trung bình lên. Khi mẫu có vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ, trung vị phản ánh "mức giữa" tốt hơn số trung bình.
Lỗi hay gặp.
• Quên dùng giá trị đại diện (trung điểm) khi tính số trung bình, lấy nhầm đầu mút nhóm.
• Trong công thức trung vị, tứ phân vị, số $C$ chỉ gồm tần số các nhóm đứng trước nhóm $p,$ không cộng tần số của chính nhóm $p.$
• Lấy nhầm $h$ khi các nhóm có độ dài khác nhau; phải dùng độ dài của chính nhóm chứa trung vị (tứ phân vị).
• Trong công thức mốt, $m_{j-1}$ và $m_{j+1}$ là tần số của hai nhóm sát bên nhóm chứa mốt, không phải tần số tích lũy.
• Quên hiệu chỉnh nhóm dạng $k_1-k_2$ của số liệu rời rạc thành $[k_1-0{,}5;\,k_2+0{,}5).$
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 3.4 (SGK trang 67). Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau
5 3 10 20 25 11 13 7 12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16 2 7 9 7 8 3 5 12 15 18 3 12 14 2 9 6 15 15 7 6 12.
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0; 5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
Lời giải
a) Giá trị nhỏ nhất là 2, giá trị lớn nhất là 32. Các khoảng có độ rộng 5 bắt đầu từ [0; 5) nên ta cần 7 nhóm, nhóm cuối là [30; 35). Đếm số giá trị rơi vào từng nhóm và lấy trung điểm mỗi nhóm làm giá trị đại diện, ta được bảng
| Quãng đường (km) | Giá trị đại diện | Số công nhân |
|---|---|---|
| [0; 5) | 2,5 | 5 |
| [5; 10) | 7,5 | 11 |
| [10; 15) | 12,5 | 11 |
| [15; 20) | 17,5 | 9 |
| [20; 25) | 22,5 | 1 |
| [25; 30) | 27,5 | 1 |
| [30; 35) | 32,5 | 2 |
Vậy giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là 2,5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5.
b) • Mẫu không ghép nhóm. Tổng 40 giá trị là 476 nên
\[\overline{x}=\dfrac{476}{40}=11{,}9\ (\text{km}).\]• Mẫu ghép nhóm. Nhân giá trị đại diện với số công nhân rồi cộng lại
\[\begin{aligned}&5\cdot 2{,}5+11\cdot 7{,}5+11\cdot 12{,}5\\&+9\cdot 17{,}5+1\cdot 22{,}5+1\cdot 27{,}5\\&+2\cdot 32{,}5=505.\end{aligned}\]Suy ra $\overline{x}=\dfrac{505}{40}=12{,}625$ (km).
• Số trung bình của mẫu không ghép nhóm (11,9 km) là giá trị chính xác hơn, vì nó tính từ đúng từng số liệu; còn mẫu ghép nhóm coi mọi giá trị trong nhóm bằng trung điểm nên chỉ cho giá trị xấp xỉ.
c) Hai nhóm [5; 10) và [10; 15) cùng có tần số lớn nhất là 11. Vậy mẫu số liệu ghép nhóm có hai nhóm chứa mốt là [5; 10) và [10; 15).
Ghi chú. Hai nhóm chứa mốt này nằm liền nhau. Nếu dùng công thức tính mốt cho nhóm [5; 10) (với $m_{j-1}=5,$ $m_{j+1}=11$) hay cho nhóm [10; 15) (với $m_{j-1}=11,$ $m_{j+1}=9$) đều được $M_o=10,$ đúng bằng điểm nối giữa hai nhóm.
Bài 3.5 (SGK trang 67). Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau
| Tuổi thọ (năm) | Tần số |
|---|---|
| [2; 2,5) | 4 |
| [2,5; 3) | 9 |
| [3; 3,5) | 14 |
| [3,5; 4) | 11 |
| [4; 4,5) | 7 |
| [4,5; 5) | 5 |
a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.
b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.
