Tích của vectơ với một số - Toán 10 - Đề bài và Lời giải chi tiết tất cả các dạng bài

Lời giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\vec{0}.$ Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}.$ Cộng vế theo vế ta được

\[\begin{aligned}&2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD})\\&\quad +(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN})\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}.\end{aligned}\]

b) Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BN}.$ Cộng vế theo vế ta được

\[\begin{aligned}&2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD})\\&\quad +(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BN})\\&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}.\end{aligned}\]

c) Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{DJ}=\vec{0}.$ Ta có $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}$ và $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DJ}.$ Cộng vế theo vế ta được

\[\begin{aligned}&2\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\&\quad +(\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{DJ})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}.\end{aligned}\]

d) Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$ (theo câu c).

Lời giải

a) Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$ và $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}.$ Mà G là trung điểm của EF nên

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\\&=2(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=\vec{0}.\end{aligned}\]

b) Theo câu a ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=-\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\\&=3\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})\\&=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=4\overrightarrow{AG}.\end{aligned}\]

c) Chèn điểm G vào mỗi vectơ và dùng câu a, ta được

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OG}\\&\quad +(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})\\&=4\overrightarrow{OG}.\end{aligned}\]

Vậy $\overrightarrow{OG}=\dfrac14(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).$

Lời giải

Vì I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD nên

\[\overrightarrow{AI}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC});\] \[\overrightarrow{JA}=-\overrightarrow{AJ}=-\dfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).\]

Suy ra

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}\\&\quad +\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}\\&\quad -\overrightarrow{AD}=\dfrac32(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\dfrac32\overrightarrow{DB}.\end{aligned}\]

Vậy $2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA})=3\overrightarrow{DB}.$

Lời giải

a) Vì I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OJ}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}\\&\Leftrightarrow2\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{OJ}=\vec{0}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}=\vec{0}.\end{aligned}\]

Vậy O là trung điểm của IJ.

b) Ta có $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}$ và $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}.$ Vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}$ nên cộng vế theo vế ta được $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC},$ suy ra

\[\overrightarrow{IJ}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}).\]

Lời giải

a) Vì O là trung điểm của AC và BD nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.$ Cộng lại ta được $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.$

b) Ta có $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ $(ABCD$ là hình bình hành). Do đó $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}.$

c) Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}.$ Do đó $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}.$

d) Vì O là trung điểm của AC và của BD nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}.$ Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}.$

Lời giải

a) Vì P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB},$ suy ra $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{PM}.$ Mà PM là đường trung bình của tam giác ABC nên $\overrightarrow{PM}=\dfrac12\overrightarrow{AC}.$ Vậy $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}=\dfrac12\overrightarrow{AC}.$

b) Ta có $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BP}=\vec{0}.$ Lại có $\overrightarrow{BM}=\dfrac12\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{AN}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ và P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CP},$ tức là $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{PC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}\\&=\dfrac12\overrightarrow{BC}+\dfrac12\overrightarrow{AC}\\&=\dfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{PC}.\end{aligned}\]

c) Vì M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB nên

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\&\quad +\dfrac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})+\dfrac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\\&=\vec{0}.\end{aligned}\]

d) Ta có $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN},$ $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}.$ Cộng vế theo vế và dùng câu c, ta được

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\&\quad +\overrightarrow{OC}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})\\&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\end{aligned}\]

Lời giải

a) Vì O là trung điểm của các đường chéo AD, BE, CF nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\vec{0},$ $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\vec{0},$ $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}=\vec{0}.$ Cộng lại ta được điều phải chứng minh.

b) Tam giác ACE đều và nhận O làm tâm, nên O là trọng tâm của tam giác ACE, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}=\vec{0}.$ Tương tự, O là trọng tâm của tam giác đều BDF nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}=\vec{0}.$ Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}$ $=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}.$

c) Lục giác đều được chia thành 6 tam giác đều chung đỉnh O, nên các tứ giác AFEO, EDCO, CBAO đều là hình thoi. Suy ra $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OE},$ $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{OC},$ $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}.$ Do đó, theo câu b,

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}\\&=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=\vec{0}.\end{aligned}\]

Lời giải

Ý chính là qua M kẻ các đường thẳng song song với ba cạnh để tạo ra các tam giác đều nhỏ, mỗi tam giác nhận một trong các điểm D, E, F làm trung điểm cạnh đáy.

