Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn – Toán 12 Kết nối tri thức (lời giải chi tiết, bài tập cuối chương I)

Lời giải

a) Vận tốc là $v(t)=y'(t)=3t^2-12$ (m/s), gia tốc là $a(t)=v'(t)=6t$ (m/s²).

b) Hạt chuyển động lên trên khi $v(t)\gt 0,$ tức là $3t^2-12\gt 0\Leftrightarrow t\gt 2.$ Hạt chuyển động xuống dưới khi $v(t)\lt 0,$ tức là $0\le t\lt 2.$

c) Trong $0\le t\le 2$ hạt đi xuống, trong $2\le t\le 3$ hạt đi lên, nên phải tính quãng đường từng giai đoạn. Ta có $y(0)=3,$ $y(2)=-13,$ $y(3)=-6.$

+ Từ $t=0$ đến $t=2,$ hạt đi xuống được $3-(-13)=16$ (m).

+ Từ $t=2$ đến $t=3,$ hạt đi lên được $-6-(-13)=7$ (m).

Vậy quãng đường hạt đi được là $16+7=23$ (m).

d) Hạt tăng tốc khi độ lớn vận tốc tăng, tức là $v$ và $a$ cùng dấu; giảm tốc khi $v$ và $a$ trái dấu. Với $t\gt 0$ thì $a(t)=6t\gt 0.$

• Khi $0\lt t\lt 2$ thì $v\lt 0,$ $a\gt 0$ (trái dấu), nên hạt giảm tốc.

• Khi $t\gt 2$ thì $v\gt 0,$ $a\gt 0$ (cùng dấu), nên hạt tăng tốc.

Lời giải

a) Hàm chi phí biên là $C'(x)=50-x+0{,}00525x^2.$

b) Ta có $C'(100)=50-100+52{,}5$ $=2{,}5$ (trăm nghìn đồng), tức là 250 nghìn đồng. Nghĩa là khi đã sản xuất 100 đơn vị thì chi phí để sản xuất thêm đơn vị thứ 101 khoảng 250 nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị thứ 101 là

\[\begin{aligned}&C(101)-C(100)\\&=24752{,}52675-24750\\&=2{,}52675,\end{aligned}\]

tức là khoảng 252,7 nghìn đồng, xấp xỉ với $C'(100)=2{,}5$ (250 nghìn đồng).

Lời giải

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá thuê mỗi căn hộ, $x\ge 8.$

+ Giá tăng thêm $x-8$ (triệu đồng), mỗi 0,1 triệu đồng có thêm một căn bỏ trống, nên số căn bỏ trống là $\dfrac{x-8}{0{,}1}=10x-80.$

+ Số căn được thuê là $100-(10x-80)=180-10x.$ Cần $180-10x\ge 0$ nên $8\le x\le 18.$

Doanh thu mỗi tháng là $R(x)=x(180-10x)$ $=-10x^2+180x$ (triệu đồng).

Ta có $R'(x)=-20x+180$ và $R'(x)=0\Leftrightarrow x=9.$ Lại có $R(8)=800,$ $R(9)=810,$ $R(18)=0.$ Bảng biến thiên

Vậy nên đặt giá thuê 9 triệu đồng mỗi tháng (khi đó có 90 căn được thuê), doanh thu lớn nhất là 810 triệu đồng mỗi tháng.

Lời giải

a) Từ $p=\dfrac{354}{1+0{,}01x}$ ta có $1+0{,}01x=\dfrac{354}{p},$ suy ra

\[x(p)=\frac{35400}{p}-100.\]

Vì $x\ge 0$ nên $\dfrac{35400}{p}\ge 100,$ tức là $0\lt p\le 354.$ Tập xác định là $(0;354].$

Khi $p=240$ thì $x=\dfrac{35400}{240}-100=47{,}5,$ tức là bán được khoảng 47,5 đơn vị sản phẩm.

b) Ta có $x'(p)=-\dfrac{35400}{p^2}\lt 0$ với mọi $p\in(0;354],$ nên hàm số nghịch biến. Lại có $x(354)=0$ và $\lim\limits_{p\to 0^+}x(p)=+\infty.$ Bảng biến thiên

• Khi giá bán $p$ tăng thì số sản phẩm bán được giảm; khi giá bằng 354 nghìn đồng thì không bán được sản phẩm nào.

