Bài 11. Nguyên hàm (Toán 12 Kết nối tri thức, tập 2) mở đầu Chương IV: các em sẽ hiểu nguyên hàm là gì, nắm hai tính chất cơ bản và thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp để làm ngược lại phép tính đạo hàm. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Mở đầu bài, SGK nêu bài toán máy bay chạy đà với vận tốc $v(t)=5+3t$ (m/s). Muốn biết quãng đường $S(t)$ thì phải tìm một hàm số có đạo hàm bằng $v(t)$, vì $S'(t)=v(t).$ Nói cách khác là phải làm ngược lại phép tính đạo hàm. Phép làm ngược đó chính là tìm nguyên hàm.
1. Nguyên hàm của một hàm số
Định nghĩa. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x$ thuộc K.
Các em hiểu đơn giản là muốn kiểm tra $F(x)$ có phải nguyên hàm của $f(x)$ hay không thì chỉ cần lấy đạo hàm của $F(x)$ rồi so với $f(x).$
Chú ý. Trường hợp $K=[a;b]$ thì các đẳng thức $F'(a)=f(a)$ và $F'(b)=f(b)$ được hiểu là đạo hàm bên phải tại $x=a$ và đạo hàm bên trái tại $x=b$ của hàm số $F(x).$
Ví dụ 1. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty)?$
\[F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x;\quad G(x)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x.\]Giải. Ta có $F'(x)=x+\dfrac{1}{x}=f(x)$ với mọi $x\gt 0$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty).$
Còn $G'(x)=x-\dfrac{1}{x},$ chẳng hạn $G'(1)=0\ne 2=f(1)$ nên $G(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty).$
Họ các nguyên hàm. Vì đạo hàm của hằng số bằng 0 nên nếu $F(x)$ là một nguyên hàm thì $F(x)+1,$ $F(x)-5,$ … cũng là nguyên hàm. SGK khẳng định điều đó và còn chỉ ra rằng ngoài những hàm này ra thì không còn nguyên hàm nào khác.
Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên K. Khi đó
a) Với mỗi hằng số $C,$ hàm số $F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên K;
b) Nếu hàm số $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên K thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x)=F(x)+C$ với mọi $x\in K.$
Như vậy, mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên K đều có dạng $F(x)+C$ ($C$ là hằng số). Ta gọi $F(x)+C$ $(C\in\mathbb{R})$ là họ các nguyên hàm của $f(x)$ trên K, kí hiệu bởi $\displaystyle\int f(x)\,dx.$
Chú ý (theo SGK).
• Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của $f(x)$ trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm $F(x)$ rồi viết
\[\int f(x)\,dx=F(x)+C,\ C \text{ là hằng số}.\]• Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng K thì $f(x)$ có nguyên hàm trên khoảng đó.
• Biểu thức $f(x)\,dx$ gọi là vi phân của nguyên hàm $F(x),$ kí hiệu $dF(x).$ Vậy $dF(x)=F'(x)\,dx=f(x)\,dx.$
• Khi đề không nói rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm trên tập xác định của hàm số đó.
Hình dưới đây tóm tắt mối quan hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm (theo Hình 4.2 SGK).
Ví dụ 2. Tìm $\displaystyle\int x^3\,dx.$
Giải. Vì $\left(\dfrac{x^4}{4}\right)'=\dfrac{4x^3}{4}=x^3$ nên $\dfrac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của $x^3$ trên $\mathbb{R}.$ Do đó
\[\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}+C.\]Lưu ý. Lỗi hay gặp nhất là quên viết $+C$ khi tìm họ nguyên hàm. Viết $\displaystyle\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}$ là sai, vì đó mới chỉ là một nguyên hàm chứ chưa phải cả họ.
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Với $f(x),$ $g(x)$ liên tục trên K và $k$ là hằng số khác 0, ta có
\[\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx\quad(k\ne 0);\] \[\begin{aligned}&\int\big[f(x)+g(x)\big]dx\\&=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx;\end{aligned}\] \[\begin{aligned}&\int\big[f(x)-g(x)\big]dx\\&=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx.\end{aligned}\]Nói gọn lại là hằng số được đưa ra ngoài dấu nguyên hàm, còn nguyên hàm của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm. Nhờ vậy, một biểu thức dài ta tách ra từng hạng tử rồi tìm nguyên hàm từng cái.
