Bài 17. Phương trình mặt cầu (Toán 12, sách Kết nối tri thức) giúp các em viết được phương trình mặt cầu, đọc ra tâm và bán kính từ phương trình, nhận biết một phương trình có phải là phương trình mặt cầu hay không, và dùng mặt cầu để giải các bài toán thực tế như tính khoảng cách trên bề mặt Trái Đất, vùng phủ sóng. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa và bài tập cuối chương V.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu là gì?
Các em hình dung mặt cầu như vỏ một quả bóng: mọi điểm trên vỏ đều cách tâm cùng một khoảng. Phần ruột bên trong là các điểm nằm trong mặt cầu.
Mặt cầu tâm I bán kính R $(R\gt 0)$ là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Điểm M nằm trong mặt cầu nếu $IM\lt R,$ nằm ngoài mặt cầu nếu $IM\gt R.$
Mỗi đường thẳng đi qua tâm cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó là một đường kính. Đường kính có trung điểm là tâm và có độ dài bằng $2R.$
• Phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính
Hiểu nôm na, phương trình mặt cầu chính là câu "khoảng cách từ điểm M đến tâm bằng R" viết bằng tọa độ. Trong đó $a,b,c$ là tọa độ của tâm, R là bán kính.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I(a;b;c)$ bán kính R có phương trình
\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]Vì sao? Điểm $M(x;y;z)$ thuộc (S) khi và chỉ khi $IM=R,$ tức là $IM^2=R^2.$ Viết $IM^2$ bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm (xem lại Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ) ta được ngay phương trình trên.
Từ đó, muốn biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trong hay ngoài mặt cầu, ta so sánh $IM^2=$ $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2$ với $R^2.$ Nhỏ hơn thì M nằm trong, lớn hơn thì M nằm ngoài, bằng thì M thuộc mặt cầu.
Mẹo nhớ. Tọa độ tâm là các số làm cho từng ngoặc bằng 0, nên ta đổi dấu số trong ngoặc. Chẳng hạn $(x+2)^2$ cho $a=-2,$ còn $z^2=(z-0)^2$ cho $c=0.$ Bán kính là căn bậc hai của vế phải.
Ví dụ 1. Cho mặt cầu (S) có phương trình $(x-1)^2+(y+3)^2+z^2=5.$ Tìm tâm, bán kính của (S). Gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài (S)?
Giải. Ta viết lại $(x-1)^2+[y-(-3)]^2+(z-0)^2=$ $\left(\sqrt5\right)^2.$ Vậy (S) có tâm $I(1;-3;0)$ và bán kính $R=\sqrt5.$
Ta có $OI^2=$ $(0-1)^2+(0+3)^2+(0-0)^2=$ $10\gt 5=R^2$ nên gốc tọa độ O nằm ngoài (S).
Cách làm (viết phương trình mặt cầu)
• Tìm tâm $I(a;b;c)$ (đề cho sẵn, hoặc là trung điểm đường kính).
• Tìm bán kính R (đề cho sẵn, hoặc bằng khoảng cách từ tâm đến một điểm, đến một mặt phẳng).
• Thay vào $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, với $A(1;-1;2)$ và $B(2;-3;-1).$
Giải. Tâm của (S) là trung điểm của AB. Lấy trung bình cộng từng tọa độ của A, B ta được $I\left(\dfrac32;-2;\dfrac12\right).$
Bán kính bằng nửa đường kính. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-3)$ nên $AB=$ $\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=$ $\sqrt{14}$ nên $R=$ $\dfrac{\sqrt{14}}{2},$ suy ra $R^2=$ $\dfrac{14}{4}=$ $\dfrac72.$
Vậy (S) có phương trình $\left(x-\dfrac32\right)^2+(y+2)^2+\left(z-\dfrac12\right)^2=$ $\dfrac72.$
Lưu ý. Vế phải của phương trình là $R^2$ chứ không phải R. Với mặt cầu tâm I bán kính 3, vế phải là 9. Khi đề cho đường kính thì bán kính chỉ bằng một nửa.
• Phương trình dạng khai triển
Nếu khai triển các bình phương thì phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.$ Ngược lại, một phương trình dạng này chưa chắc là mặt cầu. Hiểu nôm na, ta "gom" nó về dạng có bình phương. Nếu vế phải dương thì đó là $R^2$ và ta có mặt cầu.
Với $a,b,c,d$ là các hằng số, phương trình
\[\begin{aligned}&x^2+y^2+z^2-2ax\\&\qquad-2by-2cz+d=0\end{aligned}\]có thể viết lại thành $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=$ $a^2+b^2+c^2-d$ và là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2-d\gt 0.$ Khi đó mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=$ $\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$
Vế phải $a^2+b^2+c^2-d$ đóng vai trò $R^2,$ nên nó phải dương thì mới có mặt cầu. Nếu nó bằng 0 thì chỉ có một điểm. Nếu nó âm thì không có điểm nào.
