Bài học Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Toán 12, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I) hướng dẫn sơ đồ khảo sát hàm số và cách vẽ đồ thị hàm bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ, kèm hình vẽ minh họa từng bài. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Khảo sát hàm số $y=f(x)$ là tìm hiểu đầy đủ hàm số đó: xác định ở đâu, tăng giảm thế nào, có cực trị, tiệm cận không, rồi vẽ đồ thị. Ta làm theo ba phần.
• Tập xác định của hàm số.
• Sự biến thiên
+ Tính $y',$ tìm các điểm mà $y'=0$ hoặc $y'$ không tồn tại.
+ Xét dấu $y'$ để chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến; tìm cực trị.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
• Đồ thị: vẽ dựa vào bảng biến thiên.
Mẹo vẽ đồ thị cho đẹp.
• Đánh dấu trước các điểm cực trị, giao điểm với trục tung (cho $x=0),$ giao điểm với trục hoành (giải $y=0,$ nếu dễ giải).
• Với hàm phân thức, kẻ các đường tiệm cận bằng nét đứt trước, rồi vẽ đồ thị bám dần vào chúng.
• Chú ý tính đối xứng: đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng; đồ thị hàm phân thức nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. Hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a\ne 0)$
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2+2.$
Tập xác định là $\mathbb{R}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=3x^2-6x$ và $y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2.$
Lại có $y(0)=2,$ $y(2)=-2;$ $\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty,$ $\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty.$ Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty),$ nghịch biến trên khoảng $(0;2).$ Hàm số đạt cực đại tại $x=0,$ $y_{\text{CĐ}}=2;$ đạt cực tiểu tại $x=2,$ $y_{\text{CT}}=-2.$
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2).$ Ta có $y=0\Leftrightarrow(x-1)(x^2-2x-2)=0$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=1\pm\sqrt{3},$ nên đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ $1-\sqrt{3},$ $1,$ $1+\sqrt{3}.$
Ta có $y''=6x-6=0\Leftrightarrow x=1,$ nên đồ thị có tâm đối xứng là điểm $I(1;0).$
Ghi nhớ về đồ thị hàm bậc ba.
• Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của $y''=0,$ tức là $x=-\dfrac{b}{3a}.$
• Không có tiệm cận.
• Có bốn dạng, tùy dấu của $a$ và số nghiệm của $y'=0$ (hai nghiệm thì có hai cực trị; vô nghiệm hoặc nghiệm kép thì không có cực trị).
Mẹo nhớ. Với $a\gt 0,$ nhìn từ trái sang phải, đồ thị đi từ dưới lên ("đuôi phải chổng lên"); với $a\lt 0$ thì ngược lại.
3. Hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ $(c\ne 0,\ ad-bc\ne 0)$
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}.$
Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}\gt 0$ với mọi $x\ne -1.$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty),$ không có cực trị.
Tiệm cận: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1;$ $\lim\limits_{x\to -1^+}y=-\infty$ (tử dần tới $-2,$ mẫu dần tới 0 và dương) nên tiệm cận đứng là $x=-1.$ Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1),$ cắt trục hoành tại $(1;0),$ nhận giao điểm $I(-1;1)$ của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ghi nhớ về đồ thị hàm $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}.$
• $y'$ luôn dương hoặc luôn âm trên từng khoảng xác định, nên hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c},$ tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}.$
• Đồ thị gồm hai nhánh, nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
4. Hàm số $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}$ (tử không chia hết cho mẫu)
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}.$
Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$ Chia tử cho mẫu, ta viết $y=x+\dfrac{1}{x+1}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ và $y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-2.$ Lại có $y(-2)=-3,$ $y(0)=1.$
Tiệm cận: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}(y-x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x;$ $\lim\limits_{x\to -1^+}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1.$ Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại $x=-2,$ $y_{\text{CĐ}}=-3;$ đạt cực tiểu tại $x=0,$ $y_{\text{CT}}=1.$
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1),$ không cắt trục hoành (vì $x^2+x+1\gt 0),$ nhận giao điểm $I(-1;-1)$ của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ghi nhớ về đồ thị hàm $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}.$
• Chia tử cho mẫu để viết $y=mx+n+\dfrac{k}{px+q};$ khi đó tiệm cận xiên là $y=mx+n,$ tiệm cận đứng là $x=-\dfrac{q}{p}.$
• Hàm số có hai cực trị hoặc không có cực trị.
