Bài toán tốc độ thay đổi liên quan là dạng toán thực tế dùng đạo hàm theo thời gian, thuộc phần ứng dụng đạo hàm của Toán 12 Chương I (sách Kết nối tri thức). Bài viết gồm 5 bài toán quen thuộc: máy bay và ra đa, thang trượt trên tường thẳng đứng, thang trên tường nghiêng, hai thùng hàng nối qua ròng rọc và máng nước hình lăng trụ. Tất cả bài tập đều có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Nguồn đề: các bài 14 – 18 trong sách Toán thực tế của tác giả Đỗ Văn Đức (ảnh trang sách được chia sẻ trên trang Facebook Toán Dạy Vinh). Trong bài này đánh số lại thành Câu 1 – Câu 5.
Lời giải: Nguyễn Ngọc Sơn.
A. Cách làm bài toán tốc độ thay đổi liên quan
Trong các bài này, hai (hoặc nhiều) đại lượng cùng thay đổi theo thời gian $t$ và luôn liên hệ với nhau bằng một hệ thức. Biết tốc độ thay đổi của đại lượng này, ta tìm tốc độ thay đổi của đại lượng kia. Nhắc lại: đạo hàm của một đại lượng theo thời gian chính là tốc độ thay đổi của đại lượng đó (xem lại Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn).
• Đặt tên các đại lượng thay đổi theo thời gian, ví dụ $x=x(t),$ $y=y(t).$
• Lập hệ thức giữa các đại lượng (định lí Pythagore, định lí côsin, công thức thể tích…).
• Đạo hàm hai vế theo $t$ bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp, chẳng hạn $\left(x^2\right)'=2x\,x'$ với $x'$ là đạo hàm của $x$ theo $t.$
• Thay số tại thời điểm đề bài hỏi rồi tính đại lượng cần tìm.
Lưu ý: chỉ thay số sau khi đã đạo hàm. Nếu thay số trước, đại lượng trở thành hằng số và đạo hàm bằng 0.
B. Bài tập có lời giải
Câu 1. Một máy bay đang bay ngang ở độ cao 10 km so với mặt đất, thu phát tín hiệu qua một ăng-ten ra đa như hình vẽ. Khi máy bay cách ra đa 16 km, ra đa phát hiện khoảng cách giữa máy bay và ra đa thay đổi với tốc độ 546 km/h. Tìm vận tốc của máy bay (đơn vị km/h, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Gọi $x$ (km) là khoảng cách theo phương ngang từ ra đa đến máy bay và $s$ (km) là khoảng cách từ ra đa đến máy bay. Máy bay bay ngang ở độ cao 10 km nên theo định lí Pythagore ta có
\[s^2=x^2+100.\]Đạo hàm hai vế theo $t$ ta được
\[2s\,s'=2x\,x'\Rightarrow x'=\dfrac{s\,s'}{x}.\]Khi $s=16$ thì $x=\sqrt{16^2-100}=\sqrt{156},$ và $s'=546.$ Do đó
\[x'=\dfrac{16\cdot 546}{\sqrt{156}}\approx 699{,}4.\]Vậy vận tốc của máy bay khoảng 699 km/h.
Câu 2. Một chiếc thang dài 9 mét tựa vào một bức tường thẳng đứng trên mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là 2 m/s thì đầu trên của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất 3 mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu? (đơn vị m/s, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải
Gọi O là chân tường, A là đầu dưới, B là đầu trên của thang. Đặt $x=OA$ và $y=OB$ (m). Tam giác OAB vuông tại O nên
\[x^2+y^2=81.\]Đạo hàm hai vế theo $t$ ta được
\[2x\,x'+2y\,y'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{x\,x'}{y}.\]Khi $y=3$ thì $x=\sqrt{81-9}=6\sqrt2,$ và $x'=2.$ Do đó
\[y'=-\dfrac{6\sqrt2\cdot 2}{3}=-4\sqrt2\approx -5{,}66.\]Dấu trừ cho biết đầu trên của thang đang đi xuống. Vậy tốc độ di chuyển của đầu trên thang khoảng 5,66 m/s.
