Nếu một người quay ngược thời gian và ngăn ông nội mình gặp bà nội thì người đó có còn được sinh ra không? Bài viết Nghịch lý người ông trong mục Toán học quanh ta giới thiệu nghịch lý du hành ngược thời gian nổi tiếng nhất và cách các nhà khoa học dùng phương trình, điểm bất động, hàm số liên tục và xác suất để gỡ nút thắt của nó.
1. Nghịch lý người ông là gì?
Hãy tưởng tượng một cỗ máy thời gian. Bạn bước vào, trở về năm ông nội còn là một chàng trai trẻ và vô tình làm ông lỡ buổi gặp bà nội. Hai ông bà không cưới nhau, bố bạn không ra đời, và bạn cũng không bao giờ được sinh ra.
Nhưng nếu bạn không được sinh ra thì ai đã ngồi vào cỗ máy thời gian? Không có ai quay về, nên ông vẫn gặp bà, bố bạn vẫn ra đời, bạn vẫn được sinh ra… rồi bạn lại quay về và ngăn ông gặp bà. Lập luận cứ xoay vòng mãi mà không dừng ở một kết cục nào. Đó là nghịch lý người ông (grandfather paradox).
Ý tưởng này xuất hiện trong văn học từ những năm 1940, nổi tiếng nhất là tiểu thuyết Le Voyageur imprudent (Người du hành khinh suất) của nhà văn Pháp René Barjavel. Nó không chỉ là chuyện viễn tưởng. Năm 1949, nhà toán học Kurt Gödel tìm ra một nghiệm của phương trình thuyết tương đối rộng Einstein, trong đó tồn tại những “vòng thời gian khép kín”, tức là đi mãi theo một đường trong không – thời gian lại quay về đúng thời điểm xuất phát. Năm 1988, nhóm của nhà vật lí Kip Thorne chỉ ra rằng về lí thuyết, một “lỗ sâu” (wormhole) cũng có thể biến thành cỗ máy thời gian. Từ đó, câu hỏi “nếu quay về quá khứ thì có mâu thuẫn không?” trở thành câu hỏi nghiêm túc của khoa học.
2. Viết nghịch lý thành một phương trình
Toán học giúp ta nhìn nghịch lý thật gọn. Gọi $p$ là giá trị đúng sai của mệnh đề “Bạn được sinh ra”, quy ước $p=1$ nếu mệnh đề đúng và $p=0$ nếu mệnh đề sai (xem lại Bài 1. Mệnh đề).
Chuyến du hành biến lịch sử ban đầu thành lịch sử sau một vòng, kí hiệu là $f(p).$
• Nếu $p=1$ thì bạn được sinh ra, bạn quay về ngăn ông gặp bà, nên bạn không được sinh ra, tức là $f(1)=0.$
• Nếu $p=0$ thì không có ai quay về, ông vẫn gặp bà, nên bạn được sinh ra, tức là $f(0)=1.$
Vậy $f(p)=1-p.$ Một lịch sử chỉ “đứng vững” khi đi hết một vòng nó vẫn là chính nó, nghĩa là
\[p=f(p).\]
Với nghịch lý người ông, điều kiện này là $p=1-p,$ suy ra $p=\dfrac12.$ Nhưng $p$ chỉ được nhận giá trị $0$ hoặc $1$ nên phương trình vô nghiệm. Nghịch lý chính là một phương trình không có nghiệm!
Ngược lại, có những chuyện du hành thời gian mà phương trình lại có quá nhiều nghiệm. Ví dụ, một người từ tương lai mang về cuốn sách giải toán và đưa cho chính tác giả của nó lúc còn trẻ, tác giả chép lại và in ra, cuốn sách in ấy về sau được mang về quá khứ. Ở đây $f(p)=p,$ cả $p=0$ và $p=1$ đều thỏa mãn, nhưng không ai biết cuốn sách ban đầu do ai nghĩ ra. Người ta gọi đó là nghịch lý vòng lặp tự khởi (bootstrap paradox).
