Diện tích miền nằm trong đường tròn và ngoài ba nửa đường tròn – Ứng dụng tích phân Toán 12 (có lời giải)

Lời giải

• Tọa độ các điểm

Chọn hệ trục Oxy với O trùng A, tia Ox chứa AD. Khi đó $B(2;0),$ $C(4;0),$ $D(6;0).$ Ba nửa đường tròn có bán kính 1 nên điểm cao nhất của chúng đều nằm trên đường thẳng $y=1,$ và đường thẳng này tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn. Do đó $E(1;1),$ $F(3;1),$ $G(5;1).$

Đường tròn tâm F bán kính 2 có phương trình $(x-3)^2+(y-1)^2=4,$ nửa trên của nó là $y=1+\sqrt{4-(x-3)^2}$ và nửa dưới là $y=1-\sqrt{4-(x-3)^2},$ với $x\in[1;5].$

• Phần phía trên AD

Với $x\in[1;5],$ phần này nằm phía trên các nửa đường tròn nhỏ và phía dưới nửa trên của đường tròn tâm F (ở hai đầu đoạn, phần nằm giữa AD và nửa dưới của đường tròn tâm F thuộc các nửa hình tròn nhỏ). Do đó $S_1$ bằng diện tích phần dưới nửa trên của đường tròn tâm F trừ diện tích phần các nửa hình tròn nhỏ. Trên đoạn $[1;5],$ phần các nửa hình tròn nhỏ gồm một phần tư hình tròn bên trái, nửa hình tròn ở giữa và một phần tư hình tròn bên phải, tổng diện tích là $\pi\cdot1^2=\pi.$ Bấm máy tính cầm tay (chẳng hạn fx-580VN X, dấu giá trị tuyệt đối dùng phím Abs) ta được

\[\begin{aligned}S_1&=\int_1^5\left|1+\sqrt{4-(x-3)^2}\right|dx-\pi\\&\approx10{,}2832-\pi\approx7{,}1416.\end{aligned}\]

• Phần phía dưới AD

Nửa dưới của đường tròn cắt AD khi $1-\sqrt{4-(x-3)^2}=0$ $\Leftrightarrow (x-3)^2=3$ $\Leftrightarrow x=3\pm\sqrt3.$ Bấm máy tính ta được

\[\begin{aligned}S_2&=\int_{3-\sqrt3}^{3+\sqrt3}\left|1-\sqrt{4-(x-3)^2}\right|dx\\&\approx2{,}4567.\end{aligned}\]

Diện tích miền tô đậm là $S=S_1+S_2\approx9{,}598.$

Vậy diện tích miền tô đậm khoảng 9,6.