Cách làm (đọc tâm, bán kính từ phương trình dạng khai triển)
• Kiểm tra hình thức. Hệ số của $x^2,y^2,z^2$ đều bằng 1 (nếu đều bằng $k\ne 0$ thì chia hai vế cho k), không có số hạng $xy,yz,zx,$ không có lũy thừa bậc ba.
• Tìm $a,b,c$ bằng cách lấy hệ số của $x,y,z$ chia cho $-2$ (tức là đổi dấu rồi chia đôi). Chẳng hạn $-4x$ cho $a=2,$ còn $+6y$ cho $b=-3.$ Số d là hệ số tự do, giữ nguyên dấu.
• Tính $a^2+b^2+c^2-d.$ Nếu nó dương thì có mặt cầu tâm $I(a;b;c),$ bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$ Nếu không thì không có mặt cầu.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+6y-12=0$ là phương trình mặt cầu. Tìm tâm và bán kính.
Giải. Cách 1 (thêm bớt để có bình phương). Ta viết lại phương trình thành $(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)+z^2=25,$ hay $(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=$ $5^2.$ Đây là mặt cầu tâm $I(2;-3;0)$ và bán kính $R=5.$
Cách 2 (dùng nhận xét). Hệ số của $x,y,z$ là $-4,$ 6, 0 nên $a=\dfrac{-4}{-2}=2,$ $b=\dfrac{6}{-2}=-3,$ $c=0.$ Hệ số tự do là $d=-12.$ Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $4+9+0+12=25\gt 0.$ Vậy đây là mặt cầu tâm $I(2;-3;0),$ bán kính $R=\sqrt{25}=5.$
Ví dụ 4. Phương trình nào là phương trình mặt cầu? Nếu có, tìm tâm và bán kính.
a) $x^2+y^2+z^2+4x-5y+6z+\dfrac{25}{4}=0.$
b) $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6=0.$
Giải. a) Hệ số của $x,y,z$ là 4, $-5,$ 6 nên $a=\dfrac{4}{-2}=-2,$ $b=\dfrac{-5}{-2}=\dfrac52,$ $c=\dfrac{6}{-2}=-3.$ Hệ số tự do là $d=\dfrac{25}{4}.$ Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $4+\dfrac{25}{4}+9-\dfrac{25}{4}=$ $13\gt 0.$ Vậy đây là mặt cầu tâm $I\left(-2;\dfrac52;-3\right),$ bán kính $R=\sqrt{13}.$
b) Ta có $a=1,$ $b=-2,$ $c=0,$ $d=6$ và $a^2+b^2+c^2-d=$ $1+4+0-6=-1\lt 0.$ Vậy đây không phải phương trình mặt cầu.
Lưu ý. Lỗi hay gặp là quên chia cho $-2$ (lấy luôn $a=4$ ở ví dụ 4a), hoặc đổi dấu cả d. Cũng đừng quên kiểm tra $a^2+b^2+c^2-d\gt 0$ trước khi kết luận có mặt cầu.
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
• Trái Đất trong hệ tọa độ Oxyz
Trong mô hình toán học, bề mặt Trái Đất là mặt cầu bán kính 6371 km. Kinh tuyến gốc đi qua Đài Thiên văn Greenwich (London). Mỗi vị trí được xác định bởi vĩ độ (từ 0° đến 90°, kèm chữ N nếu ở bán cầu Bắc, S nếu ở bán cầu Nam) và kinh độ (từ 0° đến 180°, kèm chữ E nếu ở bán cầu Đông, W nếu ở bán cầu Tây). Chẳng hạn, hồ Hoàn Kiếm ở vị trí 21°01′51″N, 105°51′09″E.
SGK chọn hệ trục như sau. Gốc O là tâm Trái Đất, tia Ox đi qua giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia Oz đi qua cực Bắc, tia Oy cắt xích đạo tại một điểm thuộc bán cầu Đông. Một đơn vị dài ứng với 6371 km trên thực tế. Khi đó bề mặt Trái Đất có phương trình $x^2+y^2+z^2=1.$
Công thức dưới đây giúp "đổi" vĩ độ, kinh độ (đọc trên bản đồ) thành tọa độ $(x;y;z)$ để tính toán. Vĩ độ α cho biết điểm cao hay thấp so với xích đạo, kinh độ β cho biết điểm lệch bao nhiêu so với kinh tuyến gốc.
Vị trí P có vĩ độ, kinh độ là α°N, β°E $(0\lt\alpha\lt$ $ 90,\ 0\lt$ $\beta\lt 180)$ có tọa độ
\[P\left(\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ;\cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ;\sin\alpha^\circ\right).\]Vị trí Q có vĩ độ, kinh độ là α°N, β°W thì có tọa độ
\[\begin{aligned}Q\big(&\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ;-\cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ;\\&\sin\alpha^\circ\big).\end{aligned}\]Vì sao? Gọi H là hình chiếu của P trên mặt phẳng xích đạo (Oxy). Ta có $OP=1$ và góc giữa OP với OH là α° nên $PH=\sin\alpha^\circ$ (đó là cao độ z) và $OH=\cos\alpha^\circ.$ Góc từ Ox đến OH là β° nên hoành độ bằng $OH\cos\beta^\circ,$ tung độ bằng $OH\sin\beta^\circ.$
• Khoảng cách giữa hai vị trí trên mặt đất
Khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q là độ dài cung nhỏ PQ của đường tròn tâm O đi qua P, Q (đường đi ngắn nhất trên mặt đất). Cách tính gồm ba ý.