• Đồ thị nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.21 (SGK trang 32). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=-x^3+3x+1;$
b) $y=x^3+3x^2-x-1.$
Lời giải
a) Tập xác định là $\mathbb{R}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=-3x^2+3$ và $y'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1.$ Lại có $y(-1)=-1,$ $y(1)=3.$
Vì $a=-1\lt 0$ nên $\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty,$ $\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty.$ Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty),$ đồng biến trên khoảng $(-1;1).$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,$ $y_{\text{CT}}=-1;$ đạt cực đại tại $x=1,$ $y_{\text{CĐ}}=3.$
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1).$ Ta có $y''=-6x=0\Leftrightarrow x=0,$ nên tâm đối xứng của đồ thị là điểm $(0;1).$
b) Tập xác định là $\mathbb{R}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=3x^2+6x-1$ và $y'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm 2\sqrt{3}}{3}.$ Đặt $x_1=\dfrac{-3-2\sqrt{3}}{3}\approx -2{,}15$ và $x_2=\dfrac{-3+2\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}15.$
Thay vào hàm số (bấm máy tính) ta được
\[y(x_1)=\frac{18+16\sqrt{3}}{9}\approx 5{,}08;\] \[y(x_2)=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}\approx -1{,}08.\]Vì $a=1\gt 0$ nên $\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty,$ $\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty.$ Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;x_1)$ và $(x_2;+\infty),$ nghịch biến trên khoảng $(x_1;x_2).$ Hàm số đạt cực đại tại $x=x_1,$ $y_{\text{CĐ}}\approx 5{,}08;$ đạt cực tiểu tại $x=x_2,$ $y_{\text{CT}}\approx -1{,}08.$
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1).$ Ta có $y''=6x+6=0\Leftrightarrow x=-1$ và $y(-1)=2,$ nên tâm đối xứng của đồ thị là điểm $I(-1;2).$
Bài 1.22 (SGK trang 32). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=\dfrac{2x+1}{x+1};$
b) $y=\dfrac{x+3}{1-x}.$
Lời giải
a) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=\dfrac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2}$ $=\dfrac{1}{(x+1)^2}\gt 0$ với mọi $x\ne -1.$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty),$ không có cực trị.
Tiệm cận: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2.$ Khi $x\to -1^+$ thì tử dần tới $-1,$ mẫu dần tới 0 và dương, nên $y\to-\infty;$ do đó tiệm cận đứng là $x=-1.$ Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1),$ cắt trục hoành tại $\left(-\dfrac{1}{2};0\right),$ nhận điểm $I(-1;2)$ làm tâm đối xứng.
b) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=\dfrac{(1-x)+(x+3)}{(1-x)^2}$ $=\dfrac{4}{(1-x)^2}\gt 0$ với mọi $x\ne 1.$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty),$ không có cực trị.
Tiệm cận: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+3}{1-x}=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1.$ Khi $x\to 1^-$ thì tử dần tới 4, mẫu $1-x$ dần tới 0 và dương, nên $y\to+\infty;$ do đó tiệm cận đứng là $x=1.$ Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;3),$ cắt trục hoành tại $(-3;0),$ nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.