Ví dụ 3. Tìm $\displaystyle\int (2x-1)^2\,dx.$
Giải. Ta khai triển $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$ rồi dùng tính chất ở trên.
\[\begin{aligned}\int(2x-1)^2\,dx&=\int(4x^2-4x+1)\,dx\\&=\dfrac{4x^3}{3}-2x^2+x+C.\end{aligned}\]Lưu ý. SGK không có tính chất "nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm". Gặp tích hoặc bình phương như $(2x-1)^2$ thì phải khai triển (hoặc biến đổi) thành tổng rồi mới tách.
Ví dụ 4 (bài toán mở đầu). Quãng đường $S(t)$ máy bay đi được sau $t$ giây ($0\le t\le 30$) là một nguyên hàm của $v(t)=5+3t,$ nên
\[S(t)=\int(5+3t)\,dt=5t+\dfrac{3}{2}t^2+C.\]Lúc bắt đầu chạy đà $S(0)=0$ nên $C=0.$ Máy bay rời đường băng khi $t=30$ nên quãng đường cần tìm là $S(30)=5\cdot 30+\dfrac{3}{2}\cdot 30^2=1\,500$ (m).
Mẹo nhớ. Trong bài toán thực tế, hằng số $C$ được tìm nhờ một "giá trị ban đầu" (như $S(0)=0$). Bài tập 4.5, 4.6, 4.7 ở dưới đều dùng ý này.
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
Hàm số $y=x^\alpha$ $(\alpha\in\mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x\gt 0$ và $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.$ Ngoài ra $(\ln|x|)'=\dfrac1x$ với $x\ne 0.$ Làm ngược lại ta được
Cách nhớ: tăng số mũ thêm 1 rồi chia cho số mũ mới. Riêng số mũ $-1$ (tức $\dfrac{1}{x}$) thì không chia cho 0 được, nên kết quả là $\ln|x|.$ Công thức này dùng trên từng khoảng $(-\infty;0)$ hoặc $(0;+\infty).$
Muốn dùng công thức này, các em phải viết căn và phân số về dạng lũy thừa, chẳng hạn $\sqrt{x}=x^{\frac12},$ $\sqrt[3]{x}=x^{\frac13},$ $\dfrac{1}{x^4}=x^{-4}.$
Ví dụ 5. Tìm
a) $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^4}\,dx;$
b) $\displaystyle\int x\sqrt{x}\,dx$ $(x\gt 0);$
c) $\displaystyle\int\left(\dfrac{3}{x}-5\sqrt[3]{x}\right)dx$ $(x\gt 0).$
Giải.
a) $\displaystyle\int x^{-4}\,dx=\dfrac{x^{-3}}{-3}+C=-\dfrac{1}{3x^3}+C.$
b) $\displaystyle\int x^{\frac32}\,dx=\dfrac{x^{\frac52}}{\frac52}+C=\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}+C.$
c) Ta có $\displaystyle\int x^{\frac13}\,dx=\dfrac{3}{4}x^{\frac43}+C=\dfrac34x\sqrt[3]{x}+C,$ nên
\[\begin{aligned}&\int\left(\dfrac{3}{x}-5\sqrt[3]{x}\right)dx\\&=3\ln x-\dfrac{15}{4}x\sqrt[3]{x}+C.\end{aligned}\]Lưu ý. Ở câu c) vì $x\gt 0$ nên $\ln|x|=\ln x.$ Nếu không có điều kiện $x\gt 0$ thì phải giữ dấu giá trị tuyệt đối.
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Từ $(\sin x)'=\cos x,$ $(\cos x)'=-\sin x,$ $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x},$ $(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x},$ ta có
Lưu ý. Hai chỗ có dấu trừ hay bị quên là nguyên hàm của $\sin x$ và của $\dfrac{1}{\sin^2x}.$ Mẹo nhớ là "sin ra trừ cos, một trên sin bình ra trừ cot".