+ Tính tọa độ của P, Q rồi tính $\cos\widehat{POQ}=$ $\dfrac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{OP\cdot OQ}=$ $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}$ (vì $OP=OQ=1$), suy ra góc $\widehat{POQ}.$
+ Đường tròn bán kính 1 có chu vi $2\pi,$ nên cung nhỏ PQ dài $\dfrac{\widehat{POQ}}{360}\cdot 2\pi.$
+ Nhân với 6371 để đổi ra ki-lô-mét.
Lưu ý. Máy tính phải để chế độ độ (D) khi tính $\cos,$ $\sin$ và góc. Điểm ở kinh độ Tây (W) thì tung độ mang dấu trừ.
Ví dụ 5. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao của kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B có tọa độ địa lí 45°N, 30°E (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).
Giải. Khoảng cách cần tìm chính là độ dài cung nhỏ AB, nên ta tính góc $\widehat{AOB}$ trước. Vị trí A có vĩ độ 0°, kinh độ 0° nên $A(1;0;0).$ Vị trí B có tọa độ
\[B\left(\cos45^\circ\cos30^\circ;\cos45^\circ\sin30^\circ;\sin45^\circ\right).\]Suy ra $\cos\widehat{AOB}=$ $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=$ $\cos45^\circ\cos30^\circ\approx$ $ 0{,}6124,$ do đó $\widehat{AOB}\approx$ $ 52{,}2388^\circ.$
Cung nhỏ AB dài khoảng $\dfrac{52{,}2388}{360}\cdot 6{,}2832\approx$ $ 0{,}9117.$ Vậy khoảng cách cần tìm xấp xỉ $0{,}9117\cdot 6371\approx$ $ 5808{,}4407$ (km).
• Định vị GPS
Thiết bị GPS đo khoảng cách từ nó tới các vệ tinh. Biết vị trí các vệ tinh và các khoảng cách này, ta tìm được tọa độ thiết bị bằng phương trình mặt cầu.
Ví dụ 6. (Theo SGK) Một thiết bị GPS trên mặt đất cách ba vệ tinh $A(2;0;0),$ $B(0;2;0),$ $C\left(0;\dfrac{11}{4};\dfrac{\sqrt7}{4}\right)$ lần lượt là $\sqrt5,$ $\sqrt2,$ 2. Tìm tọa độ, vĩ độ và kinh độ của thiết bị.
Giải. Mỗi khoảng cách cho ta một phương trình mặt cầu. Vị trí thiết bị là điểm chung của các mặt cầu đó. Gọi thiết bị ở vị trí $P(x;y;z).$ Thiết bị thuộc mặt đất nên $x^2+y^2+z^2=1$ (1).
Ta có $PA=\sqrt5$ nên $(x-2)^2+y^2+z^2=5$ (2). Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được $4x-4=-4,$ suy ra $x=0.$
Ta có $PB=\sqrt2$ nên $x^2+(y-2)^2+z^2=2$ (3). Trừ vế theo vế (1) và (3) ta được $4y-4=-1,$ suy ra $y=\dfrac34.$
Thay vào (1) ta được $z^2=$ $1-\dfrac{9}{16}=$ $\dfrac{7}{16},$ suy ra $z=$ $\pm\dfrac{\sqrt7}{4}.$ Ta dùng điều kiện $PC=2$ để chọn. Với $z=\dfrac{\sqrt7}{4}$ thì $PC^2=$ $\left(\dfrac34-\dfrac{11}{4}\right)^2=4,$ thỏa mãn. Với $z=-\dfrac{\sqrt7}{4}$ thì $PC^2=$ $4+\dfrac74\ne 4,$ loại. Vậy $P\left(0;\dfrac34;\dfrac{\sqrt7}{4}\right).$
Tung độ, cao độ của P đều dương nên P thuộc bán cầu Đông và bán cầu Bắc. Gọi vĩ độ, kinh độ của P là α°N, β°E. Ta có $\sin\alpha^\circ=$ $\dfrac{\sqrt7}{4}$ nên $\alpha\approx$ $ 41{,}4096.$ Ta lại có $\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ=0$ và $\cos\alpha^\circ\ne 0$ nên $\cos\beta^\circ=0,$ suy ra $\beta=90.$ Vậy thiết bị ở vị trí khoảng 41,4096°N, 90°E.
Lưu ý. Bài toán vùng phủ sóng cũng dùng mặt cầu. Thiết bị phát sóng đặt tại I với bán kính phủ sóng R thì vị trí M được phủ sóng khi $IM\le R$ (nằm trong hoặc trên mặt cầu tâm I bán kính R).