• Dựng hình

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC, CA lần lượt tại A₁, B₂; kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC, AB lần lượt tại A₂, C₁; kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CA, AB lần lượt tại B₁, C₂.

• Biểu diễn $\overrightarrow{MD},$ $\overrightarrow{ME},$ $\overrightarrow{MF}$

Tam giác MA₁A₂ có $\widehat{MA_1A_2}=\widehat{ABC}=60^\circ$ và $\widehat{MA_2A_1}=\widehat{ACB}=60^\circ$ nên là tam giác đều. Đường cao MD cũng là trung tuyến, do đó D là trung điểm của A₁A₂, suy ra $\overrightarrow{MD}=\dfrac12(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}).$

Tương tự, các tam giác MB₁B₂, MC₁C₂ đều nên

\[\overrightarrow{ME}=\dfrac12(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2});\] \[\overrightarrow{MF}=\dfrac12(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}).\]

• Ghép thành các hình bình hành

Các tứ giác AC₁MB₂, BA₁MC₂, CA₂MB₁ có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. Theo quy tắc hình bình hành ta có

\[\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MB_2}=\overrightarrow{MA};\] \[\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MC_2}=\overrightarrow{MB};\] \[\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}=\overrightarrow{MC}.\]

• Kết luận

Cộng các đẳng thức ở ý thứ hai, rồi dùng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$ $(O$ là trọng tâm tam giác đều ABC), ta được

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\\&=\dfrac12(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})\\&=\dfrac12\cdot3\overrightarrow{MO}=\dfrac32\overrightarrow{MO}.\end{aligned}\]

Lời giải

a) Vẽ đường kính AD của đường tròn $(O).$

• Tứ giác BHCD là hình bình hành

Vì AD là đường kính nên $\widehat{ACD}=90^\circ,$ tức là $DC\perp AC.$ Mà $BH\perp AC$ nên $BH\parallel DC.$ Tương tự, $DB\perp AB$ và $CH\perp AB$ nên $CH\parallel DB.$ Vậy BHCD là hình bình hành.

• Suy ra đẳng thức

Do đó trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HD. Trong tam giác AHD, OM là đường trung bình $(O$ là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD), suy ra $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}.$

b) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AH}.$ Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}$ $=\overrightarrow{OH}.$

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$ Kết hợp câu b ta được $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG},$ nên ba điểm G, H, O thẳng hàng (nếu tam giác ABC đều thì ba điểm này trùng nhau).

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'},$ $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'},$ $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}.$ Cộng vế theo vế ta được

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\\&=-(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+3\overrightarrow{GG'}\\&\quad +(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}).\end{aligned}\]

Vì G, G′ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=\vec{0}.$ Vậy $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}.$

b) Hai tam giác có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{GG'}=\vec{0},$ tức là $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\vec{0}.$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$ $=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=k\overrightarrow{AA}=\vec{0}.$ Theo Câu 10b, hai tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.

Lời giải

Theo Câu 10b, ta cần chứng minh $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}=\vec{0}.$ Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên $\overrightarrow{NM}=\dfrac12\overrightarrow{CA}.$ Trong tam giác ACD, PQ là đường trung bình nên $\overrightarrow{PQ}=\dfrac12\overrightarrow{CA}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}\\&=\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{CA}+\dfrac12\overrightarrow{CA}\\&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}.\end{aligned}\]

Vậy hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Lời giải

Vì G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA₁, CAB₁, ABC₁ nên

\[3\overrightarrow{GG_1}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA_1};\] \[3\overrightarrow{GG_2}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB_1};\] \[3\overrightarrow{GG_3}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC_1}.\]

Cộng vế theo vế ta được

\[\begin{aligned}&3(\overrightarrow{GG_1}+\overrightarrow{GG_2}+\overrightarrow{GG_3})\\&=2(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\\&\quad +(\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GB_1}+\overrightarrow{GC_1})=\vec{0},\end{aligned}\]

vì G là trọng tâm của cả hai tam giác ABC và A₁B₁C₁. Suy ra $\overrightarrow{GG_1}+\overrightarrow{GG_2}+\overrightarrow{GG_3}=\vec{0},$ tức là G là trọng tâm tam giác G₁G₂G₃.