Ví dụ 6. Tìm $\displaystyle\int(3\cos x-4\sin x)\,dx.$
Giải. Ta có
\[\begin{aligned}&\int(3\cos x-4\sin x)\,dx\\&=3\sin x+4\cos x+C.\end{aligned}\]Với các hàm như $\sin^2x,$ $\tan^2x,$ $\left(\sin\dfrac{x}{2}-\cos\dfrac{x}{2}\right)^2$ không có sẵn trong bảng, ta dùng công thức lượng giác (hạ bậc, $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x},$ …) để đưa về các hàm trong bảng (xem lại Toán 11 – Bài 2. Công thức lượng giác). Bài 4.4 dưới đây luyện kĩ việc này.
c) Nguyên hàm của hàm số mũ
Vì sao có $\ln a$ ở mẫu? Vì $(a^x)'=a^x\ln a,$ nên muốn đạo hàm ra đúng $a^x$ thì phải chia trước cho $\ln a.$ Với $a=e$ thì $\ln e=1,$ ta lại được công thức thứ nhất.
Ví dụ 7. Tìm
a) $\displaystyle\int 4^x\,dx;$
b) $\displaystyle\int\dfrac{1}{e^x}\,dx;$
c) $\displaystyle\int\left(2\cdot 3^x-\dfrac13\cdot 7^x\right)dx.$
Giải.
a) $\displaystyle\int 4^x\,dx=\dfrac{4^x}{\ln 4}+C.$
b) Viết $\dfrac{1}{e^x}=\left(\dfrac1e\right)^x,$ ta có $\displaystyle\int\left(\dfrac1e\right)^x dx=\dfrac{\left(\frac1e\right)^x}{\ln\frac1e}+C=-\dfrac{1}{e^x}+C.$
c) $\displaystyle\int\left(2\cdot 3^x-\dfrac13\cdot 7^x\right)dx$ $=\dfrac{2\cdot 3^x}{\ln 3}-\dfrac{7^x}{3\ln 7}+C.$
Lưu ý. Đừng nhầm $\displaystyle\int a^x\,dx$ với $\displaystyle\int x^\alpha\,dx.$ Ở hàm mũ, biến $x$ nằm trên số mũ nên không được "tăng số mũ thêm 1".
Tổng kết lại, ta có bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
| Bảng nguyên hàm |
|---|
| $\displaystyle\int 0\,dx=C$ |
| $\displaystyle\int 1\,dx=x+C$ |
| $\displaystyle\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ (\alpha\ne-1)$ |
| $\displaystyle\int\dfrac1x\,dx=\ln|x|+C$ |
| $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$ |
| $\displaystyle\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\ (0\lt a\ne1)$ |
| $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$ |
| $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\,dx=\tan x+C$ |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\,dx=-\cot x+C$ |
Dựa vào bảng này và các tính chất cơ bản, ta tìm được nguyên hàm của nhiều hàm số khác. Muốn luyện thêm nhiều dạng bài và câu trắc nghiệm, các em xem bài Bài 11. Nguyên hàm – Lý thuyết, bài tập và trắc nghiệm có lời giải.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 4.1 (SGK trang 11). Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F(x)$ có là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) $F(x)=x\ln x$ và $f(x)=1+\ln x$ trên khoảng $(0;+\infty);$
b) $F(x)=e^{\sin x}$ và $f(x)=e^{\cos x}$ trên $\mathbb{R}.$
Lời giải
a) Với mọi $x\gt 0,$ ta có
\[\begin{aligned}F'(x)&=(x)'\ln x+x(\ln x)'\\&=\ln x+x\cdot\dfrac1x\\&=1+\ln x=f(x).\end{aligned}\]Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty).$
b) Ta có $F'(x)=(\sin x)'\cdot e^{\sin x}=\cos x\cdot e^{\sin x}.$
Xét $x=\dfrac{\pi}{2},$ ta có $F'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\cdot e^{1}=0,$ còn $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e^{0}=1.$