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.25 (SGK trang 59). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $\left(x-\dfrac12\right)^2+(y+1)^2+z^2=9.$ Xác định tâm và bán kính của (S).
Lời giải
Ta viết lại phương trình dưới dạng $\left(x-\dfrac12\right)^2+[y-(-1)]^2$ $+(z-0)^2=3^2.$
Vậy (S) có tâm $I\left(\dfrac12;-1;0\right)$ và bán kính $R=3.$
Bài 5.26 (SGK trang 59). Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(-2;0;5)$ và bán kính $R=2.$
Lời giải
Mặt cầu tâm $I(-2;0;5),$ bán kính $R=2$ có phương trình $(x+2)^2+(y-0)^2+(z-5)^2=$ $2^2.$
Vậy (S) có phương trình $(x+2)^2+y^2+(z-5)^2=4.$
Bài 5.27 (SGK trang 59). Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(0;3;-1)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(P)\colon 3x+2y-z=0.$
Lời giải
Theo công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (Bài 14), bán kính của (S) là
\[\begin{aligned}R&=d(I,(P))\\&=\dfrac{|3\cdot 0+2\cdot 3-(-1)|}{\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}.\end{aligned}\]Suy ra $R^2=$ $\dfrac{49}{14}=$ $\dfrac72.$
Vậy (S) có phương trình $x^2+(y-3)^2+(z+1)^2=$ $\dfrac72.$
Bài 5.28 (SGK trang 59). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2$ $+2x-2y+8z-18=0.$ Xác định tâm và bán kính của (S).
Lời giải
Hệ số của $x,y,z$ là 2, $-2,$ 8. Chia cho $-2$ ta được $a=-1,$ $b=1,$ $c=-4.$ Hệ số tự do là $d=-18.$
Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $1+1+16+18=36\gt 0.$
Vậy (S) có tâm $I(-1;1;-4)$ và bán kính $R=\sqrt{36}=6.$
Bài 5.29 (SGK trang 59). Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.
a) $x^2+y^2+z^2-2x-5z+30=0;$
b) $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z=0;$
c) $x^3+y^3+z^3-2x+6y-9z-10=0;$
d) $x^2+y^2+z^2+5=0.$
Lời giải
a) Phương trình có $a=1,$ $b=0,$ $c=\dfrac52,$ $d=30.$ Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $1+0+\dfrac{25}{4}-30=$ $-\dfrac{91}{4}\lt 0.$ Vậy đây không phải phương trình mặt cầu.
b) Phương trình có $a=2,$ $b=-1,$ $c=1,$ $d=0.$ Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $4+1+1-0=6\gt 0.$ Vậy đây là phương trình mặt cầu tâm $I(2;-1;1),$ bán kính $R=\sqrt6.$
c) Phương trình chứa $x^3,y^3,z^3$ nên không có dạng phương trình mặt cầu. Vậy đây không phải phương trình mặt cầu.
d) Phương trình có $a=b=c=0,$ $d=5.$ Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $-5\lt 0.$ Vậy đây không phải phương trình mặt cầu (thật vậy, vế trái luôn lớn hơn 0 nên phương trình vô nghiệm).
Vậy chỉ có phương trình ở ý b) là phương trình mặt cầu.
Bài 5.30 (SGK trang 59). Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(2;0;0).$ Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí $M(2;1;1)$ có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Lời giải
Câu hỏi "có thuộc vùng phủ sóng không" chính là so sánh khoảng cách AM với bán kính 1. Vùng phủ sóng gồm những điểm nằm trong hoặc trên mặt cầu tâm A bán kính 1, tức là những điểm M thỏa mãn $AM\le 1.$
Ta có $AM=$ $\sqrt{(2-2)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=$ $\sqrt2\gt 1.$
Vậy vị trí M nằm ngoài mặt cầu, không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
C. Bài tập cuối chương V
Các bài dưới đây dùng kiến thức của cả chương (phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, công thức tính góc và phương trình mặt cầu). Ở mỗi bài, thầy nhắc lại ngắn gọn công thức được dùng. Bài tự luận khó có thêm dòng Hướng làm cho biết bài thuộc dạng nào, dùng công thức của bài nào trong chương.
Lưu ý. Hai lỗi hay gặp nhất là nhầm vectơ chỉ phương (của đường thẳng) với vectơ pháp tuyến (của mặt phẳng), và dùng cos cho góc giữa đường thẳng với mặt phẳng (phải dùng sin). Cách tính tích có hướng $[\vec u,\vec v]$ được trình bày đầy đủ ở bài 5.40a. Các bài sau chỉ ghi kết quả, các em tự tính lại theo cách đó.
