Bài toán cắt bốn tam giác cân từ tấm bìa hình vuông rồi gấp thành khối chóp tứ giác đều có thể tích lớn nhất là dạng toán thực tế vận dụng đạo hàm của Toán 12 Chương I (sách Kết nối tri thức). Bài toán có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Nguồn đề: Facebook của thầy Hoàng Trọng Nghĩa (tài liệu Chinh phục vận dụng cao môn Toán 2027).
Lời giải: Nguyễn Ngọc Sơn.
Đề bài và lời giải
Bài toán. Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều như hình sau. Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Lời giải
Hướng giải
Đặt x là cạnh hình vuông nhỏ (cạnh đáy của chóp), tính trung đoạn rồi chiều cao của chóp theo x, sau đó khảo sát hàm thể tích.
• Lập hàm thể tích
Gọi O là tâm tấm bìa, x (dm) là cạnh hình vuông nhỏ. Xét một tam giác được giữ lại, có đáy là một cạnh của hình vuông nhỏ, trung điểm cạnh đó là M và đỉnh là góc K của tấm bìa. Ba điểm O, M, K thẳng hàng (cùng nằm trên đường chéo của tấm bìa).
Ta có $OM=\dfrac x2$ và $OK=3\sqrt2$ (nửa đường chéo hình vuông cạnh 6), nên trung đoạn của chóp là $MK=3\sqrt2-\dfrac x2.$ Chiều cao chóp bằng
\[\begin{aligned}h&=\sqrt{MK^2-OM^2}\\&=\sqrt{\left(3\sqrt2-\dfrac x2\right)^2-\dfrac{x^2}{4}}\\&=\sqrt{18-3\sqrt2\,x}.\end{aligned}\]Điều kiện $0\lt x\lt 3\sqrt2.$ Thể tích khối chóp là
\[V(x)=\dfrac13x^2\sqrt{18-3\sqrt2\,x}.\]• Tìm giá trị lớn nhất
Ta có
\[V'(x)=\dfrac{x\left(72-15\sqrt2\,x\right)}{6\sqrt{18-3\sqrt2\,x}},\]$V'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{72}{15\sqrt2}=\dfrac{12\sqrt2}{5}$ (vì $x\gt0$).
Tại $x=\dfrac{12\sqrt2}{5}$ thì $18-3\sqrt2\,x=\dfrac{18}{5},$ nên
\[\begin{aligned}V_0&=\dfrac13\cdot\dfrac{288}{25}\cdot\sqrt{\dfrac{18}{5}}\\&=\dfrac{288\sqrt{10}}{125}\approx7{,}3.\end{aligned}\]Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp khoảng 7,3 dm³.
Cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên được trình bày trong Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các em luyện thêm bài toán thực tế khác trong Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
Ảnh đề bài
Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6dm, cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều như hình sau. Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