Lời giải

Lấy điểm O bất kỳ. Vì P, R, T là trung điểm của AB, CD, EF nên

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OT}=\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\&\quad +\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}).\end{aligned}\]

Tương tự, vì Q, S, U là trung điểm của BC, DE, FA nên $\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OU}$ cũng bằng biểu thức trên. Gọi G, G′ lần lượt là trọng tâm tam giác PRT và QSU, ta có

\[\begin{aligned}&3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OT}\\&=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OU}=3\overrightarrow{OG'}.\end{aligned}\]

Suy ra $\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OG'},$ tức là G trùng G′. Vậy hai tam giác PRT và QSU có cùng trọng tâm.

Lời giải

a) Chèn điểm A vào $\overrightarrow{IB},$ ta có

\[\begin{aligned}&2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=3\overrightarrow{BC}\\&\Leftrightarrow2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BC}\\&\Leftrightarrow-\overrightarrow{IA}=3(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Vậy I nằm trên tia AC và $AI=3AC.$

b) Gọi E là trung điểm của AB, ta có $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JE}.$ Đẳng thức trở thành $2\overrightarrow{JE}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0},$ tức là $\overrightarrow{JE}+\overrightarrow{JC}=\vec{0}.$ Vậy J là trung điểm của EC.

c) Chèn điểm C vào $\overrightarrow{KA},$ $\overrightarrow{KB},$ ta có

\[\begin{aligned}&2(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CB})\\&=2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\\&\Leftrightarrow3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{CK}=\dfrac13\overrightarrow{BA}.\end{aligned}\]

Vậy K nằm trên đường thẳng qua C song song với AB, $\overrightarrow{CK}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BA}$ và $CK=\dfrac13AB.$

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{CB}$ nên đẳng thức trở thành $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC},$ tức là $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{BC},$ hay $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{CB}.$ Vậy I là điểm sao cho $\overrightarrow{AI}$ cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$ và $AI=2BC.$

b) Gọi G là trọng tâm và M là trung điểm của BC. Ta có $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG}$ và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}.$ Đẳng thức trở thành $3\overrightarrow{JG}=3\overrightarrow{AG},$ suy ra J trùng A.

c) Gọi M là trung điểm của BC thì $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KM}.$ Đẳng thức trở thành $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KM}=\vec{0}.$ Chèn điểm A vào $\overrightarrow{KM},$ ta được $5\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AM}=\vec{0},$ suy ra $\overrightarrow{AK}=\dfrac25\overrightarrow{AM}.$ Vậy K nằm trên đoạn AM và $AK=\dfrac25AM.$

d) Chèn điểm A vào $\overrightarrow{LB},$ $\overrightarrow{LC},$ ta có

\[\begin{aligned}&3\overrightarrow{LA}-2(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AC})\\&=\vec{0}\Leftrightarrow2\overrightarrow{LA}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AL}=\dfrac12\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.\end{aligned}\]

Gọi N là trung điểm của AC thì $\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BN}.$ Vậy L là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABNL.

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow{IA}+2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0}$ $\Leftrightarrow3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac23\overrightarrow{AB}.$ Vậy I nằm trên đoạn AB và $AI=\dfrac23AB.$

b) Ta có $3\overrightarrow{JA}+2(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0}$ $\Leftrightarrow5\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AJ}=\dfrac25\overrightarrow{AB}.$ Vậy J nằm trên đoạn AB và $AJ=\dfrac25AB.$

c) Ta có $\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{CB}$ nên đẳng thức trở thành $2\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB},$ suy ra $2\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$ hay $\overrightarrow{AK}=\dfrac12\overrightarrow{CA}.$ Vậy K nằm trên tia đối của tia AC và $AK=\dfrac12AC.$

d) Chèn điểm A vào $\overrightarrow{LB},$ $\overrightarrow{LC},$ ta có

\[\begin{aligned}&3\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\\&\Leftrightarrow3\overrightarrow{LA}=-2\overrightarrow{AB}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AL}=\dfrac23\overrightarrow{AB}.\end{aligned}\]

Vậy L nằm trên đoạn AB và $AL=\dfrac23AB$ $(L$ trùng với điểm I ở câu a).

Lời giải

a) Chèn điểm A vào $\overrightarrow{OB},$ $\overrightarrow{OC},$ ta có

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{OA}+2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})+3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})\\&=\vec{0}\Leftrightarrow6\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AO}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Lấy P trên đoạn AB với $AP=\dfrac13AB$ và Q là trung điểm của AC thì $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}.$ Vậy O là đỉnh thứ tư của hình bình hành APOQ.

b) Gọi M₁, N₁ lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM_1}$ và $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN_1},$ nên đẳng thức trở thành $\overrightarrow{IM_1}+\overrightarrow{IN_1}=\vec{0}.$ Vậy I là trung điểm của đoạn M₁N₁.

