Bài học Phương sai và độ lệch chuẩn (Toán 12, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương III) giúp các em tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và dùng chúng để so sánh độ ổn định, độ rủi ro. Bài đăng gồm cả phần Bài tập cuối chương III. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Mỗi nhóm $[a_i;a_{i+1})$ được thay bằng giá trị đại diện là trung điểm $x_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2},$ với tần số $m_i.$ Cỡ mẫu $n=m_1+\ldots+m_k,$ số trung bình $\overline{x}=\dfrac{m_1x_1+\ldots+m_kx_k}{n}.$
• Phương sai
\[\begin{aligned}s^2=\frac{1}{n}\big[&m_1(x_1-\overline{x})^2\\&+\ldots+m_k(x_k-\overline{x})^2\big].\end{aligned}\]• Công thức tính nhanh (hay dùng khi bấm máy)
\[s^2=\frac{m_1x_1^2+\ldots+m_kx_k^2}{n}-\overline{x}^{\,2}.\]• Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}.$
Ý nghĩa. Phương sai, độ lệch chuẩn đo mức độ các số liệu tản ra xa số trung bình. Càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định, rủi ro cao hơn). Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu.
Chú ý.
• Giá trị tính từ mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc.
• Không nên dùng phương sai, độ lệch chuẩn để so sánh hai mẫu có số trung bình chênh lệch rất nhiều hoặc khác đơn vị đo (khi đó người ta dùng hệ số biến thiên $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}).$
Mẹo bấm máy tính. Dùng chế độ thống kê (STAT) nhập cột giá trị đại diện và cột tần số, máy cho ngay $\overline{x}$ và độ lệch chuẩn (kí hiệu $\sigma x$ trên máy).
Ví dụ. Thời gian tự học mỗi tuần của 40 học sinh như sau.
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
|---|---|---|
| $[0;2)$ | 1 | 4 |
| $[2;4)$ | 3 | 10 |
| $[4;6)$ | 5 | 14 |
| $[6;8)$ | 7 | 8 |
| $[8;10)$ | 9 | 4 |
• Ta có $4\cdot 1+10\cdot 3+14\cdot 5$ $+8\cdot 7+4\cdot 9=196,$ nên số trung bình $\overline{x}=\dfrac{196}{40}=4{,}9$ (giờ).
• Ta có $4\cdot 1^2+10\cdot 3^2+14\cdot 5^2$ $+8\cdot 7^2+4\cdot 9^2=1160,$ nên
\[s^2=\frac{1160}{40}-4{,}9^2=29-24{,}01=4{,}99.\]• Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{4{,}99}\approx 2{,}23$ (giờ).
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 3.4 (SGK trang 84). Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:
49,5 51,1 50,8 50,2 48,7 49,6 51,3 51,4 50,1 50,5
48,9 49,3 50,7 48,8 49,8 48,8 51,2 50,4 50,0 51,2
51,4 48,7 51,2 50,6 50,9 49,2 50,7 51,1 48,6 49,6.
a) Hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm $[48{,}5;49),$ $[49;49{,}5),$ $[49{,}5;50),$ $[50;50{,}5),$ $[50{,}5;51),$ $[51;51{,}5).$
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Lời giải
a) Đếm số bao trong từng nhóm, ta được
| Nhóm số liệu | Số bao xi măng |
|---|---|
| $[48{,}5;49{,}0)$ | 6 |
| $[49{,}0;49{,}5)$ | 2 |
| $[49{,}5;50{,}0)$ | 4 |
| $[50{,}0;50{,}5)$ | 4 |
| $[50{,}5;51{,}0)$ | 6 |
| $[51{,}0;51{,}5)$ | 8 |
b) • Mẫu số liệu gốc. Bấm máy tính với 30 số liệu, ta được $\overline{x}\approx 50{,}14,$ phương sai $s^2\approx 0{,}87,$ độ lệch chuẩn $s\approx 0{,}93$ (kg).