Ghi chú. Số $x_0$ thỏa mãn $f(x_0)=x_0$ được gọi là điểm bất động của hàm số $f.$ Trên đồ thị, đó là hoành độ giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ với đường thẳng $y=x.$ Mọi câu hỏi về nghịch lý thời gian quy về một câu hỏi rất “học trò” là phương trình $x=f(x)$ có nghiệm hay không, và có bao nhiêu nghiệm.
3. Quả bi-a của Polchinski và cú va “sượt qua”
Để tránh những tranh cãi về ý chí con người, năm 1990 nhà vật lí Joseph Polchinski đưa ra một phiên bản “vô tri” của nghịch lý. Một quả bi-a lăn vào miệng của lỗ sâu, đi ngược thời gian và chui ra ở miệng còn lại vào lúc sớm hơn. Nếu nó chui ra đúng lúc, đúng hướng, nó sẽ va thẳng vào chính nó lúc trước, hất văng bản thân ra khỏi đường vào lỗ sâu. Khi đó quả bi không vào lỗ sâu, nên cũng không có quả bi nào chui ra để va… Lại là nghịch lý người ông.
Năm 1991, hai sinh viên Fernando Echeverria, Gunnar Klinkhammer cùng thầy Kip Thorne (Viện Công nghệ California) tính toán kỹ và phát hiện điều bất ngờ. Bên cạnh đường đi gây mâu thuẫn luôn có những đường đi tự nhất quán, trong đó quả bi từ tương lai chỉ va sượt vào chính nó. Cú va sượt làm quả bi lúc đầu lệch hướng một chút, nhưng nó vẫn chui vào lỗ sâu, và chính độ lệch ấy đưa nó ra ở đúng góc để tạo ra đúng cú va sượt đó. Họ còn thấy có những vị trí ban đầu cho vô số đường đi tự nhất quán khác nhau.
Vì sao luôn có lối thoát? Ta xây một mô hình đơn giản (chỉ để minh họa ý tưởng, không phải số đo thật).
• Ẩn số. Gọi $x\in[0;1]$ là độ mạnh của cú va, với $x=0$ là hai quả bi không chạm nhau và $x=1$ là va thẳng trực diện.
• Hàm số. Bị va với độ mạnh $x,$ quả bi lúc đầu đi lệch, vào lỗ sâu (hoặc không) rồi quay lại va với độ mạnh $f(x).$ Nếu không bị va thì nó vào lỗ sâu theo đường thẳng và quay lại va trực diện, nên $f(0)=1.$ Nếu bị va trực diện thì nó văng ra, không vào lỗ sâu, nên không có cú va nào, tức là $f(1)=0.$ Va mạnh hơn một chút thì đường đi chỉ đổi một chút, nên ta coi $f$ là hàm số liên tục trên đoạn $[0;1].$
• Điều kiện tự nhất quán. Cú va gây ra phải trùng với cú va nhận vào, tức là $f(x)=x.$
Xét $g(x)=f(x)-x.$ Hàm số $g$ liên tục trên $[0;1]$ và
\[g(0)=1\gt 0,\quad g(1)=-1\lt 0.\]
Theo tính chất của hàm số liên tục mà các em học ở lớp 11 (xem Bài 17. Hàm số liên tục), phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm $c\in(0;1),$ tức là $f(c)=c.$ Nghiệm $c$ nằm giữa $0$ và $1,$ đúng là một cú va sượt, không trượt hẳn mà cũng không trực diện. Kết luận này đúng với mọi hàm số liên tục có $f(0)=1$ và $f(1)=0,$ dù ta không biết công thức cụ thể của $f.$
Hình trên vẽ ví dụ $f(x)=1-x^2.$ Đường cong đi từ điểm cao $(0;1)$ xuống điểm thấp $(1;0)$ nên bắt buộc phải cắt đường chéo $y=x.$ Giao điểm ấy chính là “lịch sử tự nhất quán”.