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và P là trung điểm của DE. Ta có $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}$ và $\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE}=2\overrightarrow{KP},$ nên đẳng thức trở thành $3\overrightarrow{KG}+6\overrightarrow{KP}=\vec{0},$ tức là $\overrightarrow{KG}=-2\overrightarrow{KP}.$ Chèn điểm G vào $\overrightarrow{KP}$ ta được $\overrightarrow{GK}=\dfrac23\overrightarrow{GP}.$ Vậy K nằm trên đoạn GP và $GK=\dfrac23GP.$

d) Gọi N là trung điểm của AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MN}.$ Đẳng thức trở thành $2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}.$ Chèn điểm N vào $\overrightarrow{MC},$ ta được $5\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},$ suy ra $\overrightarrow{NM}=\dfrac35\overrightarrow{NC}.$ Vậy M nằm trên đoạn NC và $NM=\dfrac35NC.$

Lời giải

a) Chèn điểm D vào vế trái, ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$ $=3\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}.$ Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB},$ do đó đẳng thức trở thành

\[\begin{aligned}&3\overrightarrow{ID}+2\overrightarrow{DB}=4\overrightarrow{ID}\Leftrightarrow\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{DB}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{DI}=2\overrightarrow{BD}.\end{aligned}\]

Vậy I nằm trên tia đối của tia DB và $DI=2BD.$

b) Chuyển vế rồi chèn điểm A, ta có

\[\begin{aligned}&2\overrightarrow{JA}+2(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})\\&\quad +(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AD})=\vec{0}\\&\Leftrightarrow2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\\&=\vec{0}.\end{aligned}\]

Thay $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ta được $2\overrightarrow{JA}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD},$ suy ra $\overrightarrow{AJ}=-\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AB}\right).$ Gọi N là trung điểm của CD thì $\overrightarrow{DN}=\dfrac12\overrightarrow{AB},$ nên $\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AN}.$ Do đó $\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AN}.$ Vậy J là điểm đối xứng với N qua A.

c) Vì O là trung điểm của AC và BD nên $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KO}$ và $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{KO}.$ Ta tách

\[\begin{aligned}&4\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{KA}\\&\quad +2\overrightarrow{KB}+2(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC})\\&\quad +(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KD})\\&=2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+6\overrightarrow{KO}.\end{aligned}\]

Gọi E là trung điểm của AB thì $2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=4\overrightarrow{KE},$ đẳng thức trở thành $4\overrightarrow{KE}+6\overrightarrow{KO}=\vec{0}.$ Chèn điểm E vào $\overrightarrow{KO}$ ta được $10\overrightarrow{KE}+6\overrightarrow{EO}=\vec{0},$ suy ra $\overrightarrow{EK}=\dfrac35\overrightarrow{EO}.$ Vậy K nằm trên đoạn EO và $EK=\dfrac35EO.$

Lời giải

a) Gọi I là trung điểm của AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.$ Đẳng thức trở thành $2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0},$ tức là $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}.$ Vậy M là trung điểm của IC.

b) Chèn điểm A vào $\overrightarrow{NB},$ $\overrightarrow{NC},$ ta có

\[\begin{aligned}&4\overrightarrow{NA}-2(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB})\\&\quad +(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}\\&\Leftrightarrow3\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac13\overrightarrow{AC}-\dfrac23\overrightarrow{AB}.\end{aligned}\]

Lấy P trên đoạn AC với $AP=\dfrac13AC$ và Q trên tia đối của tia AB với $AQ=\dfrac23AB,$ ta có $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}.$ Vậy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành APNQ.

Lời giải

a) Chèn điểm A vào $\overrightarrow{KB},$ $\overrightarrow{KC},$ ta có

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{KA}+2(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB})\\&\quad +3(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}\\&\Leftrightarrow6\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\&\Leftrightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Lấy P trên đoạn AB với $AP=\dfrac13AB$ và Q là trung điểm của AC, ta có $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}.$ Vậy K là đỉnh thứ tư của hình bình hành APKQ.

b) Chèn điểm K ở câu a, ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$ $=6\overrightarrow{MK}+(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC})$ $=6\overrightarrow{MK}.$ Lại có $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}.$ Đẳng thức trở thành $6MK=BC,$ tức là $MK=\dfrac{BC}{6}.$

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm K, bán kính $\dfrac{BC}{6}.$

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB thì $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{MI}\right|=2MI.$ Với $M\in d,$ độ dài MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của trung điểm I của AB trên đường thẳng d.