Trắc nghiệm
Bài 5.31 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P)\colon x-2y-3z+1=0.$ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là
Lời giải
Mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ nhận $\vec n=(A;B;C)$ làm một vectơ pháp tuyến. Với (P) ta có $\vec n=(1;-2;-3).$
Chọn D
Bài 5.32 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $I(1;-1;2)$ và nhận vectơ $\vec n=(2;1;-1)$ làm một vectơ pháp tuyến là
Lời giải
Mặt phẳng đi qua $I(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ có phương trình $A(x-x_0)+B(y-y_0)$ $+C(z-z_0)=0.$
Do đó (P) có phương trình $2(x-1)+(y+1)-(z-2)=0,$ hay $2x+y-z+1=0.$
Chọn D
Bài 5.33 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{2}=$ $\dfrac{y+2}{1}=$ $\dfrac{z-3}{-2}.$ Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là
Lời giải
Đường thẳng $\dfrac{x-x_0}{a}=$ $\dfrac{y-y_0}{b}=$ $\dfrac{z-z_0}{c}$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(a;b;c)$ là các mẫu số. Với d ta có $\vec u=(2;1;-2).$
Chọn B
Bài 5.34 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d\colon\begin{cases}x=1+2t\\y=-2+t\\z=3-t.\end{cases}$ Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là
Lời giải
Trong phương trình tham số, tọa độ vectơ chỉ phương là các hệ số của t. Với d ta có $\vec u=(2;1;-1).$
Chọn C
Bài 5.35 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua $I(2;-1;1)$ và nhận vectơ $\vec u=(1;2;-3)$ làm một vectơ chỉ phương là
Lời giải
Đường thẳng đi qua $I(2;-1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;2;-3)$ có phương trình chính tắc $\dfrac{x-2}{1}=$ $\dfrac{y+1}{2}=$ $\dfrac{z-1}{-3}.$
Chọn C
Bài 5.36 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(-1;0;-1),$ $B(2;1;1).$ Phương trình đường thẳng AB là
Lời giải
Đường thẳng AB đi qua $A(-1;0;-1)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=$ $(3;1;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Do đó AB có phương trình tham số $x=-1+3t,$ $y=t,$ $z=-1+2t.$
Chọn D
Bài 5.37 (SGK trang 61). Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua $I(2;1;-3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon x-2y+z-3=0$ là
Lời giải
Đường thẳng d vuông góc với (P) nên vectơ pháp tuyến $\vec n=(1;-2;1)$ của (P) là một vectơ chỉ phương của d.
Đường thẳng d đi qua $I(2;1;-3)$ nên có phương trình $\dfrac{x-2}{1}=$ $\dfrac{y-1}{-2}=$ $\dfrac{z+3}{1}.$
Chọn A
Bài 5.38 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)\colon(x+1)^2+y^2+(z-3)^2=4.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là
Lời giải
Ta viết lại $[x-(-1)]^2+(y-0)^2$ $+(z-3)^2=2^2.$ Vậy (S) có tâm $I(-1;0;3)$ và bán kính $R=2.$
Chọn C
Bài 5.39 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là
Lời giải
Phương trình có $a=1,$ $b=-2,$ $c=-1,$ $d=-3.$ Ta có $a^2+b^2+c^2-d=$ $1+4+1+3=9.$
Vậy (S) có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt9=3.$
Chọn A
Tự luận
Bài 5.40 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;-1),$ $B(0;1;2),$ $C(-1;-2;3).$
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng AC.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Lời giải
Hướng làm. Dạng tổng hợp. Ý a) lập mặt phẳng qua ba điểm (Bài 14), ý b) lập đường thẳng qua hai điểm (Bài 15), ý c) và d) lập mặt cầu khi tìm được tâm và bán kính (Bài 17).
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=$ $(-1;1;3)$ và $\overrightarrow{AC}=$ $(-2;-2;4).$ Hai vectơ này không cùng phương và là cặp vectơ chỉ phương của (ABC), nên (ABC) có vectơ pháp tuyến $\vec n=$ $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right],$ với
\[\begin{aligned}\vec n&=\big(1\cdot 4-3\cdot(-2);\\&\qquad 3\cdot(-2)-(-1)\cdot 4;\\&\qquad(-1)\cdot(-2)-1\cdot(-2)\big)\\&=(10;-2;4).\end{aligned}\]Ta chọn vectơ pháp tuyến $\dfrac12\vec n=$ $(5;-1;2).$ Mặt phẳng (ABC) đi qua $A(1;0;-1)$ nên có phương trình $5(x-1)-y+2(z+1)=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $5x-y+2z-3=0.$
b) Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương $\vec u=$ $-\dfrac12\overrightarrow{AC}=$ $(1;1;-2)$ và đi qua $A(1;0;-1).$ Vậy AC có phương trình tham số $x=1+t,$ $y=t,$ $z=-1-2t.$
c) Mặt cầu đường kính AC có tâm là trung điểm $I(0;-1;1)$ của AC và bán kính $R=\dfrac{AC}{2}=$ $\dfrac{\sqrt{4+4+16}}{2}=$ $\sqrt6.$ Vậy mặt cầu có phương trình $x^2+(y+1)^2+(z-1)^2=6.$
d) Mặt cầu tâm A đi qua B có bán kính $R=AB=$ $\sqrt{1+1+9}=$ $\sqrt{11}.$ Vậy mặt cầu có phương trình $(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=11.$
Bài 5.41 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d\colon\begin{cases}x=1+t\\y=-2+t\\z=4-2t.\end{cases}$ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.