Còn trong câu chuyện người ông, $p$ chỉ có hai giá trị $0$ và $1,$ hàm số “nhảy cóc” chứ không đi qua các giá trị trung gian, nên không có gì bảo đảm phương trình có nghiệm. Thế giới thật thì khác, giữa “thành công” và “thất bại” có vô số khả năng ở giữa như trượt chân, lỡ chuyến xe, quên địa chỉ…
4. Nguyên lý tự nhất quán của Novikov
Từ giữa những năm 1980, nhà vật lí người Nga Igor Novikov đề xuất một quy tắc mà nay mang tên ông. Nếu du hành ngược thời gian là có thể thì chỉ những lịch sử tự nhất quán mới xảy ra, còn sự kiện nào gây ra mâu thuẫn thì có xác suất bằng $0.$ Nói theo ngôn ngữ toán học, lịch sử thật luôn là một điểm bất động. Bạn vẫn có thể quay về và gặp ông nội, nhưng mọi cố gắng thay đổi quá khứ đều sẽ “trục trặc” theo một cách nào đó, và có khi chính chuyến đi của bạn lại là một phần của quá khứ vốn có.
Năm 2020, Germain Tobar (khi đó là sinh viên) và Fabio Costa ở Đại học Queensland (Úc) công bố trên tạp chí Classical and Quantum Gravity một loạt quá trình toán học trong đó các vùng không – thời gian nối với nhau thành vòng lặp mà vẫn không có mâu thuẫn. Họ lấy ví dụ một người quay về quá khứ để ngăn “bệnh nhân số 0” của một đại dịch. Theo mô hình của họ, mầm bệnh vẫn sẽ lây lan theo một con đường khác, nên đại dịch vẫn xảy ra và lịch sử vẫn nhất quán. Người du hành có tự do hành động, nhưng các sự kiện luôn tự điều chỉnh để không sinh ra mâu thuẫn.
5. Lời giải bằng xác suất của David Deutsch
Năm 1991, nhà vật lí David Deutsch (Đại học Oxford) đề xuất một cách gỡ khác dựa trên cơ học lượng tử. Ý tưởng chính có thể hiểu bằng xác suất của lớp 10. Thay vì hỏi “bạn có được sinh ra không” (chỉ có $0$ hoặc $1),$ ta hỏi “bạn được sinh ra với xác suất bao nhiêu”.
Gọi $p$ là xác suất bạn được sinh ra. Mỗi khi bạn được sinh ra thì bạn quay về ngăn ông gặp bà, nên sau một vòng thời gian, xác suất bạn được sinh ra trở thành $1-p.$ Điều kiện tự nhất quán là
\[p=1-p\Leftrightarrow p=\dfrac12.\]
Lần này $p=\dfrac12$ là một giá trị hợp lệ, vì xác suất được phép là mọi số trong đoạn $[0;1].$ Kết luận nghe lạ tai nhưng không mâu thuẫn. Bạn được sinh ra với xác suất một nửa, và nếu được sinh ra thì bạn quay về ngăn ông gặp bà, nên bạn được sinh ra với xác suất một nửa.
Điều thú vị là đây vẫn là định lý ở mục 3. Khi mở rộng tập giá trị từ hai số $\{0;1\}$ thành cả đoạn $[0;1],$ hàm số $f(p)=1-p$ trở thành hàm liên tục, đi từ $f(0)=1$ xuống $f(1)=0,$ nên chắc chắn có điểm bất động. Các nhà khoa học máy tính Scott Aaronson và John Watrous nhận xét rằng cách gỡ của Deutsch dùng được cả cho xác suất thông thường, không riêng cho lượng tử. Điều cốt lõi là tập trạng thái phải đủ “liền mạch” để điểm bất động luôn tồn tại.
6. Vậy có quay về quá khứ được không?
Toán học không chứng minh được rằng du hành ngược thời gian là có thật. Điều toán học làm được là chỉ ra rằng nếu vòng thời gian khép kín tồn tại thì nghịch lý chưa chắc đã xảy ra, miễn là lịch sử là một nghiệm của phương trình $x=f(x).$ Còn cỗ máy thời gian có làm ra được hay không là việc của vật lí, và đến nay câu trả lời vẫn còn bỏ ngỏ. Muốn giữ một lỗ sâu mở ra để đi qua, người ta cần một loại “vật chất lạ” chưa ai tìm thấy. Nhà vật lí Stephen Hawking thậm chí cho rằng có một quy luật tự nhiên nào đó ngăn cản cỗ máy thời gian hình thành. Cũng có ý kiến cho rằng người du hành sẽ rẽ sang một nhánh lịch sử khác (một “vũ trụ song song”), nên không có mâu thuẫn nào cả.
