Bài học Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Toán 12, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương I) giúp các em hiểu và tìm được tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, nhất là hàm phân thức. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Tiệm cận là gì? Đường tiệm cận là một đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến sát vào mãi (khoảng cách dần tới 0) khi điểm trên đồ thị chạy ra xa vô tận. Có ba loại: tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
1. Tiệm cận ngang
Đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=y_0$ hoặc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=y_0.$
Hiểu đơn giản. Khi $x$ chạy rất xa về bên phải (hoặc bên trái), đồ thị nằm ngày càng sát đường nằm ngang $y=y_0.$
Ví dụ 1. Với hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1},$ chia cả tử và mẫu cho $x,$ ta có
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+1}{x-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2.\]Vậy đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ (xem hình ở mục 2).
Mẹo nhanh với phân thức (tử và mẫu là đa thức):
• bậc tử bằng bậc mẫu thì tiệm cận ngang là $y=$ (hệ số bậc cao nhất của tử) chia (hệ số bậc cao nhất của mẫu);
• bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì tiệm cận ngang là $y=0;$
• bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.
Chú ý. Một đồ thị có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau khi $x\to+\infty$ và khi $x\to-\infty.$ Ví dụ đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=-1.$
2. Tiệm cận đứng
Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong hai giới hạn $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),$ $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty.$
Hiểu đơn giản. Khi $x$ tiến sát $x_0,$ đồ thị vọt lên rất cao hoặc lao xuống rất thấp, bám sát đường thẳng đứng $x=x_0.$
Cách tìm với phân thức. Tìm nghiệm $x_0$ của mẫu số, rồi tính giới hạn một bên tại $x_0.$ Nếu giới hạn là $+\infty$ hoặc $-\infty$ thì $x=x_0$ là tiệm cận đứng. Để biết dấu của $\infty,$ ta xét dấu của tử và của mẫu khi $x$ ở gần $x_0.$
Ví dụ 2. Với $y=\dfrac{2x+1}{x-1},$ mẫu bằng 0 khi $x=1.$ Khi $x\to 1^+$ thì tử $2x+1\to 3\gt 0,$ mẫu $x-1\to 0$ và $x-1\gt 0,$ nên $\lim\limits_{x\to 1^+}y=+\infty.$
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1.$
Lỗi hay gặp. Nghiệm của mẫu chưa chắc cho tiệm cận đứng. Nếu tử và mẫu có chung nhân tử $x-x_0$ thì sau khi rút gọn, giới hạn tại $x_0$ có thể là một số hữu hạn, khi đó $x=x_0$ không phải tiệm cận đứng (xem Bài 1.17).
3. Tiệm cận xiên
Đường thẳng $y=ax+b$ $(a\ne 0)$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu
\[\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\]hoặc
\[\lim_{x\to-\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0.\]Hiểu đơn giản. Khi $x$ chạy rất xa, đồ thị nằm ngày càng sát một đường thẳng nghiêng $y=ax+b.$
Cách tìm tổng quát. Tính $a=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ và $b=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-ax\right]$ (hoặc khi $x\to-\infty).$ Nếu $a,$ $b$ là số hữu hạn và $a\ne 0$ thì $y=ax+b$ là tiệm cận xiên; nếu $a=0$ thì ta được tiệm cận ngang.
Cách nhanh với phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị: chia tử cho mẫu để viết $f(x)=ax+b+\dfrac{r}{\text{mẫu}};$ phần phân số dần tới 0 nên tiệm cận xiên là $y=ax+b.$
Ví dụ 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}.$
Chia tử cho mẫu, ta có $x^2+x+1=(x-1)(x+2)+3,$ nên $y=x+2+\dfrac{3}{x-1}.$
• Vì $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x+2)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3}{x-1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+2.$
• Khi $x\to 1^+$ thì $\dfrac{3}{x-1}\to+\infty,$ nên $\lim\limits_{x\to 1^+}y=+\infty.$ Do đó đồ thị có tiệm cận đứng $x=1.$
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1.16 (SGK trang 25). Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y=f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-1}.$ Sử dụng đồ thị này, hãy:
Hình 1.26
a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x);$ $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x);$ $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x);$ $\lim\limits_{x\to -1^+}f(x).$
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải
a) Nhìn Hình 1.26, ta thấy
• khi $x\to-\infty$ hoặc $x\to+\infty,$ đồ thị tiến sát đường thẳng $y=2,$ nên $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2;$
• khi $x$ tiến tới $1$ từ bên trái hoặc tiến tới $-1$ từ bên phải (tức là $x$ nằm giữa $-1$ và $1),$ đồ thị lao xuống dưới, nên $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$ và $\lim\limits_{x\to -1^+}f(x)=-\infty.$
b) Từ câu a, ta có
• đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2;$
• đồ thị có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x=1$ và $x=-1.$
Bài 1.17 (SGK trang 25). Đường thẳng $x=1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x-3}{x-1}$ không?