• $\lim\limits_{p\to 0^+}x(p)=+\infty$ nghĩa là khi giá bán càng gần 0 (gần như cho không) thì số sản phẩm bán được càng lớn, không có giới hạn.

Lời giải

B đúng theo định lí về dấu của đạo hàm. Các phương án khác sai.

• A và C sai: hàm hằng $y=1$ có $y'=0\ge 0$ nhưng không đồng biến.

• D sai: $y=x^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nhưng $y'(0)=0.$

Chọn B

Lời giải

Với A, $y'=-3x^2+6x-9$ $=-3\left[(x-1)^2+2\right]\lt 0$ với mọi $x,$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

(B có $y'=-3x^2+1$ đổi dấu; C không xác định tại $x=2;$ D là hàm bậc hai nên không đơn điệu trên $\mathbb{R}.)$

Chọn A

Lời giải

Với D, $y'=\dfrac{3}{(x+1)^2}\gt 0$ với mọi $x\ne -1,$ đạo hàm không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

(A và B đạt cực tiểu tại $x=0;$ C có $y'=-3x^2+1$ đổi dấu tại hai điểm nên có hai cực trị.)

Chọn D

Lời giải

Tập xác định là $(0;+\infty).$ Ta có $y'=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$

Vì $x\gt 0$ nên $y'$ cùng dấu với $2\ln x+1;$ $y'=0\Leftrightarrow\ln x=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x=e^{-\frac{1}{2}}.$ Khi $x$ đi qua $e^{-\frac{1}{2}}$ thì $2\ln x+1$ đổi dấu từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu.

Giá trị cực tiểu là $y=e^{-1}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2e}.$

Chọn C

Lời giải

Ta có $y'=2(x-2)e^x+(x-2)^2e^x$ $=x(x-2)e^x.$ Trong khoảng $(1;3),$ $y'=0\Leftrightarrow x=2.$

Lại có $y(1)=e,$ $y(2)=0,$ $y(3)=e^3.$ Vậy giá trị lớn nhất là $e^3.$

Chọn B

Lời giải

Vì $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang. Các giới hạn tại $x=2$ đều hữu hạn nên $x=2$ không phải tiệm cận đứng.

Chọn B

Lời giải

Chia tử cho mẫu, ta có $x^2+2x-2=(x+2)x-2,$ nên $y=x-\dfrac{2}{x+2}.$ Vì $\dfrac{2}{x+2}\to 0$ khi $x\to\pm\infty$ nên tiệm cận xiên là $y=x.$

Chọn D

Lời giải

Đọc bảng biến thiên, ta có

• $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-1,$ nên A, B đúng;

• $\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)=+\infty,$ nên C đúng;

• tại $x=1,$ hai giới hạn một bên là $-1$ và $7,$ đều hữu hạn, nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Vậy D sai.

Chọn D

Lời giải

Từ hình, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1,$ tiệm cận ngang $y=2$ và đi qua điểm $(0;1).$

• D có tiệm cận đứng $x=1,$ loại. A và C có tiệm cận ngang $y=1,$ loại.

• B có tiệm cận đứng $x=-1,$ tiệm cận ngang $y=2$ và $y(0)=1,$ thoả mãn.

Chọn B

Lời giải

Từ hình, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1,$ tiệm cận xiên $y=x,$ có điểm cực tiểu $(0;1)$ và điểm cực đại $(-2;-3).$

• B có tiệm cận ngang, loại. A có $y'=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}\gt 0,$ không có cực trị, loại.

• C viết được $y=x-2+\dfrac{3}{x+1},$ tiệm cận xiên $y=x-2,$ loại.

• D viết được $y=x+\dfrac{1}{x+1},$ có tiệm cận xiên $y=x,$ $y(0)=1,$ $y(-2)=-3,$ thoả mãn.