Lời giải

Theo quy tắc hình bình hành và quy tắc hiệu, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.$ Cộng và trừ vế theo vế hai đẳng thức này, ta được

\[\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{BD};\] \[\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{BD}.\]

Lời giải

Gọi O là tâm lục giác đều. Lục giác được chia thành 6 tam giác đều chung đỉnh O, nên O là trung điểm của AD và BE, các tứ giác ABCO, DEFO là hình thoi.

a) Vì O là trung điểm của BE nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}.$ Vậy $\overrightarrow{AD}=\vec u+\vec v.$

b) Vì ABCO là hình thoi nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}=\dfrac12\overrightarrow{AD}=\dfrac12(\vec u+\vec v).$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec u+\dfrac12(\vec u+\vec v)\\&=\dfrac32\vec u+\dfrac12\vec v.\end{aligned}\]

c) Vì DEFO là hình thoi nên $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DO}=-\dfrac12\overrightarrow{AD}$ $=-\dfrac12(\vec u+\vec v).$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\vec v-\dfrac12(\vec u+\vec v)\\&=-\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v.\end{aligned}\]

d) Theo câu c, $\overrightarrow{EF}=-\dfrac12\vec u-\dfrac12\vec v.$

Lời giải

Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$ Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ và I, J là trung điểm của BC, CD nên

\[\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD};\] \[\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\]

Lời giải

Chèn điểm A, ta có $(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})-2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM})=\vec{0}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}.$

Lời giải

Vì M nằm trên đoạn BC và $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{BM}=\dfrac23\overrightarrow{BC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\\&=\overrightarrow{AB}+\dfrac23(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Lời giải

Vì M nằm trên cạnh BC và $MB=\dfrac32MC$ nên $\overrightarrow{BM}=\dfrac35\overrightarrow{BC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac35(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=\dfrac25\overrightarrow{AB}+\dfrac35\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Lời giải

Vì K nằm trên tia đối của tia AB nên A nằm giữa K và B, suy ra $KB=KA+AB.$ Kết hợp $KB=4KA$ ta được $AB=3KA,$ do đó $\overrightarrow{BK}=\dfrac43\overrightarrow{BA}.$ Vậy

\[\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BC}=\dfrac43\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}.\]

Lời giải

a) Vì I nằm trên phần kéo dài của BC và $IB=3IC$ nên C nằm giữa B và I, $BC=2CI,$ suy ra $\overrightarrow{BI}=\dfrac32\overrightarrow{BC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\dfrac32(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac32\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

b) Vì J thuộc cạnh AC và $JA=2JC$ nên $\overrightarrow{AJ}=\dfrac23\overrightarrow{AC};$ vì K thuộc cạnh AB và $KB=3KA$ nên $\overrightarrow{AK}=\dfrac14\overrightarrow{AB}.$ Do đó

\[\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AJ}=\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac23\overrightarrow{AC}.\]

c) Đặt $\vec b=\overrightarrow{AB},$ $\vec c=\overrightarrow{AC}.$ Từ câu a và câu b ta có

\[\overrightarrow{AI}=-\dfrac12\vec b+\dfrac32\vec c\quad(1);\] \[\overrightarrow{JK}=\dfrac14\vec b-\dfrac23\vec c\quad(2).\]

Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được $\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{JK}=\dfrac16\vec c,$ suy ra $\vec c=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}.$ Thế vào (1) ta được $\vec b=3\vec c-2\overrightarrow{AI}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}.$ Vậy

\[\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}.\]

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{NA}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{NA}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac13\overrightarrow{AC}.$ Lại có $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}.$

a) Vì K là trung điểm của MN nên

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AK}=\dfrac12(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})\\&=\dfrac12\left(\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)\\&=\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac16\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

b) Vì D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}\\&\quad -\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac16\overrightarrow{AC}\\&=\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Lời giải

a) Gọi M là trung điểm của BC thì $\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM}=\dfrac23\cdot\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ $=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}.$

b) Ta có $\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{EB}\Leftrightarrow\overrightarrow{EA}=2(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB})$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}.$ Lại có $3\overrightarrow{FA}+2(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{AF}=\dfrac25\overrightarrow{AC}.$ Do đó

\[\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AB}+\dfrac25\overrightarrow{AC}.\]

