Bài toán gấp tờ giấy hình chữ nhật sao cho một góc chạm cạnh đối diện, tìm nếp gấp ngắn nhất, là dạng toán thực tế vận dụng đạo hàm của Toán 12 Chương I (sách Kết nối tri thức). Bài toán có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Nguồn đề: Facebook của thầy Hoàng Trọng Nghĩa (tài liệu Chinh phục vận dụng cao môn Toán 2027).
Lời giải: Nguyễn Ngọc Sơn.
Đề bài và lời giải
Bài toán. Cho tờ giấy hình chữ nhật ABCD có chiều dài $AB=24$ cm và chiều rộng $CB=16$ cm. Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải B của tờ giấy nằm trên cạnh dưới CD của nó (tham khảo hình vẽ). Nếp gấp MP có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Lời giải
Hướng giải
Đặt $x=BM,$ tính $CQ$ rồi $PB$ theo x (dùng $PQ=PB,$ $MQ=MB$ khi gấp), lập $MP^2$ theo x và tìm giá trị nhỏ nhất.
• Tính các đoạn theo x
Khi gấp, B trùng với Q trên CD nên $MQ=MB$ và $PQ=PB.$ Đặt $BM=MQ=x$ (cm), suy ra $MC=16-x.$ Gọi H là hình chiếu của Q lên AB.
Trong tam giác MCQ vuông tại C ta có
\[\begin{aligned}CQ&=\sqrt{x^2-(16-x)^2}\\&=\sqrt{32x-256}.\end{aligned}\]Ta có $QH=16,$ $HB=CQ,$ $PH=PB-CQ.$ Tam giác PHQ vuông tại H và $PQ=PB$ nên $16^2+(PB-CQ)^2=PB^2,$ suy ra
\[\begin{aligned}PB&=\dfrac{256+CQ^2}{2\,CQ}\\&=\dfrac{16x}{\sqrt{32x-256}}.\end{aligned}\]• Lập hàm và tìm giá trị nhỏ nhất
Tam giác PBM vuông tại B nên
\[\begin{aligned}MP^2&=x^2+\dfrac{256x^2}{32x-256}\\&=x^2+\dfrac{8x^2}{x-8}=\dfrac{x^3}{x-8}.\end{aligned}\]Để Q nằm trên cạnh CD cần $8\lt x\le16.$ Xét $f(x)=\dfrac{x^3}{x-8}$ trên $(8;16],$ ta có
\[\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{3x^2(x-8)-x^3}{(x-8)^2}\\&=\dfrac{2x^2(x-12)}{(x-8)^2},\end{aligned}\]$f'(x)=0\Leftrightarrow x=12$ (vì $x\gt8$).
Giá trị nhỏ nhất là $f(12)=432,$ khi đó $PB=12\sqrt2\approx16{,}97\lt24$ nên P vẫn nằm trên cạnh AB. Suy ra
\[MP_{\min}=\sqrt{432}=12\sqrt3\approx20{,}8.\]Vậy nếp gấp MP ngắn nhất khoảng 20,8 cm.
Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bảng biến thiên được trình bày trong Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các em luyện thêm bài toán thực tế khác trong Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
Ảnh đề bài
Cho tờ giấy hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 24cm và chiều rộng CB = 16cm. Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải B của tờ giấy nằm trên cạnh dưới CD của nó (tham khảo hình vẽ). Nếp gấp MP có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
