Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ – Toán 12 Kết nối tri thức (lời giải chi tiết, bài tập cuối chương II)

Lời giải

a) Cộng từng tọa độ, ta được $\vec a+\vec b+\vec c=(6;0;6)$ (hoành độ $3-3+6=6,$ tung độ $1+0-1=0,$ cao độ $2+4+0=6).$

Ta có $2\vec a=(6;2;4),$ $3\vec b=(-9;0;12),$ $5\vec c=(30;-5;0),$ nên

Ta được $2\vec a-3\vec b-5\vec c=(-15;7;-8)$ (hoành độ $6+9-30=-15,$ tung độ $2-0+5=7,$ cao độ $4-12-0=-8).$

b) Ta có $-\vec b=(3;0;-4)$ nên $\vec a\cdot(-\vec b)=9+0-8=1.$

Ta có $2\vec a=(6;2;4)$ nên $(2\vec a)\cdot\vec c=36-2+0=34.$

Lời giải

a) $\overrightarrow{MN}=(8;-7;-1),$ $\overrightarrow{MP}=(7;3;-4).$ Vì $\dfrac{8}{7}\ne\dfrac{-7}{3}$ nên hai vectơ không cùng phương, do đó M, N, P không thẳng hàng.

b) $\overrightarrow{NM}=(-8;7;1),$ $\overrightarrow{NP}=(-1;10;-3),$ nên $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=(-9;17;-2).$

Tứ giác MNPQ là hình bình hành thì theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=(-9;17;-2).$ Do đó $Q(4-9;\,-4+17;\,2-2),$ tức là $Q(-5;13;0).$

c) Ta có $MN=\sqrt{64+49+1}=\sqrt{114}$ và $NP=\sqrt{1+100+9}=\sqrt{110}.$ Chu vi hình bình hành là

\[2(\sqrt{114}+\sqrt{110})\approx 42{,}33.\]

Lời giải

a) Trọng tâm G có $x_G=\dfrac{1+0+4}{3}=\dfrac{5}{3},$ $y_G=\dfrac{0-3-1}{3}=-\dfrac{4}{3},$ $z_G=\dfrac{1+1+4}{3}=2.$ Vậy $G\left(\dfrac{5}{3};-\dfrac{4}{3};2\right).$

b) $\overrightarrow{AB}=(-1;-3;0),$ $\overrightarrow{AC}=(3;-1;3),$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3+3+0=0.$ Vậy $\widehat{BAC}=90^\circ.$

c) $\overrightarrow{BA}=(1;3;0),$ $\overrightarrow{BC}=(4;2;3),$ nên

\[\cos\widehat{ABC}=\frac{4+6+0}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{29}}=\frac{10}{\sqrt{290}}.\]

Bấm máy tính ta được $\widehat{ABC}\approx 54{,}04^\circ.$

Lời giải

Theo Hình 2.51, cạnh sàn dài 6 m nằm theo trục Ox, cạnh dài 8 m nằm theo trục Oy, chiều cao 3 m theo trục Oz.

Điểm chính giữa trần nhà có hình chiếu xuống sàn là tâm của sàn, nên có $x=\dfrac{6}{2}=3,$ $y=\dfrac{8}{2}=4,$ và có cao độ bằng chiều cao phòng là 3.

Vậy điểm treo đèn có tọa độ $(3;4;3).$

Lời giải

Gọi tàu ở điểm $M(25;15;-10).$ Khoảng cách từ radar đến tàu là

\[\begin{aligned}OM&=\sqrt{25^2+15^2+(-10)^2}\\&=\sqrt{950}\approx 30{,}82\ \text{(km)}.\end{aligned}\]

Vì $30{,}82\gt 30$ nên tàu nằm ngoài phạm vi theo dõi. Vậy radar không phát hiện được chiếc tàu.

Lời giải

A, B đúng theo tính chất trọng tâm. C đúng vì $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BB}=3\overrightarrow{BG}.$

Với D, vì $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec 0$ nên vế trái bằng $\overrightarrow{GA}\ne\vec 0.$ Vậy D sai.

Chọn D

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM},$ với $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CC'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}.$

Chọn B

Lời giải

Vì $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BB'}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB'}.$ Do đó A đúng và D sai (vì $\overrightarrow{AB'}\ne\overrightarrow{AC'}).$ B đúng theo quy tắc hình hộp, C đúng vì $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}.$

Chọn D

Lời giải

M là trung điểm CD nên $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).$ Các mặt là tam giác đều nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ $=a\cdot a\cdot\cos 60^\circ=\dfrac{a^2}{2}.$ Do đó

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}\right)=\frac{a^2}{2}.\]

Chọn B

Lời giải

Ta có $3\vec a=(3;-6;6),$ khác $(3;-2;2).$ Các phương án còn lại đều đúng khi tính trực tiếp.

