Bài toán cắt tấm bạt hình tròn rồi gấp thành cái lều dạng hình chóp tứ giác đều có thể tích lớn nhất là dạng toán thực tế vận dụng đạo hàm của Toán 12 Chương I (sách Kết nối tri thức). Bài toán có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Nguồn đề: Facebook của thầy Hoàng Trọng Nghĩa (tài liệu Chinh phục vận dụng cao môn Toán 2027).
Lời giải: Nguyễn Ngọc Sơn.
Đề bài và lời giải
Bài toán. Từ một tấm bạt hình tròn có bán kính 6 mét, người ta cắt bỏ 4 phần (như hình vẽ) để giữ lại một phần gồm một hình vuông cạnh bằng x (mét) và 4 tam giác cân tại các đỉnh nằm trên đường tròn. Sau đó, người ta gấp 4 tam giác này lên để chụm đầu lại tạo thành một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều. Thể tích của lều đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần chục)?
Lời giải
Hướng giải
Hình vuông có tâm là tâm đường tròn, đỉnh tam giác cách tâm 6 m nên trung đoạn của lều bằng $6-\dfrac x2.$ Từ đó tính chiều cao, lập hàm thể tích và khảo sát.
• Lập hàm thể tích
Gọi O là tâm tấm bạt (cũng là tâm hình vuông), M là trung điểm một cạnh hình vuông và K là đỉnh tam giác cân tương ứng. Ba điểm O, M, K thẳng hàng, $OK=6$ và $OM=\dfrac x2,$ nên trung đoạn của lều là $MK=6-\dfrac x2.$ Chiều cao của lều là
\[h=\sqrt{\left(6-\dfrac x2\right)^2-\dfrac{x^2}{4}}=\sqrt{36-6x}.\]Điều kiện $0\lt x\lt6.$ Thể tích của lều là
\[V(x)=\dfrac13x^2\sqrt{36-6x}.\]• Tìm giá trị lớn nhất
Ta có
\[V'(x)=\dfrac{x(72-15x)}{3\sqrt{36-6x}},\]$V'(x)=0\Leftrightarrow x=4{,}8$ (vì $x\gt0$).
Tại $x=4{,}8$ ta có
\[V(4{,}8)=\dfrac13\cdot4{,}8^2\cdot\sqrt{7{,}2}\approx20{,}6.\]Vậy thể tích lớn nhất của lều khoảng 20,6 m³.
Cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên được trình bày trong Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các em luyện thêm bài toán thực tế khác trong Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
Ảnh đề bài
Từ một tấm bạt hình tròn có bán kính 6 mét, người ta cắt bỏ 4 phần (như hình vẽ) để giữ lại một phần gồm: Một hình vuông cạnh bằng x (mét) và 4 tam giác cân tại các đỉnh nằm trên đường tròn. Sau đó, người ta gấp 4 tam giác này lên để chụm đầu lại tạo thành một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều. Thể tích của lều đạt giá trị lớn nhất của chop bằng (làm tròn đến hàng phần chục)