Dù câu trả lời cuối cùng là gì, nghịch lý người ông là một ví dụ đẹp cho thấy một định lý tưởng như khô khan trong sách giáo khoa lớp 11 lại có thể dùng để suy nghĩ về những câu hỏi lớn nhất của vũ trụ.
7. Thử sức cùng nghịch lý
Câu 1. Trong mô hình quả bi-a ở mục 3, giả sử $f(x)=1-x^2$ với $x\in[0;1].$ Tìm độ mạnh $c$ của cú va sượt tự nhất quán.
Lời giải
Cú va tự nhất quán thỏa mãn $f(c)=c,$ tức là
\[1-c^2=c\Leftrightarrow c^2+c-1=0.\]
Phương trình có hai nghiệm $c=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ và $c=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}.$ Vì $c\in[0;1]$ nên ta loại nghiệm âm và được
\[c=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0{,}618.\]
Thật thú vị, đây chính là nghịch đảo của tỉ số vàng $\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618.$
Câu 2. Chứng minh rằng phương trình $\cos x=x$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right).$ (Nghiệm này là điểm bất động của hàm số $y=\cos x.)$
Lời giải
Xét $g(x)=\cos x-x,$ hàm số này liên tục trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right].$
Ta có $g(0)=1\gt 0$ và $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\lt 0.$
Suy ra $g(0)\cdot g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\lt 0,$ nên phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right),$ tức là $\cos x=x$ có nghiệm trong khoảng đó.
Bấm máy tính (để ở chế độ radian) ta được nghiệm $x\approx 0{,}739.$
Câu 3. Cỗ máy thời gian chỉ hoạt động với xác suất $q$ $(0\lt q\le 1).$ Nếu được sinh ra, bạn sẽ dùng cỗ máy để quay về ngăn ông gặp bà, và nếu cỗ máy hoạt động thì bạn thành công. Theo cách của Deutsch, tìm xác suất $p$ bạn được sinh ra.
Lời giải
Bạn không được sinh ra khi và chỉ khi bạn được sinh ra (xác suất $p)$ và cỗ máy hoạt động (xác suất $q),$ hai việc này độc lập nên xác suất là $pq.$
Sau một vòng thời gian, xác suất bạn được sinh ra là $1-pq.$ Điều kiện tự nhất quán là
\[\begin{aligned}p=1-pq&\Leftrightarrow p(1+q)=1\\&\Leftrightarrow p=\dfrac{1}{1+q}.\end{aligned}\]
Với $q=1$ (cỗ máy luôn hoạt động) ta được lại $p=\dfrac12$ như ở mục 5. Cỗ máy càng kém tin cậy ($q$ càng nhỏ) thì $p$ càng gần $1.$
Tài liệu tham khảo
• F. Echeverria, G. Klinkhammer, K. S. Thorne (1991), Billiard balls in wormhole spacetimes with closed timelike curves: Classical theory, Physical Review D 44, 1077.
• G. Tobar, F. Costa (2020), Reversible dynamics with closed time-like curves and freedom of choice, Classical and Quantum Gravity 37, 205011. Tin của Đại học Queensland: news.uq.edu.au.
• S. Aaronson, J. Watrous (2008), Closed Timelike Curves Make Quantum and Classical Computing Equivalent, arXiv:0808.2669.
• B. Shoshany (2019), Lectures on Faster-than-Light Travel and Time Travel, mục 7.4, arXiv:1907.04178.
• Wikipedia, Novikov self-consistency principle (tiếng Anh).
• 网易, 诺维科夫：就算通过虫洞回到过去，你也无法改变历史 (tiếng Trung).
Bình luận
Viết bình luận của bạn