Lời giải

a) Vì I nằm trên cạnh BC và $2CI=3BI$ nên $\overrightarrow{BI}=\dfrac25\overrightarrow{BC},$ suy ra

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\dfrac25(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=\dfrac35\overrightarrow{AB}+\dfrac25\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Vì J nằm trên phần kéo dài của BC và $JC\lt JB$ nên C nằm giữa B và J, $JB=BC+CJ.$ Từ $5CJ=2(BC+CJ)$ ta được $CJ=\dfrac23BC,$ suy ra $\overrightarrow{BJ}=\dfrac53\overrightarrow{BC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\dfrac53(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=-\dfrac23\overrightarrow{AB}+\dfrac53\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

b) Từ câu a ta có $\overrightarrow{AB}=\dfrac53\overrightarrow{AI}-\dfrac23\overrightarrow{AC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AG}=\dfrac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\&=\dfrac13\left(\dfrac53\overrightarrow{AI}+\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)\\&=\dfrac59\overrightarrow{AI}+\dfrac19\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Lời giải

a) Vì I nằm trên cạnh BC và $BI=2CI$ nên $\overrightarrow{BI}=\dfrac23\overrightarrow{BC},$ suy ra

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\dfrac23(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Vì J nằm trên phần kéo dài của BC và $JC\lt JB$ nên C nằm giữa B và J, $JB=BC+CJ.$ Từ $5CJ=BC+CJ$ ta được $CJ=\dfrac14BC,$ suy ra $\overrightarrow{BJ}=\dfrac54\overrightarrow{BC}.$ Do đó

\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\dfrac54(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\&=-\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac54\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

b) Đặt $\vec b=\overrightarrow{AB},$ $\vec c=\overrightarrow{AC}.$ Từ câu a ta có

\[3\overrightarrow{AI}=\vec b+2\vec c\quad(1);\] \[4\overrightarrow{AJ}=-\vec b+5\vec c\quad(2).\]

Cộng (1) và (2) ta được $7\vec c=3\overrightarrow{AI}+4\overrightarrow{AJ}.$ Thế vào (1) ta được $7\vec b=21\overrightarrow{AI}-14\vec c=15\overrightarrow{AI}-8\overrightarrow{AJ}.$ Do đó

\[\begin{aligned}\overrightarrow{AG}=\dfrac13(\vec b+\vec c)&=\dfrac13\cdot\dfrac{18\overrightarrow{AI}-4\overrightarrow{AJ}}{7}\\&=\dfrac67\overrightarrow{AI}-\dfrac{4}{21}\overrightarrow{AJ}.\end{aligned}\]

Lời giải

Trong mỗi biểu thức, tổng các hệ số bằng 0 nên ta tách thành các hiệu có chung điểm M.

a) $\vec a=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})$ $=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB},$ không phụ thuộc vào vị trí của M.

b) $\vec b=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+4(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})$ $=\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB},$ không phụ thuộc vào vị trí của M.

c) $\vec c=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+2(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})$ $=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB},$ không phụ thuộc vào vị trí của M.

Lời giải

a) Ta có $\vec v=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+2(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})$ $=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB},$ không phụ thuộc vào vị trí của M.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0},$ tức là I nằm trên đoạn AB và $\overrightarrow{AI}=\dfrac23\overrightarrow{AB}.$ Chèn điểm I, ta có

\[\begin{aligned}&\vec v=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\\&=3\overrightarrow{CI}+(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{CI}.\end{aligned}\]

Vậy D là điểm nằm trên tia CI với $CD=3CI.$

c) Theo câu b, $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CI}$ nên I nằm trên đường thẳng CD. Mà I nằm trên AB nên I là giao điểm của CD và AB, tức là K trùng I. Do đó $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CK}.$

Lời giải

a) Ta có $\vec a=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})$ $+(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MD})=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DA}.$ Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC},$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}.$ Do đó $\vec a=2\overrightarrow{CA}$ không đổi và

\[\left|\vec a\right|=2AC=2a\sqrt2.\]

b) Ta có $\vec b=2(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MD})-(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})$ $=2\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CB}.$ Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA},$ do đó $\vec b=\overrightarrow{DA}$ không đổi và $\left|\vec b\right|=DA=a.$