Bài toán cửa vòm hình parabol lắp kính tròn và kính vuông, tính chi phí sơn phần còn lại là dạng toán thực tế ứng dụng tích phân của Toán 12 Chương IV (sách Kết nối tri thức). Bài toán có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Đề bài
Bài toán. Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/m². Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Lời giải
Hướng giải
Gắn hệ trục tọa độ để viết phương trình parabol, tính diện tích cửa bằng tích phân rồi trừ đi diện tích các tấm kính.
Ghi chú. Đề không ghi kích thước của cửa. Theo hình vẽ, tấm kính tròn trên cùng chạm đỉnh vòm, hai tấm kính tròn dưới cùng chạm chân cửa AB, nên cửa cao 4 m (tấm kính tròn trên, hai hàng kính vuông và hàng kính tròn dưới, mỗi phần cao 1 m), và hai đỉnh trên của hàng 4 tấm kính vuông nằm trên parabol.
• Phương trình parabol
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, O là trung điểm của AB, đơn vị trên trục là mét. Parabol có đỉnh $(0;4)$ nên có dạng $y=kx^2+4.$ Hàng 4 tấm kính vuông có hai đỉnh trên là $(\pm2;2)$ nằm trên parabol, nên $4k+4=2,$ suy ra $k=-\dfrac12.$ Vậy parabol là $y=-\dfrac{x^2}{2}+4.$
Parabol cắt trục Ox khi $-\dfrac{x^2}{2}+4=0\Leftrightarrow x=\pm2\sqrt2.$
• Diện tích phần sơn
Bấm máy tính cầm tay (chẳng hạn fx-580VN X, dấu giá trị tuyệt đối dùng phím Abs) ta được
\[S_{\text{cửa}}=\int_{-2\sqrt2}^{2\sqrt2}\left|-\dfrac{x^2}{2}+4\right|dx\approx15{,}085.\]Có 6 tấm kính vuông (diện tích mỗi tấm 1 m²) và 3 tấm kính tròn bán kính 0,5 m, nên diện tích phần sơn là
\[S=S_{\text{cửa}}-6-3\pi\cdot0{,}5^2\approx6{,}729.\]• Chi phí sơn $1{,}2\cdot S\approx8{,}07.$
Vậy chi phí sơn màu khoảng 8,1 triệu đồng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành được trình bày trong Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân; cách tính tích phân xem lại Bài 12. Tích phân.
Ảnh đề bài
Đề bài: cửa vòm hình parabol lắp các tấm kính tròn đường kính 1 m và kính vuông cạnh 1 m, tính chi phí sơn phần còn lại (ứng dụng tích phân, Toán 12).