Chọn D

Lời giải

a) Tập xác định là $\mathbb{R}.$ Ta có $y'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\ge 0,$ và $y'=0$ chỉ tại $x=1.$ Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

b) Tập xác định là $\mathbb{R}.$ Ta có $y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ và $y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm 1.$ Lại có $y(0)=-1,$ $y(\pm 1)=-2.$ Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1),$ đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty).$ Hàm số đạt cực đại tại $x=0,$ $y_{\text{CĐ}}=-1;$ đạt cực tiểu tại $x=\pm 1,$ $y_{\text{CT}}=-2.$

c) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}.$ Ta có

\[\begin{aligned}y'&=\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}\\&=\frac{5}{(3x+1)^2}\gt 0.\end{aligned}\]

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)$ và $\left(-\dfrac{1}{3};+\infty\right),$ không có cực trị.

d) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$ Viết $y=x+1+\dfrac{1}{x+1},$ ta có

\[y'=1-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}.\]

Do đó $y'=0\Leftrightarrow x+1=\pm 1\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-2.$ Lại có $y(-2)=-2,$ $y(0)=2.$ Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty),$ nghịch biến trên các khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0).$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-2,$ $y_{\text{CĐ}}=-2;$ đạt cực tiểu tại $x=0,$ $y_{\text{CT}}=2.$

Lời giải

a) Ta có $y'=\dfrac{2(3x-2)-3(2x+1)}{(3x-2)^2}$ $=\dfrac{-7}{(3x-2)^2}\lt 0$ trên $[2;+\infty),$ nên hàm số nghịch biến. Lại có $y(2)=\dfrac{5}{4}$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}y=\dfrac{2}{3}.$ Bảng biến thiên

Vậy $\max\limits_{[2;+\infty)}y=y(2)=\dfrac{5}{4};$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất (giá trị $y$ chỉ dần tới $\dfrac{2}{3}$ chứ không bằng $\dfrac{2}{3}).$

b) Tập xác định là đoạn $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right].$ Với $x\in\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$ ta có $y'=\dfrac{-x}{\sqrt{2-x^2}},$ nên $y'=0\Leftrightarrow x=0.$

Lại có $y(0)=\sqrt{2},$ $y(\pm\sqrt{2})=0.$

Vậy giá trị lớn nhất là $y(0)=\sqrt{2}$ và giá trị nhỏ nhất là $y(\pm\sqrt{2})=0.$

Lời giải

a) Ta có $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=3$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=3.$ Khi $x\to -1^+$ thì tử dần tới $-5,$ mẫu dần tới 0 và dương, nên $y\to-\infty;$ do đó đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1.$

b) Chia tử cho mẫu, ta có

\[\begin{aligned}&x^2+2x-1\\&=(2x-1)\left(\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\right)+\frac{1}{4},\end{aligned}\]

nên

\[y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}+\frac{1}{4(2x-1)}.\]

• Vì $\dfrac{1}{4(2x-1)}\to 0$ khi $x\to\pm\infty$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{4}.$

• Khi $x\to\left(\dfrac{1}{2}\right)^+$ thì $\dfrac{1}{4(2x-1)}\to+\infty,$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=\dfrac{1}{2}.$

Lời giải

a) Tập xác định là $\mathbb{R}.$

• Sự biến thiên

Ta có $y'=-3x^2+12x-9$ và $y'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3.$ Lại có $y(1)=8,$ $y(3)=12;$ $\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty,$ $\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty.$ Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty),$ đồng biến trên khoảng $(1;3).$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1,$ $y_{\text{CT}}=8;$ đạt cực đại tại $x=3,$ $y_{\text{CĐ}}=12.$

• Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại $(0;12).$ Ta có $y''=-6x+12=0\Leftrightarrow x=2$ và $y(2)=10,$ nên tâm đối xứng là $I(2;10).$

b) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$

• Sự biến thiên

Ta có $y'=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}$ $=\dfrac{3}{(x+1)^2}\gt 0,$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty),$ không có cực trị.