Lời giải
a) Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là [3; 3,5). Ta có $a_j=3,$ $m_j=14,$ nhóm liền trước có $m_{j-1}=9,$ nhóm liền sau có $m_{j+1}=11,$ độ dài nhóm $h=0{,}5.$
Suy ra $d_1=14-9=5$ và $d_2=14-11=3.$ Do đó
\[M_o=3+\dfrac{5}{5+3}\cdot 0{,}5\approx 3{,}31.\]Vậy mốt $M_o\approx 3{,}31$ năm. Ý nghĩa là trong 50 bình ắc quy, tuổi thọ khoảng 3,31 năm là phổ biến nhất (nhiều bình có tuổi thọ quanh mức này nhất).
b) Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là 2,25; 2,75; 3,25; 3,75; 4,25; 4,75. Ta có
\[\begin{aligned}&4\cdot 2{,}25+9\cdot 2{,}75+14\cdot 3{,}25\\&+11\cdot 3{,}75+7\cdot 4{,}25\\&+5\cdot 4{,}75=174.\end{aligned}\]Suy ra $\overline{x}=\dfrac{174}{50}=3{,}48.$
Vậy tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy khoảng 3,48 năm.
Bài 3.6 (SGK trang 67). Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau
| Điểm | Số thí sinh | Điểm | Số thí sinh |
|---|---|---|---|
| 0-9 | 1 | 50-59 | 12 |
| 10-19 | 2 | 60-69 | 10 |
| 20-29 | 4 | 70-79 | 6 |
| 30-39 | 6 | 80-89 | 3 |
| 40-49 | 15 | 90-99 | 1 |
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.
Lời giải
a) Điểm là số nguyên nên ta hiệu chỉnh mỗi nhóm $k_1-k_2$ thành $[k_1-0{,}5;\,k_2+0{,}5).$ Ta được bảng sau (thêm cột tần số tích lũy để dùng ở câu b).
| Nhóm hiệu chỉnh | Số thí sinh | Tần số tích lũy |
|---|---|---|
| [−0,5; 9,5) | 1 | 1 |
| [9,5; 19,5) | 2 | 3 |
| [19,5; 29,5) | 4 | 7 |
| [29,5; 39,5) | 6 | 13 |
| [39,5; 49,5) | 15 | 28 |
| [49,5; 59,5) | 12 | 40 |
| [59,5; 69,5) | 10 | 50 |
| [69,5; 79,5) | 6 | 56 |
| [79,5; 89,5) | 3 | 59 |
| [89,5; 99,5) | 1 | 60 |
b) Cỡ mẫu $n=60,$ mỗi nhóm có độ dài $h=10.$
• Tứ phân vị thứ nhất. Ta có $\dfrac{n}{4}=15.$ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 15$ là [39,5; 49,5). Với nhóm này $a_p=39{,}5,$ $C=13,$ $m_p=15$ nên
\[Q_1=39{,}5+\dfrac{15-13}{15}\cdot 10\approx 40{,}83.\]• Tứ phân vị thứ hai. Ta có $\dfrac{n}{2}=30.$ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 30$ là [49,5; 59,5). Với nhóm này $a_p=49{,}5,$ $C=28,$ $m_p=12$ nên
\[Q_2=49{,}5+\dfrac{30-28}{12}\cdot 10\approx 51{,}17.\]• Tứ phân vị thứ ba. Ta có $\dfrac{3n}{4}=45.$ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 45$ là [59,5; 69,5). Với nhóm này $a_p=59{,}5,$ $C=40,$ $m_p=10$ nên
\[Q_3=59{,}5+\dfrac{45-40}{10}\cdot 10=64{,}5.\]Vậy $Q_1\approx 40{,}83,$ $Q_2\approx 51{,}17,$ $Q_3=64{,}5.$
Ý nghĩa. Có khoảng 25% thí sinh đạt dưới 40,83 điểm, khoảng 50% thí sinh đạt dưới 51,17 điểm và khoảng 75% thí sinh đạt dưới 64,5 điểm (tức là khoảng 25% thí sinh đạt từ 64,5 điểm trở lên).
Bài 3.7 (SGK trang 67). Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu sau
| Thời gian (giờ) | Số học sinh nam | Số học sinh nữ |
|---|---|---|
| [4; 5) | 6 | 4 |
| [5; 6) | 10 | 8 |
| [6; 7) | 13 | 10 |
| [7; 8) | 9 | 11 |
| [8; 9) | 7 | 8 |
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.
b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ.
Lời giải
a) Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5.
• Học sinh nam. Số học sinh nam là $6+10+13+9+7=45.$ Ta có
\[\begin{aligned}&6\cdot 4{,}5+10\cdot 5{,}5+13\cdot 6{,}5\\&+9\cdot 7{,}5+7\cdot 8{,}5=293{,}5.\end{aligned}\]Suy ra $\overline{x}_{\text{nam}}=\dfrac{293{,}5}{45}\approx 6{,}52$ (giờ).
