Bài học Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị (Toán 12, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương III) giúp các em tính khoảng biến thiên, tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, biết dùng chúng để so sánh độ phân tán. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Nhắc lại. Mẫu số liệu ghép nhóm gồm các nhóm $[a_1;a_2),$ $[a_2;a_3),$ …, $[a_k;a_{k+1})$ với tần số tương ứng $m_1,$ $m_2,$ …, $m_k;$ cỡ mẫu $n=m_1+m_2+\ldots+m_k.$ Các số đặc trưng tính từ mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc.
1. Khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=a_{k+1}-a_1,$ tức là đầu mút phải của nhóm cuối trừ đầu mút trái của nhóm đầu.
Chú ý. Nhóm đầu và nhóm cuối phải có tần số khác 0. Nếu nhóm ở hai đầu bảng có tần số bằng 0 thì bỏ nhóm đó đi trước khi tính.
Ý nghĩa. $R$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Nhược điểm là $R$ chỉ dựa vào hai nhóm ở hai đầu, nên dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
2. Tứ phân vị và khoảng tứ phân vị
• Muốn tìm tứ phân vị thứ $r$ $(r=1,$ $2,$ $3),$ trước hết tìm nhóm chứa nó là nhóm $[a_p;a_{p+1})$ đầu tiên mà tần số tích lũy đến hết nhóm đó đạt $\dfrac{rn}{4}.$ Khi đó
\[Q_r=a_p+\frac{\frac{rn}{4}-T}{m_p}\cdot h,\]trong đó $T=m_1+\ldots+m_{p-1}$ là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nhóm chứa $Q_r,$ $m_p$ là tần số của nhóm đó, $h=a_{p+1}-a_p$ là độ dài nhóm.
• Khoảng tứ phân vị là $\Delta_Q=Q_3-Q_1.$
Đọc công thức cho dễ nhớ. $Q_r$ bằng đầu mút trái của nhóm chứa nó, cộng thêm (số giá trị còn thiếu để đạt $\dfrac{rn}{4})$ chia (tần số nhóm đó), nhân (độ dài nhóm).
Ý nghĩa. $\Delta_Q$ đo độ phân tán của khoảng 50% số liệu ở giữa, nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. $\Delta_Q$ càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Ví dụ. Thời gian tự học mỗi tuần của 40 học sinh như sau.
| Thời gian (giờ) | Số học sinh |
|---|---|
| $[0;2)$ | 4 |
| $[2;4)$ | 10 |
| $[4;6)$ | 14 |
| $[6;8)$ | 8 |
| $[8;10)$ | 4 |
• Khoảng biến thiên $R=10-0=10$ (giờ).
• Tần số tích lũy lần lượt là 4, 14, 28, 36, 40.
+ $\dfrac{n}{4}=10$ và $4\lt 10\le 14,$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[2;4),$ suy ra $Q_1=2+\dfrac{10-4}{10}\cdot 2=3{,}2.$
+ $\dfrac{3n}{4}=30$ và $28\lt 30\le 36,$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[6;8),$ suy ra $Q_3=6+\dfrac{30-28}{8}\cdot 2=6{,}5.$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=6{,}5-3{,}2=3{,}3$ (giờ).
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 3.1 (SGK trang 78). Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 cho kết quả như sau:
101 79 79 78 75 73 68 67 67 63
63 61 60 59 57 55 55 50 47 42.
a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $[40;50).$
b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Lời giải
a) Các nhóm có độ dài 10, đếm số giá trị trong mỗi nhóm ta được
| Số thẻ vàng | Số câu lạc bộ |
|---|---|
| $[40;50)$ | 2 |
| $[50;60)$ | 5 |
| $[60;70)$ | 7 |
| $[70;80)$ | 5 |
| $[80;90)$ | 0 |
| $[90;100)$ | 0 |
| $[100;110)$ | 1 |
b) • Mẫu số liệu gốc $(n=20).$ Sắp xếp tăng dần:
42 47 50 55 55 57 59 60 61 63
63 67 67 68 73 75 78 79 79 101.
Khoảng biến thiên $R=101-42=59.$ Nửa dưới có 10 giá trị, $Q_1=\dfrac{55+57}{2}=56;$ nửa trên có 10 giá trị, $Q_3=\dfrac{73+75}{2}=74.$ Do đó $\Delta_Q=74-56=18.$
• Mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên $R=110-40=70.$ Tần số tích lũy lần lượt là 2, 7, 14, 19, 19, 19, 20.
+ $\dfrac{n}{4}=5$ và $2\lt 5\le 7,$ nên $Q_1=50+\dfrac{5-2}{5}\cdot 10=56.$
+ $\dfrac{3n}{4}=15$ và $14\lt 15\le 19,$ nên $Q_3=70+\dfrac{15-14}{5}\cdot 10=72.$
Do đó $\Delta_Q=72-56=16.$
Các giá trị tính từ mẫu số liệu gốc $(R=59,$ $\Delta_Q=18)$ là giá trị chính xác; các giá trị tính từ mẫu ghép nhóm $(R=70,$ $\Delta_Q=16)$ là giá trị xấp xỉ.