Bài 1.23 (SGK trang 32). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=\dfrac{2x^2-x+4}{x-1};$
b) $y=\dfrac{x^2+2x+1}{x+3}.$
Lời giải
a) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}.$ Chia tử cho mẫu, ta có $2x^2-x+4=(x-1)(2x+1)+5,$ nên $y=2x+1+\dfrac{5}{x-1}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=2-\dfrac{5}{(x-1)^2},$ nên $y'=0\Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{5}{2}$ $\Leftrightarrow x-1=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$
Đặt $x_1=1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}\approx -0{,}58$ và $x_2=1+\dfrac{\sqrt{10}}{2}\approx 2{,}58.$
+ Tại $x_2$ thì $x-1=\dfrac{\sqrt{10}}{2},$ nên $y=2(x-1)+3+\dfrac{5}{x-1}$ $=\sqrt{10}+3+\sqrt{10}$ $=3+2\sqrt{10}.$
+ Tại $x_1$ thì $x-1=-\dfrac{\sqrt{10}}{2},$ tương tự $y=3-2\sqrt{10}.$
Tiệm cận: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x+1)\right]$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1;$ $\lim\limits_{x\to 1^+}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1.$ Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại $x=x_1,$ $y_{\text{CĐ}}=3-2\sqrt{10}\approx -3{,}32;$ đạt cực tiểu tại $x=x_2,$ $y_{\text{CT}}=3+2\sqrt{10}\approx 9{,}32.$
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-4);$ không cắt trục hoành (vì $2x^2-x+4=0$ vô nghiệm); nhận giao điểm $I(1;3)$ của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-3\}.$ Chia tử cho mẫu, ta có $x^2+2x+1=(x+3)(x-1)+4,$ nên $y=x-1+\dfrac{4}{x+3}.$
• Sự biến thiên
Ta có $y'=1-\dfrac{4}{(x+3)^2},$ nên $y'=0\Leftrightarrow(x+3)^2=4$ $\Leftrightarrow x=-5$ hoặc $x=-1.$ Lại có $y(-5)=-8,$ $y(-1)=0.$
Tiệm cận: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x+3}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1;$ $\lim\limits_{x\to -3^+}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-3.$ Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-5)$ và $(-1;+\infty),$ nghịch biến trên các khoảng $(-5;-3)$ và $(-3;-1).$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-5,$ $y_{\text{CĐ}}=-8;$ đạt cực tiểu tại $x=-1,$ $y_{\text{CT}}=0.$
• Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại $\left(0;\dfrac{1}{3}\right),$ tiếp xúc với trục hoành tại $(-1;0),$ nhận giao điểm $I(-3;-4)$ của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài 1.24 (SGK trang 32). Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.
a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn $x$ (ml) từ bình chứa, kí hiệu là $C(x).$
b) Coi $C(x)$ là hàm số xác định với $x\ge 0.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.
Lời giải
a) Lượng KOH ban đầu trong cốc là $30\cdot 100=3000$ (mg). Trộn thêm $x$ ml dung dịch nồng độ 8 mg/ml thì thêm $8x$ (mg) KOH. Thể tích dung dịch lúc này là $30+x$ (ml). Do đó
\[C(x)=\frac{3000+8x}{30+x}\ \text{(mg/ml)}.\]b) Xét hàm số trên $[0;+\infty).$
Ta có
\[\begin{aligned}C'(x)&=\frac{8(30+x)-(3000+8x)}{(30+x)^2}\\&=\frac{-2760}{(30+x)^2}\lt 0,\end{aligned}\]nên hàm số nghịch biến trên $[0;+\infty).$
Lại có $C(0)=100$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}C(x)=8,$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=8.$ Bảng biến thiên
Đồ thị đi qua điểm $(0;100),$ đi xuống và bám dần vào đường thẳng $y=8.$
c) Vì $C'(x)\lt 0$ nên nồng độ giảm khi $x$ tăng. Mặt khác, viết $C(x)=8+\dfrac{2760}{30+x},$ ta thấy $C(x)\gt 8$ với mọi $x\ge 0.$
Ý nghĩa: càng trộn thêm dung dịch loãng (8 mg/ml) thì nồng độ trong cốc càng giảm, nhưng không bao giờ loãng bằng hoặc loãng hơn dung dịch được trộn vào; nồng độ chỉ dần tới 8 mg/ml.
Bài 1.25 (SGK trang 32). Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương $R$ của mạch điện được tính theo công thức $R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở. Nếu biến trở đó được kí hiệu là $x$ (Ω) thì điện trở tương đương $R$ là hàm số của $x.$ Vẽ đồ thị của hàm số $y=R(x),$ $x\gt 0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi $x$ tăng?
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω?
Lời giải
Với $R_1=8,$ $R_2=x$ ta có $R(x)=\dfrac{8x}{8+x},$ $x\gt 0.$
• Khảo sát và vẽ đồ thị
Ta có $R'(x)=\dfrac{8(8+x)-8x}{(8+x)^2}$ $=\dfrac{64}{(8+x)^2}\gt 0,$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty).$
Lại có $\lim\limits_{x\to 0^+}R(x)=0$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}R(x)=8,$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=8.$ Bảng biến thiên
a) Đồ thị đi lên, tức là khi $x$ tăng thì điện trở tương đương $R$ cũng tăng.
b) Đồ thị luôn nằm dưới đường tiệm cận $y=8.$ Thật vậy, $R(x)=8-\dfrac{64}{8+x}\lt 8$ với mọi $x\gt 0.$ Vậy điện trở tương đương không bao giờ vượt quá 8 Ω, chỉ dần tới 8 Ω khi biến trở rất lớn.
Bình luận
Viết bình luận của bạn