Bài 16. Hàm số bậc hai – Toán 10 Kết nối tri thức (lý thuyết và bài tập có lời giải)

Lời giải

a) $a=1\gt 0,$ bề lõm quay lên. Hoành độ đỉnh $x_I=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2},$ tung độ đỉnh $y_I=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}.$ Đỉnh $I\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4}\right),$ trục đối xứng $x=\dfrac{3}{2}.$

Parabol cắt trục tung tại $(0;2),$ đi qua điểm đối xứng $(3;2)$ và cắt trục hoành tại $(1;0),$ $(2;0).$

b) $a=-2\lt 0,$ bề lõm quay xuống. Hoành độ đỉnh $x_I=-\dfrac{2}{2\cdot(-2)}=\dfrac{1}{2},$ tung độ đỉnh $y_I=-\dfrac{1}{2}+1+3=\dfrac{7}{2}.$ Đỉnh $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right),$ trục đối xứng $x=\dfrac{1}{2}.$

Parabol đi qua $(0;3),$ $(1;3),$ $(-1;-1),$ $(2;-1)$ và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ $\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2}$ (khoảng $-0{,}82$ và $1{,}82$).

c) $a=1\gt 0,$ bề lõm quay lên. Ta có $y=(x+1)^2,$ đỉnh $I(-1;0)$ nằm trên trục hoành, trục đối xứng $x=-1.$

Parabol đi qua $(0;1),$ $(-2;1),$ $(1;4),$ $(-3;4).$

d) $a=-1\lt 0,$ bề lõm quay xuống. Hoành độ đỉnh $x_I=\dfrac{1}{2},$ tung độ đỉnh $y_I=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{3}{4}.$ Đỉnh $I\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4}\right),$ trục đối xứng $x=\dfrac{1}{2}.$

Parabol không cắt trục hoành ($\Delta=1-4\lt 0$), đi qua $(0;-1),$ $(1;-1),$ $(-1;-3),$ $(2;-3).$

Lời giải

Đọc đồ thị từ trái sang phải: đoạn đi xuống là khoảng nghịch biến, đoạn đi lên là khoảng đồng biến; điểm đổi chiều chính là đỉnh.

a) $y=x^2-3x+2$ nghịch biến trên $\left(-\infty;\dfrac{3}{2}\right)$ và đồng biến trên $\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right).$

b) $y=-2x^2+2x+3$ đồng biến trên $\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right).$

c) $y=x^2+2x+1$ nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và đồng biến trên $(-1;+\infty).$

d) $y=-x^2+x-1$ đồng biến trên $\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right).$

Lời giải

Vì là parabol nên $a\ne 0.$

a) Thay tọa độ hai điểm vào $y=ax^2+bx+1$:

+ Đi qua $A(1;0)$ nên $a+b+1=0$ (1).

+ Đi qua $B(2;4)$ nên $4a+2b+1=4$ (2).

Giải hệ (1), (2) ta được $a=\dfrac{5}{2}$ và $b=-\dfrac{7}{2}.$ Vậy $y=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{7}{2}x+1.$

b) Đi qua $A(1;0)$ nên $a+b+1=0$ (1). Trục đối xứng $x=1$ nên $-\dfrac{b}{2a}=1,$ tức là $b=-2a$ (2).

Giải hệ (1), (2) ta được $a=1$ và $b=-2.$ Vậy $y=x^2-2x+1.$

c) Đỉnh $I(1;2)$ nên $-\dfrac{b}{2a}=1,$ tức là $b=-2a$ (1); và $I$ thuộc parabol nên $a+b+1=2$ (2).

