Đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 12 trường chuyên Lương Văn Tụy (Ninh Bình) 2026 – 2027 (có lời giải chi tiết)

Lời giải

Vì $(2x-5)^2\ge0$ với mọi $x$ và chỉ bằng 0 tại $x=\dfrac52$ nên $f'(x)\lt0\Leftrightarrow x+1\lt0\Leftrightarrow x\lt-1.$ Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ (xem lại Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số).

Chọn B

Lời giải

Đồ thị đi qua điểm $(-2;4).$ Thay $x=-2$ vào từng hàm số ta được

+ phương án A cho $y=\dfrac{-4}{-1}=4;$

+ phương án B cho $y=\dfrac{4}{-1}=-4;$

+ phương án C cho $y=\dfrac{6}{-1}=-6;$

+ phương án D cho $y=\dfrac{10}{-1}=-10.$

Chỉ phương án A thỏa mãn. Kiểm tra thêm, hàm số $y=\dfrac{-x^2}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua gốc tọa độ, đúng như hình.

Chọn A

Lời giải

Ta có $y'=3x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2.$ Đạo hàm $y'$ là tam thức bậc hai có hệ số $a=3\gt0$ nên đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua 2, suy ra $x=2$ là điểm cực tiểu và $y(2)=8-12+2=-2.$ Điểm cực tiểu của đồ thị là $(2;-2).$

Chọn D

Lời giải

Đồ thị có dạng của hàm số bậc ba (có hai điểm cực trị) nên loại phương án A và D. Nhánh bên phải của đồ thị đi lên nên hệ số của $x^3$ dương, loại phương án B. Hàm số $y=x^3-3x+1$ có $y(0)=1\gt0,$ đúng với giao điểm của đồ thị và trục tung.

Chọn C

Lời giải

Ta có $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4x+1}{2x-2}=\dfrac42=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$ (xem lại Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).

Chọn B

Lời giải

Vận tốc của vật là $v(t)=S'(t)=t^2-6t+5.$ Ta có $v'(t)=2t-6\gt0\Leftrightarrow t\gt3,$ nên vận tốc tăng trong khoảng thời gian $(3;+\infty).$

Chọn B

Lời giải

Nhìn bảng biến thiên, đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$ và tiệm cận đứng $x=1,$ đồng thời $y'\lt0$ trên từng khoảng xác định. Chỉ hai phương án B và D có hai tiệm cận này.

+ Với $y=\dfrac{x-3}{x-1}$ ta có $y'=\dfrac{2}{(x-1)^2}\gt0,$ loại.

+ Với $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ ta có $y'=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\lt0,$ thỏa mãn.

Chọn D

Lời giải

Nhìn đồ thị, khi $x\to0$ thì đồ thị đi ra vô cực nên $x=0$ là tiệm cận đứng; khi $x\to\pm\infty$ thì đồ thị tiến sát đường thẳng $y=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.

Các phương án còn lại sai vì đồ thị có hai đường tiệm cận, hàm số không có cực trị và đồ thị đi xuống trên mỗi khoảng $(-\infty;0),$ $(0;+\infty).$

Chọn B

Lời giải

Nhìn bảng biến thiên, ta có

+ $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng;

+ $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=-1,$ $y=2.$

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3.

Chọn C

Lời giải

Ta có $y'=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x},$ trên đoạn $[0;2]$ thì $y'=0\Leftrightarrow x=1$ (xem lại Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số).

Ta có $y(0)=0,$ $y(1)=\dfrac1e\approx0{,}37$ và $y(2)=\dfrac{2}{e^2}\approx0{,}27,$ nên giá trị lớn nhất là $\dfrac1e.$

Chọn A

Lời giải

Nhìn đồ thị, trên đoạn $[0;2]$ hàm số nghịch biến, giá trị lớn nhất là $f(0)=2$ và giá trị nhỏ nhất là $f(2)=-2.$ Tổng cần tìm là $2+(-2)=0.$

Chọn D

Lời giải

Nhìn bảng biến thiên, $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua 1 nên hàm số đạt cực đại tại $x=1,$ giá trị cực đại là $f(1)=0.$ (Tại $x=-3$ hàm số đạt cực tiểu, giá trị cực tiểu là 5.)

Chọn B

Lời giải

Ta có $y'=3x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2.$

a) Ta có $y''=6x-6=0\Leftrightarrow x=1$ và $y(1)=2,$ nên tâm đối xứng của đồ thị là $(1;2)$ (xem lại Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số). Vậy a) đúng.

b) Vì $y'\gt0$ khi $x\lt0$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty;0),$ do đó cũng đồng biến trên $(-\infty;-2).$ Vậy b) đúng.

c) Hai điểm cực trị là $(0;4)$ và $(2;0).$ Đường thẳng đi qua hai điểm này là $y=-2x+4.$ Vậy c) sai.

d) Ta có $y'=3x^2-6x.$ Vậy d) đúng.