Vì $F'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\ne f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ nên $F(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}.$
Bài 4.2 (SGK trang 11). Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a) $f(x)=3x^2+2x-1;$
b) $f(x)=x^3-x;$
c) $f(x)=(2x+1)^2;$
d) $f(x)=\left(2x-\dfrac1x\right)^2.$
Lời giải
a) $\displaystyle\int(3x^2+2x-1)\,dx$ $=x^3+x^2-x+C.$
b) $\displaystyle\int(x^3-x)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}+C.$
c) Khai triển bình phương rồi tìm nguyên hàm từng hạng tử, ta có
\[\begin{aligned}&\int(2x+1)^2dx\\&=\int(4x^2+4x+1)\,dx\\&=\dfrac{4x^3}{3}+2x^2+x+C.\end{aligned}\]d) Ta tìm nguyên hàm trên từng khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty).$ Trên mỗi khoảng đó, khai triển $\left(2x-\dfrac1x\right)^2=4x^2-4+\dfrac{1}{x^2}$ $=4x^2-4+x^{-2}.$ Do đó
\[\begin{aligned}&\int\left(2x-\dfrac1x\right)^2dx\\&=\int\left(4x^2-4+x^{-2}\right)dx\\&=\dfrac{4x^3}{3}-4x-\dfrac1x+C.\end{aligned}\]Ở đây $\displaystyle\int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-\dfrac1x+C.$
Bài 4.3 (SGK trang 11). Tìm
a) $\displaystyle\int\left(3\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx;$
b) $\displaystyle\int\sqrt{x}\,(7x^2-3)\,dx$ $(x\gt 0);$
c) $\displaystyle\int\dfrac{(2x+1)^2}{x^2}\,dx;$
d) $\displaystyle\int\left(2^x+\dfrac{3}{x^2}\right)dx.$
Lời giải
a) Hàm số xác định trên khoảng $(0;+\infty)$ nên ta tìm nguyên hàm trên khoảng này. Viết $3\sqrt{x}=3x^{\frac12}$ và $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13},$ ta có
\[\begin{aligned}&\int\left(3x^{\frac12}+x^{-\frac13}\right)dx\\&=3\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32}+\dfrac{x^{\frac23}}{\frac23}+C\\&=2x\sqrt{x}+\dfrac32\sqrt[3]{x^2}+C.\end{aligned}\]b) Nhân vào ta được $\sqrt{x}\,(7x^2-3)=7x^{\frac52}-3x^{\frac12}.$ Do đó
\[\begin{aligned}&\int\sqrt{x}\,(7x^2-3)\,dx\\&=7\cdot\dfrac{x^{\frac72}}{\frac72}-3\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32}+C\\&=2x^3\sqrt{x}-2x\sqrt{x}+C.\end{aligned}\]c) Hàm số xác định khi $x\ne0,$ nên ta tìm nguyên hàm trên từng khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty).$ Trên mỗi khoảng đó, ta có $\dfrac{(2x+1)^2}{x^2}=\dfrac{4x^2+4x+1}{x^2}$ $=4+\dfrac4x+\dfrac{1}{x^2}.$ Do đó
\[\begin{aligned}&\int\dfrac{(2x+1)^2}{x^2}\,dx\\&=\int\left(4+\dfrac4x+x^{-2}\right)dx\\&=4x+4\ln|x|-\dfrac1x+C.\end{aligned}\]d) Viết $\dfrac{3}{x^2}=3x^{-2},$ ta có
\[\int\left(2^x+3x^{-2}\right)dx=\dfrac{2^x}{\ln 2}-\dfrac3x+C.\]Bài 4.4 (SGK trang 11). Tìm
a) $\displaystyle\int\left(2\cos x-\dfrac{3}{\sin^2x}\right)dx;$
b) $\displaystyle\int 4\sin^2\dfrac{x}{2}\,dx;$
c) $\displaystyle\int\left(\sin\dfrac x2-\cos\dfrac x2\right)^2dx;$
d) $\displaystyle\int(x+\tan^2x)\,dx.$
Lời giải
a) Ta có
\[\begin{aligned}&\int\left(2\cos x-\dfrac{3}{\sin^2x}\right)dx\\&=2\sin x-3(-\cot x)+C\\&=2\sin x+3\cot x+C.\end{aligned}\]b) Dùng công thức hạ bậc $\sin^2\dfrac x2=\dfrac{1-\cos x}{2},$ ta có $4\sin^2\dfrac x2=2-2\cos x.$ Do đó
