Bài toán gò máng nước có mặt cắt hình thang cân từ một tấm tôn hình chữ nhật, tìm thể tích lớn nhất, là dạng toán thực tế vận dụng đạo hàm của Toán 12 Chương I (sách Kết nối tri thức). Bài toán có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Nguồn đề: Facebook của thầy Hoàng Trọng Nghĩa (tài liệu Chinh phục vận dụng cao môn Toán 2027).
Lời giải: Nguyễn Ngọc Sơn.
Đề bài và lời giải
Bài toán. Thợ gò hàn sử dụng một tấm tôn có kích thước 2 m × 4 m để gò thân máng nước. Trên một chiều rộng AD người thợ đánh dấu B và C có kích thước $AB=CD=50$ (cm). Từ các vị trí đánh dấu B, C người thợ gò hàn đánh dấu các đường thẳng BB′ và CC′ song song với chiều dài rồi gò theo các đường thẳng đó thành máng nước có mặt cắt vuông góc với chiều dài là một hình thang cân đáy nhỏ là BC (tham khảo hình vẽ). Đậy hai đầu máng nước, khi đó máng nước hoàn thành có thể tích lớn nhất là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?
Lời giải
Hướng giải
Chiều dài máng cố định 4 m nên thể tích lớn nhất khi diện tích mặt cắt lớn nhất. Đặt x là hình chiếu của cạnh bên lên đáy lớn, lập diện tích hình thang theo x rồi khảo sát.
• Lập hàm diện tích mặt cắt
Đổi đơn vị $AB=CD=0{,}5$ m, suy ra $BC=2-2\cdot0{,}5=1$ m. Mặt cắt là hình thang cân ABCD có đáy nhỏ $BC=1,$ hai cạnh bên $AB=CD=0{,}5.$ Gọi H là hình chiếu của B lên đáy lớn AD và đặt $AH=x$ (m), $0\lt x\lt 0{,}5.$
Trong tam giác ABH vuông tại H ta có chiều cao $h=BH=\sqrt{0{,}25-x^2},$ đáy lớn $AD=1+2x.$ Diện tích mặt cắt là
\[\begin{aligned}S(x)&=\dfrac{(1+2x)+1}{2}\cdot h\\&=(1+x)\sqrt{0{,}25-x^2}.\end{aligned}\]Thể tích máng là $V=4S(x)$ nên V lớn nhất khi $S(x)$ lớn nhất.
• Tìm giá trị lớn nhất
Ta có
\[\begin{aligned}S'(x)&=\sqrt{0{,}25-x^2}-\dfrac{x(1+x)}{\sqrt{0{,}25-x^2}}\\&=\dfrac{0{,}25-x-2x^2}{\sqrt{0{,}25-x^2}}.\end{aligned}\]$S'(x)=0\Leftrightarrow 2x^2+x-0{,}25=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt3-1}{4}$ (nhận, $\approx0{,}183$) hoặc $x=\dfrac{-\sqrt3-1}{4}$ (loại).
Bảng biến thiên của $S(x)$ trên $(0;\,0{,}5)$:
Tại $x_0=\dfrac{\sqrt3-1}{4}$ ta có $S_{\max}=S(x_0)\approx0{,}5505$ m². Suy ra
\[V_{\max}=4S(x_0)\approx2{,}2\ \text{m}^3.\]Vậy máng nước có thể tích lớn nhất khoảng 2,2 m³ (khoảng 2 202 lít).
Cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng bằng bảng biến thiên được trình bày trong Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các em luyện thêm bài toán thực tế khác trong Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
Ảnh đề bài
Thợ gò hàn sử dụng một tấm tôn có kích thước 2m × 4m để gò thân máng nước. Trên một chiều rộng AD người thợ đánh dấu B và C có kích thước AB = CD = 50 (cm). Từ các vị trí đánh dấu B, C người thợ gò hàn đánh dấu các đường thẳng BB' và CC' song song với chiều dài rồi gò theo các đường thẳng đó thành máng nước có mặt cắt vuông góc với chiều dài là một hình thang cân đáy nhỏ là BC (tham khảo hình vẽ). Đậy hai đầu máng nước, khi đó máng nước hoàn thành có thể tích lớn nhất là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?