• Học sinh nữ. Số học sinh nữ là $4+8+10+11+8=41.$ Ta có
\[\begin{aligned}&4\cdot 4{,}5+8\cdot 5{,}5+10\cdot 6{,}5\\&+11\cdot 7{,}5+8\cdot 8{,}5=277{,}5.\end{aligned}\]Suy ra $\overline{x}_{\text{nữ}}=\dfrac{277{,}5}{41}\approx 6{,}77$ (giờ).
Vậy thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ (khoảng 6,77 giờ) nhiều hơn của các bạn nam (khoảng 6,52 giờ).
b) Ý chính là có khoảng 25% học sinh ngủ ít hơn $Q_1,$ nên khoảng 75% học sinh ngủ ít nhất $Q_1$ giờ. Ta tìm $Q_1$ của mẫu gồm tất cả học sinh (cả nam và nữ).
| Thời gian (giờ) | Số học sinh (nam + nữ) | Tần số tích lũy |
|---|---|---|
| [4; 5) | 10 | 10 |
| [5; 6) | 18 | 28 |
| [6; 7) | 23 | 51 |
| [7; 8) | 20 | 71 |
| [8; 9) | 15 | 86 |
• Cỡ mẫu $n=86,$ suy ra $\dfrac{n}{4}=21{,}5.$ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 21{,}5$ là [5; 6).
• Với nhóm này $a_p=5,$ $C=10,$ $m_p=18,$ $h=1$ nên
\[Q_1=5+\dfrac{21{,}5-10}{18}\cdot 1\approx 5{,}64.\]Vậy khoảng 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất khoảng 5,64 giờ mỗi buổi tối.
C. Bài tập cuối chương III
Trắc nghiệm
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau (Bảng 3.6). Sử dụng bảng này cho các bài 3.8 đến 3.12.
| Thời gian (phút) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
|---|---|---|
| [0; 20) | 5 | 5 |
| [20; 40) | 9 | 14 |
| [40; 60) | 12 | 26 |
| [60; 80) | 10 | 36 |
| [80; 100) | 6 | 42 |
(Cột tần số tích lũy được thêm vào để giải; cỡ mẫu $n=42.$)
Bài 3.8 (SGK trang 69). Giá trị đại diện của nhóm [20; 40) là
Lời giải
Giá trị đại diện là trung điểm của nhóm $\dfrac{20+40}{2}=30.$
Chọn C
Bài 3.9 (SGK trang 69). Mẫu số liệu ghép nhóm này có số mốt là
Lời giải
Các nhóm có độ dài bằng nhau và chỉ có một nhóm có tần số lớn nhất (nhóm [40; 60) với tần số 12). Vậy mẫu số liệu có 1 mốt.
Chọn B
Bài 3.10 (SGK trang 69). Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
Lời giải
Tần số lớn nhất là 12, thuộc nhóm [40; 60). Vậy nhóm chứa mốt là [40; 60).
Chọn B
Bài 3.11 (SGK trang 69). Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
Lời giải
Ta có $n=42$ nên $\dfrac{n}{4}=10{,}5.$ Tần số tích lũy lần lượt là 5; 14; 26; … Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 10{,}5$ là [20; 40).
Chọn B
Bài 3.12 (SGK trang 69). Nhóm chứa trung vị là
Lời giải
Ta có $\dfrac{n}{2}=21.$ Tần số tích lũy lần lượt là 5; 14; 26; … Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 21$ là [40; 60).
Chọn C
Tự luận
Bài 3.13 (SGK trang 69). Cơ cấu dân số Việt Nam năm 2020 theo độ tuổi được cho trong bảng sau
| Độ tuổi | Số người (triệu) |
|---|---|
| Dưới 5 | 7,89 |
| 5-14 | 14,68 |
| 15-24 | 13,32 |
| 25-64 | 53,78 |
| Trên 65 | 7,66 |
(Theo http://ourworldindata.org)
Chọn 80 là giá trị đại diện cho nhóm trên 65 tuổi. Tính tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020.
Lời giải
Ý chính là tuổi được tính tròn năm (số nguyên) nên đây là số liệu rời rạc, các nhóm được ghi dạng $k_1-k_2.$ Theo SGK, trước khi tính ta hiệu chỉnh nhóm $k_1-k_2$ thành $[k_1-0{,}5;\,k_2+0{,}5).$
• Nhóm "Dưới 5" gồm các tuổi 0, 1, …, 4 (tức nhóm 0-4) nên hiệu chỉnh thành [−0,5; 4,5). Tương tự 5-14 thành [4,5; 14,5), 15-24 thành [14,5; 24,5), 25-64 thành [24,5; 64,5).