\[\begin{aligned}\int 4\sin^2\dfrac x2\,dx&=\int(2-2\cos x)\,dx\\&=2x-2\sin x+C.\end{aligned}\]c) Khai triển và dùng $\sin^2\dfrac x2+\cos^2\dfrac x2=1,$ $2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=\sin x,$ ta có
\[\left(\sin\dfrac x2-\cos\dfrac x2\right)^2=1-\sin x.\]Do đó $\displaystyle\int(1-\sin x)\,dx=x+\cos x+C.$
d) Trên mỗi khoảng mà $\cos x\ne 0,$ ta có $\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}-1.$ Do đó
\[\begin{aligned}&\int(x+\tan^2x)\,dx\\&=\int\left(x-1+\dfrac{1}{\cos^2x}\right)dx\\&=\dfrac{x^2}{2}-x+\tan x+C.\end{aligned}\]Bài 4.5 (SGK trang 11). Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(0;+\infty).$ Biết rằng $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x^2}$ với mọi $x\in(0;+\infty)$ và $f(1)=1.$ Tính giá trị $f(4).$
Lời giải
Vì $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x^2}$ nên $f(x)$ là một nguyên hàm của $2x+\dfrac{1}{x^2}$ trên $(0;+\infty).$ Ta có
\[\begin{aligned}f(x)&=\int\left(2x+x^{-2}\right)dx\\&=x^2-\dfrac1x+C.\end{aligned}\]Từ $f(1)=1$ suy ra $1-1+C=1,$ tức là $C=1.$ Do đó $f(x)=x^2-\dfrac1x+1.$
Vậy $f(4)=16-\dfrac14+1=\dfrac{67}{4}.$
Bài 4.6 (SGK trang 11). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là (C). Xét điểm $M(x;f(x))$ thay đổi trên (C). Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là $k_M=(x-1)^2$ và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f(x).$
Lời giải
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M(x;f(x))$ chính là $f'(x),$ nên $f'(x)=(x-1)^2=x^2-2x+1.$ Do đó
\[\begin{aligned}f(x)&=\int(x^2-2x+1)\,dx\\&=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x+C.\end{aligned}\]• Điểm M nằm trên trục tung khi $x=0,$ lúc đó M trùng gốc tọa độ O, nên $f(0)=0.$ Suy ra $C=0.$
Vậy $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x.$
Bài 4.7 (SGK trang 11). Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t=0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t)=160-9{,}8t$ (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất)
a) Sau $t=5$ giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Lời giải
Gọi $h(t)$ (m) là độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ giây. Vì $h'(t)=v(t)$ nên $h(t)$ là một nguyên hàm của $v(t).$ Ta có
\[\begin{aligned}h(t)&=\int(160-9{,}8t)\,dt\\&=160t-4{,}9t^2+C.\end{aligned}\]Viên đạn được bắn từ mặt đất nên $h(0)=0,$ suy ra $C=0.$ Vậy $h(t)=160t-4{,}9t^2.$
a) Sau 5 giây, độ cao của viên đạn là $h(5)=160\cdot5-4{,}9\cdot25=677{,}5$ (m).
b) Ta có $h'(t)=160-9{,}8t=0$ khi $t=\dfrac{160}{9{,}8}=\dfrac{800}{49}.$ Viên đạn ở trên không khi $h(t)\ge 0,$ tức là $0\le t\le\dfrac{1600}{49}.$ Bảng biến thiên của $h(t)$ trên đoạn này như sau.
Độ cao lớn nhất là $h\left(\dfrac{800}{49}\right)=\dfrac{64\,000}{49}\approx 1\,306{,}1$ (m).
Vậy sau 5 giây viên đạn ở độ cao 677,5 m, độ cao lớn nhất viên đạn đạt được khoảng 1 306,1 m.
Bình luận
Viết bình luận của bạn