Lời giải
Hướng làm. Mặt phẳng chứa đường thẳng d và điểm O ngoài d. Ta tìm hai vectơ nằm trong (P) rồi lấy tích có hướng để có vectơ pháp tuyến (Bài 14).
Đường thẳng d đi qua $M(1;-2;4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;1;-2).$
Mặt phẳng (P) chứa O và d nên chứa hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{OM}=$ $(1;-2;4)$ và $\vec u.$ Do đó (P) có vectơ pháp tuyến $\left[\overrightarrow{OM},\vec u\right]=$ $(0;6;3),$ ta chọn $\vec n=(0;2;1).$
Mặt phẳng (P) đi qua $O(0;0;0)$ nên có phương trình $0(x-0)+2(y-0)+1(z-0)=0.$ Vậy (P) có phương trình $2y+z=0.$
Bài 5.42 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P)\colon x-2y+2z-1=0$ và hai điểm $A(1;-1;2),$ $B(-1;1;0).$
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Lời giải
Hướng làm. Ý a) dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ý b) mặt phẳng song song thì giữ nguyên vectơ pháp tuyến, ý c) tìm hai vectơ chỉ phương rồi lấy tích có hướng (đều ở Bài 14).
a) Ta có $d(A,(P))=$ $\dfrac{|1-2\cdot(-1)+2\cdot 2-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=$ $\dfrac63=2.$
b) Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên nhận $\vec n=(1;-2;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (Q) đi qua $A(1;-1;2)$ nên có phương trình $(x-1)-2(y+1)+2(z-2)=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $x-2y+2z-7=0.$
c) Mặt phẳng (R) chứa A, B nên chứa $\overrightarrow{AB}=$ $(-2;2;-2).$ Mặt phẳng (R) vuông góc với (P) nên giá của vectơ pháp tuyến $\vec n=(1;-2;2)$ của (P) song song hoặc nằm trong (R). Hai vectơ này không cùng phương nên là cặp vectơ chỉ phương của (R).
Do đó (R) có vectơ pháp tuyến $\left[\overrightarrow{AB},\vec n\right]=$ $(0;2;2),$ ta chọn $\vec{n'}=(0;1;1).$ Mặt phẳng (R) đi qua $A(1;-1;2)$ nên có phương trình $(y+1)+(z-2)=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $y+z-1=0.$
Bài 5.43 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;0;2)$ và hai đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{1}=$ $\dfrac{y-1}{2}=$ $\dfrac{z}{2},$ $d'\colon\dfrac{x+1}{2}=$ $\dfrac{y+2}{2}=$ $\dfrac{z-3}{-1}.$
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d′.
b) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với đường thẳng d.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.
d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).
Lời giải
Hướng làm. Ý a) xét vị trí tương đối hai đường thẳng (Bài 15), ý b) đường thẳng song song thì giữ nguyên vectơ chỉ phương, ý c) mặt phẳng chứa điểm và đường thẳng như bài 5.41, ý d) thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (Oxz).
Đường thẳng d đi qua $M(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;2;2).$ Đường thẳng d′ đi qua $M'(-1;-2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u'}=(2;2;-1).$
a) Ta có $\left[\vec u,\vec{u'}\right]=$ $(-6;5;-2)$ và $\overrightarrow{MM'}=$ $(-1;-3;3)$ nên
\[\begin{aligned}\left[\vec u,\vec{u'}\right]\cdot\overrightarrow{MM'}&=6-15-6\\&=-15\ne 0.\end{aligned}\]Vậy d và d′ chéo nhau.
b) Đường thẳng Δ song song với d nên nhận $\vec u=(1;2;2)$ làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng Δ đi qua $A(1;0;2)$ nên có phương trình $\dfrac{x-1}{1}=$ $\dfrac{y}{2}=$ $\dfrac{z-2}{2}.$
c) Mặt phẳng (P) chứa A và d nên chứa hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{MA}=$ $(1;-1;2)$ và $\vec u=(1;2;2).$ Do đó (P) có vectơ pháp tuyến $\left[\overrightarrow{MA},\vec u\right]=$ $(-6;0;3),$ ta chọn $\vec n=(2;0;-1).$
Mặt phẳng (P) đi qua $A(1;0;2)$ nên có phương trình $2(x-1)-(z-2)=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $2x-z=0.$
d) Đường thẳng d có phương trình tham số $x=t,$ $y=1+2t,$ $z=2t.$ Mặt phẳng (Oxz) có phương trình $y=0.$
Thay $y=1+2t$ vào $y=0$ ta được $1+2t=0,$ tức là $t=-\dfrac12.$ Khi đó $x=-\dfrac12,$ $z=2t=-1.$ Vậy giao điểm cần tìm là $\left(-\dfrac12;0;-1\right).$
Bài 5.44 (SGK trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P)\colon x-2y-2z-3=0$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{2}=$ $\dfrac{y+1}{1}=$ $\dfrac{z}{-1}.$ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Lời giải
Hướng làm. Mặt phẳng (Q) chứa vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của (P). Tích có hướng của hai vectơ này là vectơ pháp tuyến của (Q) (Bài 14).