Bài 3.2 (SGK trang 79). Thu nhập theo tháng của người lao động ở hai nhà máy như sau:
| Thu nhập (triệu đồng) | Nhà máy A | Nhà máy B |
|---|---|---|
| $[5;8)$ | 20 | 17 |
| $[8;11)$ | 35 | 23 |
| $[11;14)$ | 45 | 30 |
| $[14;17)$ | 35 | 23 |
| $[17;20)$ | 20 | 17 |
Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.
Lời giải
Giá trị đại diện của các nhóm là 6,5; 9,5; 12,5; 15,5; 18,5.
• Thu nhập trung bình
+ Nhà máy A có $n=155$ và tổng $20\cdot 6{,}5+35\cdot 9{,}5+\ldots$ $+20\cdot 18{,}5=1937{,}5,$ nên $\overline{x}_A=\dfrac{1937{,}5}{155}=12{,}5.$
+ Nhà máy B có $n=110$ và tổng $17\cdot 6{,}5+23\cdot 9{,}5+\ldots$ $+17\cdot 18{,}5=1375,$ nên $\overline{x}_B=\dfrac{1375}{110}=12{,}5.$
Thu nhập trung bình ở hai nhà máy đều là 12,5 triệu đồng.
• Nhà máy A $(n=155,$ tần số tích lũy 20, 55, 100, 135, 155)
+ $\dfrac{n}{4}=38{,}75$ thuộc nhóm $[8;11),$ nên $Q_1=8+\dfrac{38{,}75-20}{35}\cdot 3\approx 9{,}61.$
+ $\dfrac{3n}{4}=116{,}25$ thuộc nhóm $[14;17),$ nên $Q_3=14+\dfrac{116{,}25-100}{35}\cdot 3$ $\approx 15{,}39.$
Do đó $\Delta_Q\approx 5{,}79.$
• Nhà máy B $(n=110,$ tần số tích lũy 17, 40, 70, 93, 110)
+ $\dfrac{n}{4}=27{,}5$ thuộc nhóm $[8;11),$ nên $Q_1=8+\dfrac{27{,}5-17}{23}\cdot 3\approx 9{,}37.$
+ $\dfrac{3n}{4}=82{,}5$ thuộc nhóm $[14;17),$ nên $Q_3=14+\dfrac{82{,}5-70}{23}\cdot 3\approx 15{,}63.$
Do đó $\Delta_Q\approx 6{,}26.$
Vì $6{,}26\gt 5{,}79$ nên thu nhập của người lao động ở nhà máy B biến động nhiều hơn.
Bài 3.3 (SGK trang 79). Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh hai lớp 12A và 12B.
| Chiều cao (cm) | Lớp 12A | Lớp 12B |
|---|---|---|
| $[145;150)$ | 1 | 0 |
| $[150;155)$ | 0 | 0 |
| $[155;160)$ | 15 | 17 |
| $[160;165)$ | 12 | 10 |
| $[165;170)$ | 10 | 9 |
| $[170;175)$ | 5 | 6 |
a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh hai lớp 12A và 12B.
b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?
Lời giải
a) • Lớp 12A $(n=43,$ tần số tích lũy 1, 1, 16, 28, 38, 43)
Khoảng biến thiên $R=175-145=30$ (cm).
+ $\dfrac{n}{4}=10{,}75$ thuộc nhóm $[155;160),$ nên $Q_1=155+\dfrac{10{,}75-1}{15}\cdot 5=158{,}25.$
+ $\dfrac{3n}{4}=32{,}25$ thuộc nhóm $[165;170),$ nên $Q_3=165+\dfrac{32{,}25-28}{10}\cdot 5$ $=167{,}125.$
Do đó $\Delta_Q=167{,}125-158{,}25\approx 8{,}88$ (cm).
• Lớp 12B $(n=42).$ Hai nhóm đầu có tần số 0 nên nhóm đầu tiên có học sinh là $[155;160).$ Tần số tích lũy từ nhóm này là 17, 27, 36, 42.
Khoảng biến thiên $R=175-155=20$ (cm).
+ $\dfrac{n}{4}=10{,}5$ thuộc nhóm $[155;160),$ nên $Q_1=155+\dfrac{10{,}5}{17}\cdot 5\approx 158{,}09.$
+ $\dfrac{3n}{4}=31{,}5$ thuộc nhóm $[165;170),$ nên $Q_3=165+\dfrac{31{,}5-27}{9}\cdot 5=167{,}5.$
Do đó $\Delta_Q\approx 167{,}5-158{,}09=9{,}41$ (cm).
b) Nên dùng khoảng tứ phân vị. Lớp 12A có một học sinh thấp hẳn so với cả lớp (nhóm $[145;150),$ cách xa các nhóm còn lại), đây có thể là giá trị bất thường làm khoảng biến thiên của 12A lớn lên. Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường nên phản ánh đúng hơn. Theo $\Delta_Q,$ chiều cao học sinh lớp 12B phân tán hơn một chút.
Bình luận
Viết bình luận của bạn