Lời giải

Ta có $V'(t)=300\left(2t-3t^2\right)$ $=600t-900t^2.$

a) Lượng xăng ban đầu là $V(0)=4$ lít. Vậy a) đúng.

b) Hàm số $V'(t)=-900t^2+600t$ là hàm bậc hai có hệ số $a\lt0,$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=\dfrac{600}{1800}=\dfrac13$ phút, tức là 20 giây (thuộc đoạn $[0;0{,}5]$). Vậy b) sai.

c) Đổi 30 giây = 0,5 phút. Khi bình đầy thì $V(0{,}5)=300(0{,}25-0{,}125)+4$ $=41{,}5$ lít. Lượng xăng bơm vào là $41{,}5-4=37{,}5$ lít, nên số tiền phải trả là $37{,}5\cdot20000=750000$ đồng. Vậy c) đúng.

d) Ta có $V'(t)=0$ $\Leftrightarrow 300t(2-3t)=0$ $\Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=\dfrac23.$ Vì $\dfrac23\notin\left[0;\dfrac12\right]$ nên phương trình chỉ có một nghiệm trên đoạn này. Vậy d) sai.

Lời giải

Nhìn đồ thị, tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang là $y=-1.$ Đồ thị hàm số $y=\dfrac{ax+b}{x+c}$ có tiệm cận đứng $x=-c$ và tiệm cận ngang $y=a,$ suy ra $c=-1$ và $a=-1.$ Đồ thị đi qua điểm $(2;0)$ nên $-2+b=0\Leftrightarrow b=2.$ Vậy $y=\dfrac{-x+2}{x-1}$ (đồ thị cũng đi qua $(0;-2),$ đúng như hình).

Ta có $y'=\dfrac{-1}{(x-1)^2}\lt0$ với mọi $x\ne1.$

a) Hàm số nghịch biến trên $[3;4]$ nên $\max\limits_{[3;4]}y=y(3)=-\dfrac12.$ Vậy a) sai.

b) Theo trên, b) đúng.

c) Vì $y'\lt0$ trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$ nên c) đúng.

d) Ta có $a+2b+3c=-1+4-3=0.$ Vậy d) sai.

Lời giải

Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$

c) Ta có

$f(x)=2x+1+\dfrac{8}{x-1},$ suy ra

\[\begin{aligned}f'(x)&=2-\dfrac{8}{(x-1)^2}\\&=\dfrac{2x^2-4x-6}{(x-1)^2}.\end{aligned}\]

Vậy c) đúng.

Ta có $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow x^2-2x-3=0$ $\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=3.$ Bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau.

a) Hàm số không xác định tại $x=1\in(-1;3),$ nên chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-1;1)$ và $(1;3),$ không nghịch biến trên $(-1;3).$ Vậy a) sai.

b) Ta có $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{8}{x-1}=0,$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1.$ Vậy b) sai.

d) Nhìn bảng xét dấu, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua 3 nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3.$ Vậy d) sai.

Lời giải

Gọi $s$ (dm) là cạnh của hình vuông NFQE, đây là đáy chậu, với $0\lt s\lt6.$

• Kích thước của chậu

Vì N thuộc đường chéo AC nên N cách đều hai cạnh AB, AD, mỗi khoảng cách bằng $\dfrac{8-s}{2}.$

Mỗi mặt bên của chậu là một hình thang cân, chẳng hạn mặt bên có đáy nhỏ NF có đáy lớn nằm trên cạnh AD, dài $8-2=6$ dm, và chiều cao bằng khoảng cách từ N đến AD. Như vậy chậu là hình chóp cụt tứ giác đều có miệng là hình vuông cạnh 6, đáy là hình vuông cạnh $s$ và trung đoạn $d=\dfrac{8-s}{2}.$

Chiều cao $h$ của chậu thỏa mãn

\[\begin{aligned}h^2&=d^2-\left(\dfrac{6-s}{2}\right)^2\\&=\dfrac{(8-s)^2-(6-s)^2}{4}=7-s.\end{aligned}\]

• Thể tích chậu

Áp dụng công thức thể tích khối chóp cụt $V=\dfrac h3\left(S+S'+\sqrt{SS'}\right)$ với $S=36,$ $S'=s^2$ ta được

\[V(s)=\dfrac{\sqrt{7-s}}{3}\left(s^2+6s+36\right).\]

Lấy đạo hàm theo quy tắc đạo hàm của tích rồi quy đồng, ta được

\[V'(s)=\dfrac{-5s^2+10s+48}{6\sqrt{7-s}}.\]

Trên khoảng $(0;6)$ ta có $V'(s)=0$ $\Leftrightarrow s=s_0=\dfrac{5+\sqrt{265}}{5}$ $\approx4{,}256.$

Nhìn bảng biến thiên, thể tích lớn nhất là $V(s_0)\approx43{,}98$ dm³, tức là khoảng 44 lít.