Đường thẳng d đi qua $M(1;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u=(2;1;-1).$ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P}=(1;-2;-2).$
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) nên $\vec u$ và $\vec{n_P}$ (không cùng phương) là cặp vectơ chỉ phương của (Q). Do đó (Q) có vectơ pháp tuyến $\left[\vec u,\vec{n_P}\right]=$ $(-4;3;-5),$ ta chọn $\vec n=(4;-3;5).$
Mặt phẳng (Q) đi qua $M(1;-1;0)$ nên có phương trình $4(x-1)-3(y+1)+5z=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $4x-3y+5z-7=0.$
Bài 5.45 (SGK trang 63). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{1}=$ $\dfrac{y-1}{2}=$ $\dfrac{z}{-1}$ và $d'\colon\dfrac{x-1}{1}=$ $\dfrac{y-2}{1}=$ $\dfrac{z+1}{2}.$ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d′.
Lời giải
Hướng làm. Mặt phẳng (P) chứa vectơ chỉ phương của cả d và d′. Tích có hướng của chúng là vectơ pháp tuyến của (P) (Bài 14).
Đường thẳng d đi qua $M(-1;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;2;-1).$ Đường thẳng d′ đi qua $M'(1;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u'}=(1;1;2).$
Mặt phẳng (P) chứa d và song song với d′ nên $\vec u,\vec{u'}$ (không cùng phương) là cặp vectơ chỉ phương của (P). Do đó (P) có vectơ pháp tuyến $\vec n=$ $\left[\vec u,\vec{u'}\right]=$ $(5;-3;-1).$
Mặt phẳng (P) đi qua $M(-1;1;0)$ nên có phương trình $5(x+1)-3(y-1)-z=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $5x-3y-z+8=0.$
Kiểm tra lại, thay tọa độ $M'$ vào vế trái ta được $5-6+1+8=8\ne 0$ nên $M'\notin(P),$ do đó d′ song song với (P) chứ không nằm trong (P).
Vậy (P) có phương trình $5x-3y-z+8=0.$
Bài 5.46 (SGK trang 63). Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P)\colon x-y-z-1=0,$ $(Q)\colon 2x+y-z-2=0$ và điểm $A(-1;2;0).$ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Lời giải
Hướng làm. Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng thì chứa vectơ pháp tuyến của cả hai mặt phẳng đó. Lấy tích có hướng của chúng (Bài 14).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P}=(1;-1;-1),$ mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q}=(2;1;-1).$ Hai vectơ này không cùng phương.
Mặt phẳng (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên $\vec{n_P},\vec{n_Q}$ là cặp vectơ chỉ phương của (R). Do đó (R) có vectơ pháp tuyến $\vec n=$ $\left[\vec{n_P},\vec{n_Q}\right]=$ $(2;-1;3).$
Mặt phẳng (R) đi qua $A(-1;2;0)$ nên có phương trình $2(x+1)-(y-2)+3z=0.$ Thu gọn lại, ta được phương trình cần tìm là $2x-y+3z+4=0.$
Bài 5.47 (SGK trang 63). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d\colon\dfrac{x+2}{1}=$ $\dfrac{y+3}{2}=$ $\dfrac{z-3}{-2}$ và $d'\colon\begin{cases}x=1-t\\y=-2+t\\z=2t.\end{cases}$
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d′.
b) Tính góc giữa d và d′.
Lời giải
Hướng làm. Ý a) xét vị trí tương đối hai đường thẳng (Bài 15), ý b) dùng công thức cos góc giữa hai đường thẳng (Bài 16).
Đường thẳng d đi qua $M(-2;-3;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;2;-2).$ Đường thẳng d′ đi qua $M'(1;-2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u'}=(-1;1;2).$
a) Ta có $\left[\vec u,\vec{u'}\right]=$ $(6;0;3)$ và $\overrightarrow{MM'}=$ $(3;1;-3)$ nên
\[\begin{aligned}\left[\vec u,\vec{u'}\right]\cdot\overrightarrow{MM'}&=18+0-9\\&=9\ne 0.\end{aligned}\]Vậy d và d′ chéo nhau.