Lời giải
Ta có $x^2+2x-3=(x-1)(x+3),$ nên với $x\ne 1$ thì
\[y=\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=x+3.\]Do đó $\lim\limits_{x\to 1^+}y=\lim\limits_{x\to 1^-}y=1+3=4,$ là một số hữu hạn, không phải $\pm\infty.$
Vậy đường thẳng $x=1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (Đồ thị là đường thẳng $y=x+3$ bị khuyết điểm $(1;4).)$
Bài 1.18 (SGK trang 25). Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y=\dfrac{3-x}{2x+1};$
b) $y=\dfrac{2x^2+x-1}{x+2}.$
Lời giải
a) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}.$
• Tiệm cận ngang
\[\begin{aligned}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3-x}{2x+1}&=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}\\&=-\frac{1}{2}.\end{aligned}\]Do đó đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{2}.$
• Tiệm cận đứng
Khi $x\to\left(-\dfrac{1}{2}\right)^+$ thì tử $3-x\to\dfrac{7}{2}\gt 0,$ mẫu $2x+1\to 0$ và $2x+1\gt 0,$ nên $y\to+\infty.$
Do đó đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{2}.$
b) Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}.$ Chia tử cho mẫu, ta có $2x^2+x-1=(x+2)(2x-3)+5,$ nên
\[y=2x-3+\frac{5}{x+2}.\]• Tiệm cận xiên
Ta có $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x-3)\right]$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x+2}=0.$ Do đó đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x-3.$
• Tiệm cận đứng
Khi $x\to -2^+$ thì $\dfrac{5}{x+2}\to+\infty,$ nên $y\to+\infty.$ Do đó đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2.$
(Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên đồ thị không có tiệm cận ngang.)
Bài 1.19 (SGK trang 25). Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là $C(x)=2x+50$ (triệu đồng). Khi đó $f(x)=\dfrac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f(x)$ giảm và $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2.$ Tính chất này nói lên điều gì?
Lời giải
Với $x\gt 0$ ta có $f(x)=\dfrac{2x+50}{x}=2+\dfrac{50}{x}.$
• Ta có $f'(x)=-\dfrac{50}{x^2}\lt 0$ với mọi $x\gt 0,$ nên hàm số $f(x)$ nghịch biến (giảm) trên $(0;+\infty).$
• Vì $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{50}{x}=0$ nên $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2.$
Ý nghĩa. Sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm. Tuy nhiên chi phí trung bình luôn lớn hơn 2 triệu đồng (vì $\dfrac{50}{x}\gt 0)$ và chỉ dần tới 2 triệu đồng khi số sản phẩm rất lớn. Trên đồ thị, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang.
Bài 1.20 (SGK trang 25). Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m². Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x$ (m).
a) Viết biểu thức tính chu vi $P(x)$ (mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=P(x).$ Giải thích ý nghĩa thực tiễn của các kết quả này.
Lời giải
a) Diện tích bằng 144 m² nên cạnh còn lại dài $\dfrac{144}{x}$ (m), với $x\gt 0.$ Chu vi mảnh vườn là
\[\begin{aligned}P(x)&=2\left(x+\frac{144}{x}\right)\\&=2x+\frac{288}{x},\ x\gt 0.\end{aligned}\]b) Ta có
• $\lim\limits_{x\to 0^+}P(x)=+\infty$ (vì $\dfrac{288}{x}\to+\infty),$ nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=0$ (trục tung);
• $\lim\limits_{x\to+\infty}\left[P(x)-2x\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{288}{x}=0,$ nên đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x.$
Ý nghĩa.
• Khi một cạnh rất ngắn $(x$ gần 0) thì cạnh kia rất dài, nên chu vi rất lớn.
• Khi một cạnh rất dài $(x$ rất lớn) thì cạnh kia rất ngắn, nên chu vi gần bằng $2x,$ tức là gần bằng hai lần cạnh dài.
xin chào
Trả lờiXóa