• Mẫu ghép nhóm. Giá trị đại diện là 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25. Ta có $\overline{x}=\dfrac{1505{,}5}{30}\approx 50{,}18$ và
\[s^2=\frac{75576{,}875}{30}-\overline{x}^{\,2}\approx 0{,}86;\] \[s\approx 0{,}93.\]Giá trị tính từ mẫu số liệu gốc là chính xác; giá trị tính từ mẫu ghép nhóm là xấp xỉ.
Bài 3.5 (SGK trang 84). Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:
| Tuổi thọ (năm) | Phân xưởng 1 | Phân xưởng 2 |
|---|---|---|
| $[1{,}5;2{,}0)$ | 4 | 2 |
| $[2{,}0;2{,}5)$ | 9 | 8 |
| $[2{,}5;3{,}0)$ | 13 | 20 |
| $[3{,}0;3{,}5)$ | 8 | 7 |
| $[3{,}5;4{,}0)$ | 6 | 3 |
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.
Lời giải
Giá trị đại diện các nhóm là 1,75; 2,25; 2,75; 3,25; 3,75. Mỗi phân xưởng có 40 linh kiện.
• Phân xưởng 1. $\overline{x}_1=\dfrac{111{,}5}{40}=2{,}7875$ và
\[s_1^2=\frac{325}{40}-2{,}7875^2\approx 0{,}355;\] \[s_1\approx 0{,}60.\]• Phân xưởng 2. $\overline{x}_2=\dfrac{110{,}5}{40}=2{,}7625$ và
\[s_2^2=\frac{314}{40}-2{,}7625^2\approx 0{,}219;\] \[s_2\approx 0{,}47.\]Tuổi thọ trung bình hai phân xưởng gần bằng nhau, nhưng $s_2\lt s_1$ nên tuổi thọ linh kiện của phân xưởng 2 ít phân tán hơn, tức là đồng đều hơn.
Bài 3.6 (SGK trang 84). Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:
| Kết quả đo (μm) | Số học sinh |
|---|---|
| $[4{,}5;5{,}0)$ | 3 |
| $[5{,}0;5{,}5)$ | 8 |
| $[5{,}5;6{,}0)$ | 7 |
| $[6{,}0;6{,}5)$ | 2 |
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?
Lời giải
a) Giá trị đại diện là 4,75; 5,25; 5,75; 6,25. Ta có $\overline{x}=\dfrac{109}{20}=5{,}45$ (μm) và
\[s^2=\frac{597{,}75}{20}-5{,}45^2=0{,}185;\] \[s\approx 0{,}43.\]b) Số trung bình 5,45 μm là giá trị ước lượng cho đường kính nhân tế bào. Độ lệch chuẩn khoảng 0,43 μm cho biết các kết quả đo thường lệch khỏi giá trị trung bình khoảng 0,43 μm, tức là mức độ sai lệch giữa các lần đo.
Bài 3.7 (SGK trang 84). Thời gian chạy tập luyện cự li 100 mét của hai vận động viên A và B được cho trong bảng sau:
| Thời gian (giây) | Số lần chạy của A | Số lần chạy của B |
|---|---|---|
| $[10{,}0;10{,}3)$ | 2 | 3 |
| $[10{,}3;10{,}6)$ | 10 | 7 |
| $[10{,}6;10{,}9)$ | 5 | 9 |
| $[10{,}9;11{,}2)$ | 3 | 6 |
Dựa trên độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.
Lời giải
Giá trị đại diện là 10,15; 10,45; 10,75; 11,05.
• Vận động viên A (20 lần chạy). $\overline{x}_A=\dfrac{211{,}7}{20}=10{,}585$ và $s_A^2=\dfrac{2242{,}19}{20}-10{,}585^2\approx 0{,}067,$ nên $s_A\approx 0{,}26.$
• Vận động viên B (25 lần chạy). $\overline{x}_B=\dfrac{266{,}65}{25}=10{,}666$ và $s_B^2=\dfrac{2846{,}1625}{25}-10{,}666^2\approx 0{,}083,$ nên $s_B\approx 0{,}29.$
Vì $s_A\lt s_B$ nên vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn.