b) Ta có
\[\begin{aligned}\cos(d,d')&=\dfrac{|\vec u\cdot\vec{u'}|}{|\vec u|\cdot|\vec{u'}|}\\&=\dfrac{|-1+2-4|}{3\cdot\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}.\end{aligned}\]Bấm máy $\cos^{-1}\dfrac{1}{\sqrt6}$ (chế độ độ). Vậy góc giữa d và d′ xấp xỉ $65{,}9^\circ.$
Bài 5.48 (SGK trang 63). Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng $d\colon\dfrac{x+3}{2}=$ $\dfrac{y-2}{-2}=$ $\dfrac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y-2z+3=0.$
Lời giải
Hướng làm. Dùng công thức sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Bài 16).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec u=(2;-2;1),$ mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec n=(1;1;-2).$ Ta có
\[\begin{aligned}\sin(d,(P))&=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}\\&=\dfrac{|2-2-2|}{3\cdot\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{9}.\end{aligned}\]Bấm máy $\sin^{-1}\dfrac{\sqrt6}{9}$ (chế độ độ). Vậy góc giữa d và (P) xấp xỉ $15{,}8^\circ.$
Bài 5.49 (SGK trang 63). Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng $(P)\colon x+y+z-1=0$ và mặt phẳng (Oxy).
Lời giải
Hướng làm. Dùng công thức cos góc giữa hai mặt phẳng (Bài 16).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec n=(1;1;1),$ mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec k=(0;0;1).$ Ta có
\[\cos((P),(Oxy))=\dfrac{|\vec n\cdot\vec k|}{|\vec n|\cdot|\vec k|}=\dfrac{1}{\sqrt3}.\]Vậy góc giữa (P) và (Oxy) xấp xỉ $54{,}7^\circ.$
Bài 5.50 (SGK trang 63). Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Lời giải
Hướng làm. Độ nghiêng của đáy bể chính là góc giữa mặt phẳng đáy và mặt phẳng nằm ngang. Ta gắn hệ trục, tìm tọa độ ba điểm chạm đáy, lập vectơ pháp tuyến của đáy (Bài 14) rồi dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng (Bài 16).
• Chọn hệ trục tọa độ
Chọn hệ trục Oxyz (đơn vị mét) sao cho mặt nước là mặt phẳng (Oxy) và tia Oz hướng lên trên. Ba vị trí thả dây đôi một cách nhau 2 m nên tạo thành tam giác đều cạnh 2, ta đặt chúng tại $A(0;0;0),$ $B(2;0;0),$ $C(1;\sqrt3;0).$
Dây dọi thẳng đứng nên các điểm chạm đáy nằm ngay bên dưới A, B, C, tức là $A'(0;0;-4),$ $B'(2;0;-4{,}4),$ $C'(1;\sqrt3;-4{,}8).$
• Tìm vectơ pháp tuyến của đáy bể
Ta có $\overrightarrow{A'B'}=$ $(2;0;-0{,}4)$ và $\overrightarrow{A'C'}=$ $(1;\sqrt3;-0{,}8)$ nên
\[\left[\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\right]=\left(0{,}4\sqrt3;\,1{,}2;\,2\sqrt3\right).\]Nhân với $\dfrac52$ ta được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đáy $(A'B'C')$ là $\vec n=$ $(\sqrt3;3;5\sqrt3).$
• Tính góc
Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec k=(0;0;1).$ Gọi φ là góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang, ta có
\[\begin{aligned}\cos\varphi&=\dfrac{|\vec n\cdot\vec k|}{|\vec n|\cdot|\vec k|}\\&=\dfrac{5\sqrt3}{\sqrt{3+9+75}}=\dfrac{5}{\sqrt{29}}.\end{aligned}\]Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc xấp xỉ $21{,}8^\circ.$
Bài 5.51 (SGK trang 63). Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng (Oxy), đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(5;6;-2).$ Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Lời giải
Hướng làm. Góc giữa đường ống và mặt sàn chính là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Dùng công thức sin (Bài 16).
Đường ống thoát nước nằm trên đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=$ $(4;4;-1).$ Mặt sàn (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec k=(0;0;1).$ Ta có
\[\begin{aligned}\sin(AB,(Oxy))&=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\vec k\right|}{AB\cdot|\vec k|}\\&=\dfrac{|-1|}{\sqrt{16+16+1}}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{33}}.\end{aligned}\]Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn xấp xỉ $10{,}0^\circ.$
Bài 5.52 (SGK trang 63). Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí B là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat{BAO}=$ $90^\circ,$ với O là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ và người quan sát ở vị trí $B(1;1;-1).$
Gọi A là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí B. Tính khoảng cách AB.
Lời giải
Hướng làm. Đề dài nhưng ý toán ngắn. Điểm A nằm trên mặt cầu nên $OA=R,$ góc tại A vuông nên tam giác OAB vuông tại A. Ta tính OB rồi dùng định lí Pythagore.
Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R=1.$
Điểm A thuộc (S) nên $OA=1.$ Ta có $OB=$ $\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=$ $\sqrt3.$
Tam giác OAB vuông tại A (vì $\widehat{BAO}=$ $90^\circ$), theo định lí Pythagore ta có
\[\begin{aligned}AB&=\sqrt{OB^2-OA^2}\\&=\sqrt{3-1}=\sqrt2.\end{aligned}\]Vậy $AB=\sqrt2$ (không phụ thuộc vào vị trí của A trên đường chân trời).
Bình luận
Viết bình luận của bạn