Giải hệ (1), (2) ta được $a=-1$ và $b=2.$ Vậy $y=-x^2+2x+1.$

d) Đi qua $C(-1;1)$ nên $a-b+1=1,$ tức là $b=a.$ Khi đó $y=ax^2+ax+1$ có hoành độ đỉnh $x_I=-\dfrac{a}{2a}=-\dfrac{1}{2},$ nên tung độ đỉnh là

\[y_I=a\cdot\frac{1}{4}-\frac{a}{2}+1=1-\frac{a}{4}.\]

Từ $1-\dfrac{a}{4}=-0{,}25$ suy ra $a=5,$ $b=5.$ Vậy $y=5x^2+5x+1.$

Lời giải

Parabol có đỉnh $I(6;-12)$ nên có dạng $y=a(x-6)^2-12$ $(a\ne 0).$

Parabol đi qua $A(8;0)$ nên $a(8-6)^2-12=0,$ suy ra $4a=12,$ tức là $a=3.$

Vậy $y=3(x-6)^2-12,$ hay $y=3x^2-36x+96.$

Lời giải

Ta dùng hai ý: bề lõm quay lên khi $a\gt 0,$ quay xuống khi $a\lt 0;$ số giao điểm của (P) với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0,$ tức là phụ thuộc dấu của $\Delta.$

a) (P) nằm trên trục hoành nên bề lõm quay lên và không cắt trục hoành: $a\gt 0,$ $\Delta\lt 0.$

b) (P) nằm dưới trục hoành nên bề lõm quay xuống và không cắt trục hoành: $a\lt 0,$ $\Delta\lt 0.$

c) Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên $\Delta\gt 0;$ đỉnh nằm dưới trục hoành mà parabol vẫn cắt trục hoành thì bề lõm phải quay lên, nên $a\gt 0.$

d) Tiếp xúc với trục hoành nên $\Delta=0;$ nằm phía trên trục hoành nên bề lõm quay lên, $a\gt 0.$

Lời giải

Chọn hệ trục như hình: gốc O là trung điểm hai chân cổng A, B trên mặt đất, trục Oy là trục đối xứng. Khi đó $A(-4;0),$ $B(4;0);$ điểm trên mặt đất cách chân cổng A 0,5 m có hoành độ $-3{,}5,$ nên điểm D trên cổng phía trên nó là $D(-3{,}5;2{,}93).$

Parabol nhận Oy làm trục đối xứng nên có dạng $y=ax^2+c$ $(a\ne 0).$

+ Đi qua $B(4;0)$ nên $16a+c=0$ (1).

+ Đi qua $D(-3{,}5;2{,}93)$ nên $12{,}25a+c=2{,}93$ (2).

Giải hệ (1), (2) ta được $a=-\dfrac{293}{375}$ và $c=\dfrac{4688}{375}\approx 12{,}5.$

Chiều cao của cổng là tung độ đỉnh $c\approx 12{,}5$ m. Vậy kết quả 12 m của An không chính xác, Bình nói đúng.

Lời giải

a) Chu vi mảnh vườn là 40 m nên nửa chu vi là 20 m, chiều dài bằng $20-x$ (m), với $0\lt x\lt 20.$ Diện tích mảnh vườn là

\[\begin{aligned}S(x)&=x(20-x)\\&=-x^2+20x\ \ (\text{m}^2).\end{aligned}\]

b) $S(x)$ là hàm số bậc hai có $a=-1\lt 0,$ nên đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh $x=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10.$ Khi đó $S(10)=100$ m².

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất 100 m² khi nó là hình vuông cạnh 10 m.

Lời giải

a) Hàm số có $a=-\dfrac{3}{1000}\lt 0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Hoành độ đỉnh là

\[x_I=-\frac{1}{2\cdot\left(-\frac{3}{1000}\right)}=\frac{500}{3}.\]

Tung độ đỉnh là

\[\begin{aligned}y_I&=-\frac{3}{1000}\cdot\left(\frac{500}{3}\right)^2+\frac{500}{3}\\&=\frac{250}{3}.\end{aligned}\]

Vậy độ cao lớn nhất của vật là $\dfrac{250}{3}\approx 83{,}33$ m.

b) Vật chạm đất khi $y=0$:

\[\begin{aligned}&-\frac{3}{1000}x^2+x=0\\&\Leftrightarrow x=0\ \text{hoặc}\ x=\frac{1000}{3}.\end{aligned}\]

$x=0$ là điểm ném, nên điểm chạm đất có hoành độ $\dfrac{1000}{3}.$ Vậy tầm xa của quỹ đạo là $\dfrac{1000}{3}\approx 333{,}33$ m.