• Nhóm trên 65 tuổi lấy giá trị đại diện là 80 theo đề bài. Giá trị đại diện các nhóm còn lại là trung điểm của nhóm.
| Nhóm tuổi hiệu chỉnh | Giá trị đại diện | Số người (triệu) |
|---|---|---|
| [−0,5; 4,5) | 2 | 7,89 |
| [4,5; 14,5) | 9,5 | 14,68 |
| [14,5; 24,5) | 19,5 | 13,32 |
| [24,5; 64,5) | 44,5 | 53,78 |
| Trên 65 | 80 | 7,66 |
• Tổng số người là $n=7{,}89+14{,}68+13{,}32$ $+53{,}78+7{,}66$ $=97{,}33$ (triệu người).
• Nhân giá trị đại diện với số người rồi cộng lại
\[\begin{aligned}&7{,}89\cdot 2+14{,}68\cdot 9{,}5+13{,}32\cdot 19{,}5\\&+53{,}78\cdot 44{,}5+7{,}66\cdot 80=3420{,}99.\end{aligned}\]• Suy ra $\overline{x}=\dfrac{3420{,}99}{97{,}33}\approx 35{,}15.$
Vậy tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020 khoảng 35,15 tuổi.
Ghi chú. Nếu không hiệu chỉnh mà hiểu các nhóm là [0; 5), [5; 15), [15; 25), [25; 65) (giá trị đại diện 2,5; 10; 20; 45) thì được tuổi trung bình khoảng 35,61 tuổi. Hai kết quả đều là giá trị xấp xỉ; lời giải trên làm đúng theo quy ước hiệu chỉnh nhóm $k_1-k_2$ của SGK.
Bài 3.14 (SGK trang 69). Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau
| Tuổi thọ (ngày) | Số lượng |
|---|---|
| [0; 20) | 5 |
| [20; 40) | 12 |
| [40; 60) | 23 |
| [60; 80) | 31 |
| [80; 100) | 29 |
Tìm mốt của mẫu số liệu. Giải thích ý nghĩa của giá trị nhận được.
Lời giải
• Tần số lớn nhất là 31 nên nhóm chứa mốt là [60; 80).
• Ta có $a_j=60,$ $m_j=31,$ nhóm liền trước có $m_{j-1}=23,$ nhóm liền sau có $m_{j+1}=29,$ độ dài nhóm $h=20.$
• Suy ra $d_1=31-23=8$ và $d_2=31-29=2.$ Do đó
\[M_o=60+\dfrac{8}{8+2}\cdot 20=76.\]Vậy mốt $M_o=76$ ngày. Ý nghĩa là trong số ong được khảo sát, tuổi thọ khoảng 76 ngày là phổ biến nhất (có nhiều con ong sống khoảng 76 ngày nhất).
Bài 3.15 (SGK trang 69). Một bảng xếp hạng đã tính điểm chuẩn hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau
| Điểm | Số trường |
|---|---|
| Dưới 20 | 4 |
| [20; 30) | 19 |
| [30; 40) | 6 |
| [40; 60) | 2 |
| [60; 80) | 3 |
| [80; 100) | 1 |
Xác định điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam.
Lời giải
Ý chính là 25% trường tốt nhất là các trường có điểm từ $Q_3$ trở lên (vì khoảng 75% số trường có điểm nhỏ hơn $Q_3$). Vậy điểm ngưỡng cần tìm là tứ phân vị thứ ba $Q_3.$
• Cỡ mẫu $n=4+19+6+2+3+1=35,$ suy ra $\dfrac{3n}{4}=26{,}25.$
• Tần số tích lũy lần lượt là 4; 23; 29; 31; 34; 35. Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 26{,}25$ là [30; 40).
• Với nhóm này $a_p=30,$ $C=4+19=23,$ $m_p=6,$ độ dài nhóm $h=40-30=10.$ Do đó
\[Q_3=30+\dfrac{26{,}25-23}{6}\cdot 10\approx 35{,}42.\]Vậy điểm ngưỡng khoảng 35,42; các trường có điểm chỉ số nghiên cứu từ khoảng 35,42 trở lên thuộc danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất.
Bình luận
Viết bình luận của bạn