Bài toán hoa văn trang trí: hai đường tròn đồng tâm và bốn parabol – Ứng dụng tích phân Toán 12 (có lời giải)

Lời giải

• Diện tích hình vành khăn

\[S_1=\pi\left(20^2-16^2\right)=144\pi.\]

• Diện tích một cánh hoa

Chọn hệ trục Oxy có gốc O là tâm hai đường tròn, hai trục tọa độ là trục đối xứng của các parabol (đơn vị trên trục là cm). Hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ có các đỉnh nằm trên hai đường phân giác của các góc tọa độ và cách O một khoảng 16, nên đỉnh nằm trong góc phần tư thứ nhất là $M\left(8\sqrt2;8\sqrt2\right).$

Parabol có đỉnh O, trục đối xứng Oy có dạng $y=kx^2.$ Parabol đi qua M nên $8\sqrt2=k\cdot128,$ suy ra $k=\dfrac{1}{8\sqrt2},$ tức là $y=\dfrac{x^2}{8\sqrt2}.$

Tương tự, parabol có trục đối xứng Ox là $x=\dfrac{y^2}{8\sqrt2},$ phần nằm trong góc phần tư thứ nhất là $y=\sqrt{8\sqrt2\,x}.$

Cánh hoa trong góc phần tư thứ nhất là hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên, với $x$ đi từ 0 đến $8\sqrt2.$ Bấm máy tính cầm tay (chẳng hạn fx-580VN X, dấu giá trị tuyệt đối dùng phím Abs) ta được

\[\begin{aligned}S_2&=\int_0^{8\sqrt2}\left|\sqrt{8\sqrt2\,x}-\dfrac{x^2}{8\sqrt2}\right|dx\\&\approx42{,}667.\end{aligned}\]

• Diện tích phần tô đậm

Bốn cánh hoa bằng nhau nên diện tích phần tô đậm là

\[\begin{aligned}S&=S_1+4S_2\\&\approx144\pi+4\cdot42{,}667\approx623{,}06.\end{aligned}\]

Vậy diện tích phần tô đậm khoảng 623 cm².