Bài 6. Vectơ trong không gian – Toán 12 Kết nối tri thức (lý thuyết và bài tập có lời giải)

Lời giải

• Nếu $\vec a,$ $\vec b$ cùng hướng với $\vec c$ thì $\vec a,$ $\vec b$ có cùng một hướng (là hướng của $\vec c),$ nên cùng hướng với nhau.

• Nếu $\vec a,$ $\vec b$ ngược hướng với $\vec c$ thì $\vec a,$ $\vec b$ đều có hướng ngược với hướng của $\vec c,$ nên cũng cùng hướng với nhau.

Vậy các mệnh đề a) và b) đúng; c) và d) sai.

Lời giải

• Ta có $|\overrightarrow{BB'}|=BB'=AA'=4.$

• Đáy ABCD là hình chữ nhật nên $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}$ $=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},$ do đó $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{13}.$

• Tam giác BDD′ vuông tại D (vì $DD'\perp(ABCD))$ nên $BD'=\sqrt{BD^2+DD'^2}$ $=\sqrt{13+16}=\sqrt{29},$ do đó $|\overrightarrow{BD'}|=\sqrt{29}.$

Lời giải

a) Trọng lực và các phản lực đều có phương thẳng đứng (vuông góc với mặt sàn), nên năm vectơ đều cùng phương. Vectơ $\vec a$ hướng xuống; các vectơ $\vec b,$ $\vec c,$ $\vec d,$ $\vec e$ hướng lên. Do đó $\vec b,$ $\vec c,$ $\vec d,$ $\vec e$ cùng hướng với nhau và ngược hướng với $\vec a.$

b) Bàn cân đối và trọng lực phân tán đều qua bốn chân nên bốn phản lực có độ lớn bằng nhau (cùng bằng $\dfrac{1}{4}|\vec a|).$ Bốn vectơ $\vec b,$ $\vec c,$ $\vec d,$ $\vec e$ cùng hướng và cùng độ dài nên đôi một bằng nhau.

Lời giải

Trong hình hộp, các mặt đều là hình bình hành nên $\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}.$

a) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec 0,$ nên vế trái bằng $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}.$

b) Theo quy tắc hiệu, $\overrightarrow{CD'}-\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{C'D'}=-\overrightarrow{AB}.$ Do đó vế trái bằng $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec 0.$

c) Ta có $-\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{A'A}$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}.$ Do đó

\[\begin{aligned}VT&=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{A'C}.\end{aligned}\]

Lời giải

Các cạnh bên của lăng trụ song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\vec a.$

a) $\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}=\vec b+\vec a.$

b) $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ $=-\vec a-\vec b+\vec c.$

c) $\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC'}$ $=\vec a-\vec b+\vec c.$

Lời giải

Ta biến đổi tương đương

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SC}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}.\end{aligned}\]

Mà $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi ABCD là hình bình hành. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải

• Điểm M thuộc cạnh SA và $SM=2AM$ nên $AM=\dfrac{1}{3}SA;$ hai vectơ $\overrightarrow{MA},$ $\overrightarrow{SA}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SA}.$

• Điểm N thuộc cạnh BC và $CN=2BN$ nên $BN=\dfrac{1}{3}BC,$ suy ra $\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

Theo quy tắc ba điểm, ta có

\[\begin{aligned}\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\\&=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\&=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}.\end{aligned}\]

Lời giải

Gọi khối rubik là tứ diện đều ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD. Vì tứ diện đều nên $AG\perp(BCD)$ và chiều cao là $AG=8$ cm.

Từ $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ ta có I nằm trên đoạn AG và $AI=3IG,$ nên $IG=\dfrac{1}{4}AG=2$ (cm).

Vì $IG\perp(BCD)$ nên khoảng cách từ trọng tâm I đến mặt (BCD) là $IG=2$ cm. Do tứ diện đều nên khoảng cách đến mỗi mặt đều bằng 2 cm.

Lời giải

Gọi $\vec F_1,$ $\vec F_2,$ $\vec F_3$ là ba lực kéo đặt tại nút buộc O. Nút đứng yên nên hợp lực bằng $\vec 0,$ tức là $\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3=\vec 0,$ suy ra $\vec F_3=-(\vec F_1+\vec F_2).$

Vectơ $\vec F_1+\vec F_2$ (vẽ theo quy tắc hình bình hành từ O) nằm trong mặt phẳng chứa $\vec F_1,$ $\vec F_2,$ nên $\vec F_3$ cũng nằm trong mặt phẳng đó. Vậy ba sợi dây (nằm theo ba lực) cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải

Lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 1, cạnh bên vuông góc với đáy.

a) Ta có $\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{A'A}=-\overrightarrow{AA'},$ nên hai vectơ ngược hướng và $(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{C'C})=180^\circ.$ Do đó $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{C'C}=2\cdot 2\cdot\cos 180^\circ=-4.$

b) Vì $AA'\perp(ABCD)$ nên $AA'\perp BC,$ suy ra $(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BC})=90^\circ$ và $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$

c) Ta có $\overrightarrow{B'A'}=\overrightarrow{BA}.$ Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ chung điểm đầu và $\widehat{CAB}=45^\circ;$ vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'A'})=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$

Lại có $AC=\sqrt{2},$ $B'A'=1,$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{B'A'}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot\cos 135^\circ=-1.$

Lời giải

a) $\vec a\cdot\vec b=1\cdot 1\cdot\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

b) Khai triển như nhân đa thức, với $\vec a^2=\vec b^2=1,$ ta có

\[\begin{aligned}&(\vec a+3\vec b)\cdot(\vec a-2\vec b)\\&=\vec a^2+\vec a\cdot\vec b-6\vec b^2\\&=1+\frac{\sqrt{2}}{2}-6=\frac{\sqrt{2}}{2}-5.\end{aligned}\]

c) $(\vec a+\vec b)^2=\vec a^2+2\vec a\cdot\vec b+\vec b^2$ $=1+\sqrt{2}+1=2+\sqrt{2}.$

Lời giải

a) Vì $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}$ nên

\[\begin{aligned}VP&=\overrightarrow{CD}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\\&=\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}=VT.\end{aligned}\]

b) Viết các vectơ theo điểm đầu A, ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.$ Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec b,$ $\overrightarrow{AC}=\vec c,$ $\overrightarrow{AD}=\vec d,$ vế trái bằng

\[\begin{aligned}&\vec b\cdot(\vec d-\vec c)+\vec c\cdot(\vec b-\vec d)+\vec d\cdot(\vec c-\vec b)\\&=\vec b\cdot\vec d-\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec b-\vec c\cdot\vec d\\&\quad+\vec d\cdot\vec c-\vec d\cdot\vec b=0.\end{aligned}\]