Bài học Hệ trục tọa độ trong không gian (Toán 12, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương II) giúp các em hiểu hệ tọa độ Oxyz, cách xác định tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ và ứng dụng vào thực tiễn. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ Oxyz
• Hệ tọa độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại gốc tọa độ O, với các vectơ đơn vị $\vec i,$ $\vec j,$ $\vec k.$
• Ba mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc.
Hình dung đơn giản. Đứng ở một góc phòng: hai đường giao giữa sàn nhà với hai bức tường là hai trục Ox, Oy; đường giao giữa hai bức tường (thẳng đứng) là trục Oz. Mặt sàn chính là mặt phẳng (Oxy).
2. Tọa độ của điểm
Điểm M có tọa độ $(x;y;z),$ viết $M(x;y;z),$ nếu $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k.$ Ba số $x,$ $y,$ $z$ lần lượt gọi là hoành độ, tung độ, cao độ của M.
Cách đọc tọa độ. Từ M kẻ vuông góc xuống ba trục: chân đường vuông góc trên Ox, Oy, Oz cho ta $x,$ $y,$ $z$ (như hình trên).
Các trường hợp đặc biệt cần nhớ.
• Điểm trên trục Ox có dạng $(x;0;0);$ trên Oy có dạng $(0;y;0);$ trên Oz có dạng $(0;0;z).$
• Điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) có dạng $(x;y;0);$ thuộc (Oyz) có dạng $(0;y;z);$ thuộc (Ozx) có dạng $(x;0;z).$
• Hình chiếu của $M(x;y;z)$ lên (Oxy) là $M_1(x;y;0)$ (giữ nguyên $x,$ $y,$ cho $z=0).$
3. Tọa độ của vectơ
• Vectơ $\vec a$ có tọa độ $(x;y;z),$ viết $\vec a=(x;y;z),$ nếu $\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k.$
• Với $A(x_A;y_A;z_A),$ $B(x_B;y_B;z_B),$ ta có
\[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A).\]• Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau.
Mẹo nhớ. Tọa độ $\overrightarrow{AB}$ là "điểm cuối trừ điểm đầu". Tọa độ của $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ của điểm M.
Ví dụ. Cho $A(1;0;2),$ $B(3;2;5)$ thì $\overrightarrow{AB}=(2;2;3).$
Tìm điểm từ hai vectơ bằng nhau. Trong hình bình hành ABCD ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$ Đặt $D(x;y;z),$ viết tọa độ hai vectơ rồi cho từng tọa độ bằng nhau là tìm được D.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 2.13 (SGK trang 64). Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c$ đều khác $\vec 0$ và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có các trục tọa độ lần lượt song song với giá của các vectơ $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c.$
b) Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có các trục tọa độ lần lượt trùng với giá của các vectơ $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c.$
c) Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có các vectơ $\vec i,$ $\vec j,$ $\vec k$ lần lượt bằng các vectơ $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c.$
d) Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có các vectơ $\vec i,$ $\vec j,$ $\vec k$ lần lượt cùng phương với các vectơ $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c.$
Lời giải
a) Đúng. Lấy một điểm O bất kì, kẻ qua O ba đường thẳng lần lượt song song với ba giá; ba đường thẳng này đôi một vuông góc nên làm được ba trục tọa độ.
b) Sai. Ba giá đôi một vuông góc nhưng có thể không đi qua cùng một điểm (chẳng hạn hai giá chéo nhau), khi đó không thể làm ba trục có chung gốc O.
c) Sai. Các vectơ $\vec i,$ $\vec j,$ $\vec k$ có độ dài bằng 1, còn $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c$ có thể có độ dài khác 1.
d) Đúng. Lấy hệ tọa độ như câu a, khi đó $\vec i,$ $\vec j,$ $\vec k$ nằm trên các trục song song với giá của $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c$ nên lần lượt cùng phương với chúng.
Vậy các mệnh đề a) và d) đúng.
Bài 2.14 (SGK trang 64). Hãy mô tả hệ tọa độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 (SGK) sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).
Lời giải
Gốc O là góc trên của căn phòng, nơi gặp nhau của trần nhà, bức tường treo tranh và bức tường bên cạnh.