Câu 3. Một chiếc thang dài 9 mét tựa vào một bức tường có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là $120^\circ.$ Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi 2 m/s thì đầu trên của thang sẽ trượt dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang có chiều cao cách mặt đất 3 m thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu? (đơn vị m/s, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải
Hướng giải
Tam giác tạo bởi thang, mặt đất và bức tường không vuông mà có góc $120^\circ$ ở chân tường, nên dùng định lí côsin để lập hệ thức giữa hai khoảng cách, rồi đạo hàm theo $t.$
Gọi O là chân tường, A là đầu dưới, B là đầu trên của thang. Đặt $x=OA$ và $y=OB$ (m), trong đó $y$ là khoảng cách đo dọc theo bức tường, ta có $\widehat{AOB}=120^\circ.$
• Lập hệ thức. Theo định lí côsin trong tam giác OAB ta có $AB^2=x^2+y^2-2xy\cos120^\circ,$ suy ra
\[x^2+xy+y^2=81.\]• Đạo hàm theo $t.$ Ta có $2x\,x'+x'y+x\,y'+2y\,y'=0,$ suy ra
\[y'=-\dfrac{(2x+y)\,x'}{x+2y}.\]• Thay số. Bức tường nghiêng $60^\circ$ so với mặt đất ở phía bên kia nên độ cao của B là $y\sin60^\circ.$ Khi độ cao bằng 3 m thì
\[y=\dfrac{3}{\sin60^\circ}=2\sqrt3.\]Thay vào hệ thức ta được $x^2+2\sqrt3\,x-69=0,$ với $x\gt 0$ suy ra $x=6\sqrt2-\sqrt3.$ Khi đó $2x+y=12\sqrt2$ và $x+2y=6\sqrt2+3\sqrt3,$ cùng với $x'=2$ ta có
\[y'=-\dfrac{24\sqrt2}{6\sqrt2+3\sqrt3}\approx -2{,}48.\]Vậy tốc độ di chuyển của đầu trên thang khoảng 2,48 m/s.
Câu 4. Có hai thùng hàng A và B được đặt trên sàn nhà kho. Hai thùng hàng được nối với nhau bằng một sợi dây dài 15 m, sợi dây luôn căng và được kéo qua một ròng rọc gắn tại điểm P trên trần nhà. Biết trần nhà cao 4 m so với mặt sàn (đoạn $PQ=4$ m) và trong quá trình di chuyển, hai thùng hàng luôn nằm trên mặt sàn (bỏ qua lực ma sát). Nếu thùng A cách Q khoảng 3 m và đang được kéo ra xa Q với tốc độ không đổi 0,5 m/s, hỏi thùng B đang di chuyển về phía Q với tốc độ bao nhiêu m/s? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Hướng giải
Tổng độ dài hai đoạn dây $PA+PB$ luôn bằng 15 m. Viết mỗi đoạn dây theo khoảng cách từ thùng hàng đến Q rồi đạo hàm hệ thức này theo $t.$
Đặt $x=QA$ và $y=QB$ (m). Các tam giác PQA, PQB vuông tại Q nên $PA=\sqrt{x^2+16}$ và $PB=\sqrt{y^2+16}.$ Dây dài 15 m nên
\[\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}=15.\]Đạo hàm hai vế theo $t$ ta được
\[\dfrac{x\,x'}{\sqrt{x^2+16}}+\dfrac{y\,y'}{\sqrt{y^2+16}}=0.\]Khi $x=3$ thì $PA=5,$ suy ra $PB=10$ và $y=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21}.$ Thay $x'=0{,}5$ ta được
\[\begin{aligned}&\dfrac{3\cdot 0{,}5}{5}+\dfrac{2\sqrt{21}\,y'}{10}=0\\&\Rightarrow y'=-\dfrac{3}{2\sqrt{21}}\approx -0{,}33.\end{aligned}\]Dấu trừ cho biết khoảng cách từ B đến Q đang giảm. Vậy thùng B di chuyển về phía Q với tốc độ khoảng 0,33 m/s.
Câu 5. Một cái máng dạng hình lăng trụ, trong đó hai đầu của máng là tam giác cân, với đáy dài 3 m và chiều cao 4 m, và chiều dài của máng là 10 m. Nước đang được bơm vào máng với tốc độ 5 m³/phút. Hỏi tốc độ thay đổi chiều cao của mực nước là bao nhiêu m/phút khi mực nước đang ở độ cao 1 m? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải
Gọi $h$ (m) là chiều cao mực nước và $w$ (m) là bề rộng mặt nước. Mặt cắt của phần nước là tam giác đồng dạng với mặt cắt của máng nên
\[\dfrac{w}{3}=\dfrac{h}{4}\Rightarrow w=\dfrac{3h}{4}.\]Thể tích nước trong máng bằng diện tích mặt cắt nhân chiều dài máng, tức là
\[V=\dfrac12\cdot w\cdot h\cdot 10=\dfrac{15h^2}{4}.\]Đạo hàm hai vế theo $t$ (đơn vị phút) ta được $V'=\dfrac{15}{2}\,h\,h'.$ Thay $V'=5$ và $h=1$ ta có
\[5=\dfrac{15}{2}\cdot 1\cdot h'\Rightarrow h'=\dfrac23\approx 0{,}67.\]Vậy khi mực nước ở độ cao 1 m thì chiều cao mực nước tăng với tốc độ khoảng 0,67 m/phút.