Bài 3.8 (SGK trang 84). Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?
a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.
Lời giải
a) Nên dùng. Hai mẫu cùng đơn vị (điểm), hai trường chất lượng tương đương nên điểm trung bình gần nhau; khi đó so sánh phương sai, độ lệch chuẩn là hợp lí.
b) Không nên dùng. Doanh thu trung bình của siêu thị lớn hơn rất nhiều so với cửa hàng bán lẻ, nên độ lệch chuẩn của siêu thị lớn chủ yếu do quy mô lớn, không phản ánh đúng mức độ phân tán.
C. Bài tập cuối chương III
Phần trắc nghiệm
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi từ 3.9 đến 3.13 (SGK trang 85). Một vườn thú ghi lại tuổi thọ của 20 con hổ và thu được kết quả như sau.
| Tuổi thọ (năm) | Số con hổ |
|---|---|
| $[14;15)$ | 1 |
| $[15;16)$ | 3 |
| $[16;17)$ | 8 |
| $[17;18)$ | 6 |
| $[18;19)$ | 2 |
Tần số tích lũy lần lượt là 1, 4, 12, 18, 20; $\dfrac{n}{4}=5$ và $\dfrac{3n}{4}=15.$
Bài 3.9 (SGK trang 85). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Lời giải
$R=19-14=5.$
Chọn C
Bài 3.10 (SGK trang 85). Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
Lời giải
Ta có $4\lt 5\le 12$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[16;17).$
Chọn C
Bài 3.11 (SGK trang 85). Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là
Lời giải
Ta có $12\lt 15\le 18$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[17;18).$
Chọn C
Bài 3.12 (SGK trang 85). Số đặc trưng nào không sử dụng thông tin của nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối cùng?
Lời giải
Khoảng tứ phân vị chỉ dùng $Q_1,$ $Q_3,$ ở đây nằm trong nhóm $[16;17)$ và $[17;18).$ Khoảng biến thiên dùng hai đầu mút của nhóm đầu, nhóm cuối; phương sai và độ lệch chuẩn dùng tất cả các nhóm.
Chọn B
Bài 3.13 (SGK trang 85). Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 4 thì số đặc trưng nào sau đây không thay đổi?
Lời giải
Các nhóm không đổi, nhóm đầu và nhóm cuối vẫn có tần số khác 0, nên $R=19-14=5$ không đổi. Các số đặc trưng còn lại phụ thuộc vào tần số nên thay đổi (chẳng hạn $\Delta_Q$ đổi từ khoảng 1,38 thành 2,5).
Chọn A
Phần tự luận
Bài 3.14 (SGK trang 86). Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau:
| Thời gian (giờ) | Số điện thoại |
|---|---|
| $[5{,}0;5{,}5)$ | 2 |
| $[5{,}5;6{,}0)$ | 8 |
| $[6{,}0;6{,}5)$ | 15 |
| $[6{,}5;7{,}0)$ | 10 |
| $[7{,}0;7{,}5)$ | 5 |
Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
Cỡ mẫu $n=40,$ tần số tích lũy 2, 10, 25, 35, 40.
• Khoảng biến thiên $R=7{,}5-5=2{,}5$ (giờ).
• $\dfrac{n}{4}=10$ và $2\lt 10\le 10,$ nên $Q_1=5{,}5+\dfrac{10-2}{8}\cdot 0{,}5=6.$ $\dfrac{3n}{4}=30$ và $25\lt 30\le 35,$ nên $Q_3=6{,}5+\dfrac{30-25}{10}\cdot 0{,}5=6{,}75.$ Do đó $\Delta_Q=0{,}75$ (giờ).