• Trục Ox thuộc cả (Oxy) (tường treo tranh) và (Oxz) (trần nhà), nên Ox là đường giao giữa trần nhà và tường treo tranh (nằm ngang).
• Trục Oy nằm trên tường treo tranh và vuông góc với Ox, nên Oy là đường giao thẳng đứng giữa hai bức tường.
• Trục Oz nằm trên trần nhà và vuông góc với Ox, nên Oz là đường giao giữa trần nhà và bức tường bên cạnh.
Bài 2.15 (SGK trang 65). Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $A(0;0;0)$ và $B(4;2;-5);$
b) $A(1;-3;7)$ và $B(1;-3;7);$
c) $A(5;4;9)$ và $B(-5;7;2).$
Lời giải
Ta dùng $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A).$
a) $\overrightarrow{AB}=(4;2;-5).$
b) A trùng B nên $\overrightarrow{AB}=(0;0;0)=\vec 0.$
c) $\overrightarrow{AB}=(-5-5;\,7-4;\,2-9)$ $=(-10;3;-7).$
Bài 2.16 (SGK trang 65). Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau:
a) A trùng với gốc tọa độ;
b) A nằm trên tia Ox và $OA=2;$
c) A nằm trên tia đối của tia Oy và $OA=3.$
Lời giải
a) $A(0;0;0).$
b) Điểm trên tia Ox có dạng $(x;0;0)$ với $x\ge 0,$ và $OA=x=2.$ Vậy $A(2;0;0).$
c) Điểm trên tia đối của tia Oy có dạng $(0;y;0)$ với $y\le 0,$ và $OA=-y=3.$ Vậy $A(0;-3;0).$
Bài 2.17 (SGK trang 65). Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A′ có tọa độ lần lượt là $(2;0;0),$ $(0;4;0),$ $(0;0;3).$ Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Lời giải
Ba cạnh AD, AB, AA′ nằm trên ba trục Ox, Oy, Oz, dài lần lượt 2, 4, 3.
• C thuộc (Oxy), cách trục Oy một đoạn bằng $AD=2$ và cách trục Ox một đoạn bằng $AB=4,$ nên $C(2;4;0).$ (Có thể kiểm tra bằng $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=(2;4;0).)$
• Các đỉnh trên mặt trên có cùng hoành độ, tung độ với đỉnh ở dưới và có cao độ bằng 3, nên $B'(0;4;3),$ $C'(2;4;3),$ $D'(2;0;3).$
Bài 2.18 (SGK trang 65). Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O′A′B′C′ có $A(1;1;-1),$ $B(0;3;0),$ $C'(2;-3;6).$
a) Xác định tọa độ của điểm C.
b) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Lời giải
a) Đáy OABC là hình bình hành nên $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}.$ Đặt $C(x;y;z),$ ta có $\overrightarrow{OA}=(1;1;-1),$ $\overrightarrow{CB}=(-x;3-y;-z).$ Cho các tọa độ bằng nhau, ta được $x=-1,$ $y=2,$ $z=1.$ Vậy $C(-1;2;1).$
b) Các cạnh bên song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}.$ Ta có $\overrightarrow{CC'}=(3;-5;5).$
+ $\overrightarrow{OO'}=(3;-5;5)$ nên $O'(3;-5;5).$
+ $\overrightarrow{AA'}=(3;-5;5)$ nên $A'(1+3;\,1-5;\,-1+5),$ tức là $A'(4;-4;4).$
+ $\overrightarrow{BB'}=(3;-5;5)$ nên $B'(3;-2;5).$
Bài 2.19 (SGK trang 65). Trong Vận dụng 2 (SGK), hệ tọa độ Oxyz có gốc O ở trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất. Hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng $(x;y;0)$ với $x,$ $y$ là hai số thực nào đó.
Lời giải
Khi di chuyển trên đường băng, máy bay nằm trên mặt đất, tức là thuộc mặt phẳng (Oxy). Mọi điểm thuộc (Oxy) đều có cao độ bằng 0. Vậy tọa độ của máy bay có dạng $(x;y;0).$
Bình luận
Viết bình luận của bạn