Tiệm cận ngang $y=2$ (vì $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=2),$ tiệm cận đứng $x=-1$ (vì $\lim\limits_{x\to -1^+}y=-\infty).$ Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1),$ cắt trục hoành tại $\left(\dfrac{1}{2};0\right),$ nhận $I(-1;2)$ làm tâm đối xứng.

c) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}.$ Chia tử cho mẫu, ta có $x^2-2x=(x-1)^2-1,$ nên $y=x-1-\dfrac{1}{x-1}.$

• Sự biến thiên

Ta có $y'=1+\dfrac{1}{(x-1)^2}\gt 0,$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty),$ không có cực trị.

Tiệm cận xiên $y=x-1$ (vì $\dfrac{1}{x-1}\to 0$ khi $x\to\pm\infty);$ tiệm cận đứng $x=1$ (vì $\lim\limits_{x\to 1^-}y=+\infty,$ $\lim\limits_{x\to 1^+}y=-\infty).$ Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị cắt trục hoành tại $(0;0)$ và $(2;0),$ nhận $I(1;0)$ làm tâm đối xứng.

Lời giải

a) Ta có $\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{p-f}{pf},$ suy ra $q=g(p)=\dfrac{pf}{p-f},$ với $p\gt f.$

b) Chia cả tử và mẫu cho $p,$ ta có

\[\lim_{p\to+\infty}g(p)=\lim_{p\to+\infty}\frac{f}{1-\frac{f}{p}}=f.\]

Khi $p\to f^+$ thì tử $pf\to f^2\gt 0,$ mẫu $p-f\to 0$ và dương, nên $\lim\limits_{p\to f^+}g(p)=+\infty.$

Ý nghĩa. Vật ở rất xa thấu kính thì ảnh hiện ở gần tiêu điểm $(q$ dần tới $f).$ Vật càng tiến gần tiêu điểm thì ảnh càng ở xa thấu kính, xa vô cùng.

c) Ta có $g'(p)=\dfrac{f(p-f)-pf}{(p-f)^2}$ $=\dfrac{-f^2}{(p-f)^2}\lt 0.$ Bảng biến thiên

Lời giải

a) Năm 2030 ứng với $t=7,$ ta có $N(7)=100e^{0{,}084}\approx 108{,}763$ (triệu người).

Năm 2035 ứng với $t=12,$ ta có $N(12)=100e^{0{,}144}\approx 115{,}488$ (triệu người).

b) Ta có $N'(t)=100\cdot 0{,}012\,e^{0{,}012t}$ $=1{,}2e^{0{,}012t}\gt 0$ với mọi $t,$ nên $N(t)$ đồng biến trên đoạn $[0;50].$

c) Ta có $N'(t)=1{,}6\Leftrightarrow e^{0{,}012t}=\dfrac{4}{3}$ $\Leftrightarrow t=\dfrac{\ln\frac{4}{3}}{0{,}012}\approx 23{,}97.$

Vậy khoảng năm $2023+24=2047$ thì tốc độ tăng dân số là 1,6 triệu người/năm.

Lời giải

Gọi $x=BM$ (km), $0\le x\le 10.$

+ Đoạn dây dưới biển là CM, trong tam giác CBM vuông tại B ta có $CM=\sqrt{x^2+16}$ (km).

+ Đoạn dây trên đất liền là $MA=10-x$ (km).

Tổng chi phí (triệu đồng) là

\[T(x)=50\sqrt{x^2+16}+30(10-x)\]

với $0\le x\le 10.$

Ta có $T'(x)=\dfrac{50x}{\sqrt{x^2+16}}-30.$ Do đó

\[\begin{aligned}T'(x)=0&\Leftrightarrow 5x=3\sqrt{x^2+16}\\&\Leftrightarrow 16x^2=144\Leftrightarrow x=3\end{aligned}\]

(vì $x\ge 0).$ Lại có $T(0)=500,$ $T(3)=250+210=460,$ $T(10)=50\sqrt{116}\approx 538{,}5.$

Vậy chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi điểm M nằm trên đoạn AB, cách B 3 km (tức là cách A 7 km).