• Giá trị đại diện 5,25; 5,75; 6,25; 6,75; 7,25. Ta có $\overline{x}=\dfrac{254}{40}=6{,}35$ và
\[s^2=\frac{1624}{40}-6{,}35^2=0{,}2775;\] \[s\approx 0{,}53\ \text{(giờ)}.\]Bài 3.15 (SGK trang 86). Người ta ghi lại tiền lãi của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A và B cho kết quả như sau:
| Tiền lãi (triệu đồng) | Lĩnh vực A | Lĩnh vực B |
|---|---|---|
| $[5;10)$ | 2 | 8 |
| $[10;15)$ | 5 | 4 |
| $[15;20)$ | 8 | 2 |
| $[20;25)$ | 6 | 5 |
| $[25;30)$ | 4 | 6 |
a) Về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực nào đem lại tiền lãi cao hơn?
b) Tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này và giải thích ý nghĩa của các số thu được.
Lời giải
Giá trị đại diện là 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; mỗi lĩnh vực có 25 nhà đầu tư.
a) $\overline{x}_A=\dfrac{462{,}5}{25}=18{,}5$ và $\overline{x}_B=\dfrac{422{,}5}{25}=16{,}9$ (triệu đồng). Vậy về trung bình, lĩnh vực A đem lại tiền lãi cao hơn.
b) Ta có
\[s_A^2=\frac{9406{,}25}{25}-18{,}5^2=34;\] \[s_A\approx 5{,}83.\] \[s_B^2=\frac{8756{,}25}{25}-16{,}9^2=64{,}64;\] \[s_B\approx 8{,}04.\]Độ lệch chuẩn của lĩnh vực B lớn hơn, tức là tiền lãi ở B dao động mạnh hơn: đầu tư vào B rủi ro hơn. Lĩnh vực A vừa lãi trung bình cao hơn vừa ổn định hơn.
Bài 3.16 (SGK trang 86). Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:
| Mức xà (cm) | Số vận động viên |
|---|---|
| $[170;172)$ | 3 |
| $[172;174)$ | 10 |
| $[174;176)$ | 6 |
| $[176;178)$ | 1 |
a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?
Lời giải
a) Cỡ mẫu $n=20,$ tần số tích lũy 3, 13, 19, 20.
• Khoảng biến thiên $R=178-170=8$ (cm).
• $Q_1=172+\dfrac{5-3}{10}\cdot 2=172{,}4$ và $Q_3=174+\dfrac{15-13}{6}\cdot 2\approx 174{,}67,$ nên $\Delta_Q\approx 2{,}27$ (cm).
• Giá trị đại diện 171; 173; 175; 177. Ta có $\overline{x}=\dfrac{3470}{20}=173{,}5$ và
\[s^2=\frac{602092}{20}-173{,}5^2=2{,}35;\] \[s\approx 1{,}53\ \text{(cm)}.\]b) Các số đặc trưng đo độ phân tán khá nhỏ so với mức xà (độ lệch chuẩn chỉ khoảng 1,5 cm), cho thấy thành tích của các vận động viên khá đồng đều, chênh lệch giữa các vận động viên không nhiều.
Bài 3.17 (SGK trang 86). Trong bài thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo 10 lần cho kết quả như sau:
| Hiệu điện thế (V) | Số lần An đo | Số lần Bình đo |
|---|---|---|
| $[3{,}85;3{,}90)$ | 1 | 1 |
| $[3{,}90;3{,}95)$ | 6 | 3 |
| $[3{,}95;4{,}00)$ | 2 | 4 |
| $[4{,}00;4{,}05)$ | 1 | 2 |
Tính độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả đo của An và Bình. Từ đó kết luận xem vôn kế của bạn nào cho kết quả đo ổn định hơn.
Lời giải
Giá trị đại diện là 3,875; 3,925; 3,975; 4,025.
• An. $\overline{x}=\dfrac{39{,}4}{10}=3{,}94$ và $s^2=\dfrac{155{,}25125}{10}-3{,}94^2$ $=0{,}001525,$ nên $s\approx 0{,}039$ (V).
• Bình. $\overline{x}=\dfrac{39{,}6}{10}=3{,}96$ và $s^2=\dfrac{156{,}83625}{10}-3{,}96^2$ $=0{,}002025,$ nên $s=0{,}045$ (V).
Độ lệch chuẩn của An nhỏ hơn, nên vôn kế của An cho kết quả đo ổn định hơn.
Bình luận
Viết bình luận của bạn