Chọn C

Lời giải

Hình bình hành ABCD có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(1;1;3).$ Đặt $D(x;y;z),$ ta có $(x+1;\,y;\,z-3)=(1;1;3),$ suy ra $D(0;1;6).$

Chọn C

Lời giải

Từ công thức trọng tâm, $x_C=3x_G-x_A-x_B$ $=6-1-0=5;$ tương tự $y_C=3+0+1=4,$ $z_C=0+1-2=-1.$ Vậy $C(5;4;-1).$

Chọn A

Lời giải

$\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-2)+1\cdot(-1)+(-3)\cdot 2$ $=-11.$

Chọn B

Lời giải

Ta có $\vec a\cdot\vec b=0-1-2=-3,$ $|\vec a|=3,$ $|\vec b|=\sqrt{2},$ nên $\cos(\vec a,\vec b)=\dfrac{-3}{3\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ Vậy góc bằng $135^\circ.$

Chọn B

Lời giải

Ta có $\vec a\cdot\vec b=-2-2-4=-8,$ $|\vec a|=2\sqrt{3},$ $|\vec b|=\sqrt{6},$ nên

\[\begin{aligned}\cos(\vec a,\vec b)&=\frac{-8}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}\\&=\frac{-8}{6\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{3}.\end{aligned}\]

Chọn A

Lời giải

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD, khi đó O là trung điểm của cả AC và BD. Theo tính chất trung điểm, ta có

\[\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}.\]

Lời giải

Ý chính là viết $\overrightarrow{MN}$ theo hai đường rồi cộng sao cho các vectơ thừa triệt tiêu. Theo quy tắc ba điểm, ta có

+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ $(1);$

+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$ $(2).$

Nhân hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2), ta được

\[\begin{aligned}3\overrightarrow{MN}&=(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+2\overrightarrow{AD}\\&\quad+\overrightarrow{BC}+(2\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}).\end{aligned}\]

Theo giả thiết $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec 0;$ và từ $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$ ta có $2\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CN}=\vec 0.$ Do đó $3\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC},$ tức là

\[\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.\]

Lời giải

a) G là trọng tâm tam giác BDA′ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=3\overrightarrow{AG},$ suy ra

\[\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}).\]

b) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}.$ Do đó $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC'},$ hai vectơ cùng phương và chung điểm đầu A. Vậy A, G, C′ thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có $x_G=\dfrac{2+1-1}{3}=\dfrac{2}{3},$ $y_G=\dfrac{-1+1+0}{3}=0,$ $z_G=\dfrac{3-1+2}{3}=\dfrac{4}{3}.$ Vậy $G\left(\dfrac{2}{3};0;\dfrac{4}{3}\right).$

b) M thuộc trục Oz nên $M(0;0;m).$ Ta có $\overrightarrow{BM}=(-1;-1;m+1),$ $\overrightarrow{AC}=(-3;1;-1).$

BM vuông góc với AC khi $\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{AC}=0,$ tức là $3-1-(m+1)=0\Leftrightarrow m=1.$ Vậy $M(0;0;1).$

Lời giải

• Đáy OABC là hình bình hành nên $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(1;5;4),$ suy ra $B(1;5;4).$

• Các cạnh bên bằng $\overrightarrow{OO'}=(1;-2;2),$ nên mỗi đỉnh trên có tọa độ bằng đỉnh dưới cộng thêm $(1;-2;2):$

+ $A'(3;1;3);$ $\quad$ + $B'(2;3;6);$ $\quad$ + $C'(0;0;5).$

Lời giải

a) $2\vec b=(2;2;-2)$ nên $\vec u=(-2-2;\,1-2;\,2+2)$ $=(-4;-1;4).$

b) $|\vec u|=\sqrt{16+1+16}=\sqrt{33}.$

c) $\vec a\cdot\vec b=-2+1-2=-3,$ $|\vec a|=3,$ $|\vec b|=\sqrt{3},$ nên $\cos(\vec a,\vec b)=\dfrac{-3}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

Lời giải

a) $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$ và $AB=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3}.$

b) Đặt $M(x;y;z),$ ta có $\overrightarrow{CM}=(x;\,y+2;\,z-3).$ Từ $\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{AB}=(3;3;-3)$ ta được $x=3,$ $y=1,$ $z=0.$ Vậy $M(3;1;0).$

c) N thuộc (Oxy) nên $N(x;y;0),$ và $\overrightarrow{AN}=(x-4;\,y-2;\,1).$ Ba điểm thẳng hàng khi $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AB},$ tức là

+ từ cao độ, $1=3k,$ nên $k=\dfrac{1}{3};$

+ khi đó $x-4=-1$ và $y-2=-1,$ nên $x=3,$ $y=1.$

Vậy $N(3;1;0).$

Lời giải

a) Chọn gốc O tại góc trần nhà nơi hai bức tường gặp nhau; trục Ox, Oy là hai đường giao giữa trần với hai bức tường; trục Oz là đường giao giữa hai bức tường, hướng xuống sàn. Đơn vị là mét.

Khoảng cách đến hai tường cho hoành độ, tung độ; khoảng cách đến trần cho cao độ. Do đó

+ vị trí ban đầu là $A(1{,}2;\,1{,}6;\,0{,}5);$

+ vị trí mới là $B(1{,}5;\,1{,}5;\,0{,}4).$

b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(0{,}3;\,-0{,}1;\,-0{,}1),$ nên

\[\begin{aligned}AB&=\sqrt{0{,}09+0{,}01+0{,}01}\\&=\sqrt{0{,}11}\approx 0{,}3\ \text{(m)}.\end{aligned}\]

Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu khoảng 0,3 m.