Lời giải

Ta có $P(x)=40000+6x,$ suy ra $F(x)=6+\dfrac{40000}{x}.$

Vì $F'(x)=-\dfrac{40000}{x^2}\lt0$ nên $F(x)$ nghịch biến trên $[1;+\infty),$ tức là sản xuất càng nhiều thì chi phí trung bình càng thấp. Mặt khác $F(x)\gt6$ với mọi $x\ge1$ và $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=6.$

Vậy chi phí trung bình của mỗi đồ chơi không thể nhỏ hơn 6 USD.

Lời giải

Ta có

\[y'=\dfrac{3x^2-12x+9}{(x-2)^2}.\]

Do đó $y'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3.$

Đặt $u=3x^2-x-7,$ $v=x-2.$ Tại điểm cực trị thì $u'v-uv'=0,$ suy ra $\dfrac uv=\dfrac{u'}{v'},$ nên tung độ điểm cực trị tính theo $y=\dfrac{u'}{v'}=6x-1.$ Hai điểm cực trị là $(1;5)$ và $(3;17),$ khoảng cách giữa chúng là

\[\sqrt{2^2+12^2}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.\]

Suy ra $a=37.$

Đáp số: 37.

Lời giải

Ta có $y'=3x^2-4x+a.$

+ Vì $x=1$ là điểm cực trị nên $y'(1)=0\Leftrightarrow3-4+a=0\Leftrightarrow a=1.$

+ Vì A thuộc $(C)$ nên $1-2+a+b=3\Leftrightarrow b=3.$

Thử lại, với $a=1$ thì $y'=3x^2-4x+1=(x-1)(3x-1)$ đổi dấu khi $x$ đi qua 1, nên $A(1;3)$ đúng là điểm cực trị. Ta có $P=2027\cdot1+3=2030.$

Đáp số: 2030.

Lời giải

• Lập hàm lợi nhuận

+ Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $x\cdot G(x)$ $=x^3-77x^2+1000x+40000.$

+ Doanh thu sau khi trừ 10% thuế là $0{,}9F(x)=-1{,}8x^2+1180{,}8x.$

Lợi nhuận là $L(x)=0{,}9F(x)-x\cdot G(x),$ tức là

\[\begin{aligned}L(x)&=-x^3+75{,}2x^2\\&\quad+180{,}8x-40000.\end{aligned}\]

• Khảo sát hàm lợi nhuận

Ta có $L'(x)=-3x^2+150{,}4x+180{,}8.$ Trên đoạn $[1;300]$ thì $L'(x)=0\Leftrightarrow x=x_0\approx51{,}31.$

Vì $x$ là số nguyên nên ta so sánh hai giá trị gần $x_0$ nhất là $L(51)=32165$ và $L(52)=32134{,}4.$ Do $L(51)\gt L(52)$ nên lợi nhuận lớn nhất khi $x=51.$

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 51 sản phẩm.

Lời giải

• Tìm hàm số

Ta có $y'=\dfrac{x^2-4x-2a-b}{(x-2)^2}.$

+ Vì $x=1$ là điểm cực trị nên $y'(1)=0\Leftrightarrow 2a+b=-3.$

+ Vì đồ thị đi qua $(1;1)$ nên $\dfrac{1+a+b}{-1}=1\Leftrightarrow a+b=-2.$

Giải hệ ta được $a=-1$ và $b=-1,$ suy ra

\[y=\dfrac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\dfrac{1}{x-2}.\]

• Độ dài ngắn nhất của cầu

Hai vị trí A, B nằm trên hai nhánh của đồ thị. Gọi $u,$ $v$ là khoảng cách từ A, B đến tiệm cận đứng $x=2$ $(u,v\gt0),$ khi đó

\[\begin{aligned}&A\left(2+u;3+u+\tfrac1u\right),\\&B\left(2-v;3-v-\tfrac1v\right).\end{aligned}\]

Đặt $t=u+v,$ ta có

\[\begin{aligned}AB^2&=t^2+\left(t+\dfrac1u+\dfrac1v\right)^2\\&=t^2+t^2\left(1+\dfrac{1}{uv}\right)^2.\end{aligned}\]

Theo bất đẳng thức Cô-si, $uv\le\dfrac{t^2}{4},$ suy ra $\dfrac{1}{uv}\ge\dfrac{4}{t^2}.$ Do đó

\[\begin{aligned}AB^2&\ge t^2+\left(t+\dfrac4t\right)^2\\&=2t^2+\dfrac{16}{t^2}+8\\&\ge2\sqrt{32}+8=8\sqrt2+8.\end{aligned}\]

Dấu bằng xảy ra khi $u=v$ và $t^4=8.$ Vậy $AB$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{8+8\sqrt2}\approx4{,}395$ đơn vị.

Mỗi đơn vị là 10 mét nên độ dài ngắn nhất của chiếc cầu khoảng 43,9 mét.