Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai (Toán 10, Kết nối tri thức, Chương VI) giúp các em xét dấu một tam thức bậc hai chỉ bằng dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta,$ rồi dùng nó để giải bất phương trình bậc hai một ẩn. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Muốn biết lợi nhuận khi nào dương, quả bóng khi nào còn ở trên một độ cao cho trước…, ta phải biết biểu thức bậc hai nhận giá trị dương, âm ở đâu. Đó là việc xét dấu tam thức bậc hai.
1. Dấu của tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $f(x)=ax^2+bx+c,$ trong đó $a,$ $b,$ $c$ là những số thực cho trước và $a\ne 0.$
Nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ gọi là nghiệm của tam thức; $\Delta=b^2-4ac$ và $\Delta'=b'^2-ac$ (với $b=2b'$) lần lượt gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức.
Nhìn từ đồ thị. Dấu của $f(x)$ chính là vị trí của parabol $y=f(x)$ so với trục hoành: phần parabol nằm trên trục hoành thì $f(x)\gt 0,$ nằm dưới thì $f(x)\lt 0.$ Với $a\gt 0,$ ba trường hợp như hình dưới (với $a\lt 0$ thì lật ngược lại). Cách vẽ parabol các em xem lại Bài 16. Hàm số bậc hai.
Từ đó ta có định lí quan trọng nhất của bài:
Định lí về dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ $(a\ne 0).$
• Nếu $\Delta\lt 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in\mathbb{R}.$
• Nếu $\Delta=0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\ne -\dfrac{b}{2a}$ và $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=0.$
• Nếu $\Delta\gt 0$ thì tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1\lt x_2.$ Khi đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x\lt x_1$ hoặc $x\gt x_2;$ $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x_1\lt x\lt x_2.$
Mẹo nhớ: khi có hai nghiệm, dấu của tam thức là "trong trái, ngoài cùng": trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu $a,$ ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu $a.$
Trong định lí có thể thay $\Delta$ bằng $\Delta'$ (cùng dấu với $\Delta$), tính nhanh hơn khi $b$ chẵn.
Ví dụ 1. Xét dấu các tam thức
a) $f(x)=x^2-x+1;$
b) $g(x)=-x^2+6x-9;$
c) $h(x)=-2x^2+3x+5.$
Giải. a) $\Delta=1-4=-3\lt 0$ và $a=1\gt 0$ nên $f(x)\gt 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}.$
b) $\Delta'=9-9=0$ và $a=-1\lt 0$ nên $g(x)\lt 0$ với mọi $x\ne 3,$ và $g(3)=0.$
c) $h(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\dfrac{5}{2},$ $a=-2\lt 0.$ Ta có bảng xét dấu
Vậy $h(x)\gt 0$ khi $-1\lt x\lt\dfrac{5}{2};$ $h(x)\lt 0$ khi $x\lt -1$ hoặc $x\gt\dfrac{5}{2}.$
Lưu ý. Trước khi xét dấu, nhìn kỹ hệ số $a$ (hệ số của $x^2$), nhất là khi tam thức viết không theo thứ tự, ví dụ $5-x^2+4x$ có $a=-1.$
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn $x$ là bất phương trình có một trong các dạng $ax^2+bx+c\gt 0,$ $ax^2+bx+c\lt 0,$ $ax^2+bx+c\ge 0,$ $ax^2+bx+c\le 0,$ trong đó $a\ne 0.$
Cách giải. Giải bất phương trình bậc hai $ax^2+bx+c\gt 0$ (các dạng khác tương tự) thực chất là tìm các giá trị của $x$ làm tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ dương:
• tính $\Delta$ (hoặc giải phương trình $f(x)=0$);
• xét dấu $f(x)$ theo định lí (lập bảng xét dấu khi có hai nghiệm);
• chọn các khoảng có dấu phù hợp. Với dấu $\ge,$ $\le$ thì lấy thêm cả các nghiệm của $f(x).$
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình
a) $x^2-5x+4\le 0;$
b) $-x^2+2x-3\lt 0;$
c) $x^2-6x+9\gt 0.$
Giải. a) Tam thức $f(x)=x^2-5x+4$ có hai nghiệm $x=1,$ $x=4$ và $a=1\gt 0.$
Tam thức không dương khi $1\le x\le 4,$ nên tập nghiệm là $S=[1;4].$
b) Tam thức $-x^2+2x-3$ có $\Delta'=1-3=-2\lt 0$ và $a=-1\lt 0$ nên luôn âm. Tập nghiệm $S=\mathbb{R}.$
c) Ta có $x^2-6x+9=(x-3)^2,$ $\Delta=0,$ $a\gt 0,$ nên tam thức dương với mọi $x\ne 3.$ Tập nghiệm $S=\mathbb{R}\setminus\{3\}.$
Lỗi hay gặp. Giải xong phương trình $f(x)=0$ rồi "đoán" tập nghiệm theo thói quen (cứ lấy khoảng ở giữa hoặc hai bên). Phải dựa vào dấu của $a$: ví dụ $-x^2+5x-4\le 0$ có cùng nghiệm 1 và 4 như ở Ví dụ 2a, nhưng vì $a\lt 0$ nên tập nghiệm là $(-\infty;1]\cup[4;+\infty).$
Bài toán có tham số. Hai kết quả hay dùng, suy ra trực tiếp từ định lí:
• $ax^2+bx+c\gt 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a\gt 0$ và $\Delta\lt 0;$
• $ax^2+bx+c\lt 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a\lt 0$ và $\Delta\lt 0.$
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 6.15 (SGK trang 24). Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $3x^2-4x+1;$
b) $x^2+2x+1;$
c) $-x^2+3x-2;$
d) $-x^2+x-1.$
Lời giải
a) Tam thức $f(x)=3x^2-4x+1$ có $a=3\gt 0$ và hai nghiệm $x=\dfrac{1}{3},$ $x=1.$ Bảng xét dấu
Vậy $3x^2-4x+1\gt 0$ khi $x\lt\dfrac{1}{3}$ hoặc $x\gt 1;$ $3x^2-4x+1\lt 0$ khi $\dfrac{1}{3}\lt x\lt 1.$
b) Tam thức có $\Delta'=1-1=0$ và $a=1\gt 0,$ nghiệm kép $x=-1.$ Vậy $x^2+2x+1\gt 0$ với mọi $x\ne -1.$
c) Tam thức $f(x)=-x^2+3x-2$ có $a=-1\lt 0$ và hai nghiệm $x=1,$ $x=2.$ Bảng xét dấu
Vậy $-x^2+3x-2\gt 0$ khi $1\lt x\lt 2;$ $-x^2+3x-2\lt 0$ khi $x\lt 1$ hoặc $x\gt 2.$
d) Tam thức có $\Delta=1-4=-3\lt 0$ và $a=-1\lt 0,$ nên $-x^2+x-1\lt 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}.$
Bài 6.16 (SGK trang 24). Giải các bất phương trình bậc hai:
a) $x^2-1\ge 0;$
b) $x^2-2x-1\lt 0;$
c) $-3x^2+12x+1\le 0;$
d) $5x^2+x+1\ge 0.$
Lời giải
a) Tam thức $f(x)=x^2-1$ có $a=1\gt 0$ và hai nghiệm $x=\pm 1.$
Tập nghiệm $S=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$
b) Tam thức $f(x)=x^2-2x-1$ có $a=1\gt 0,$ $\Delta'=2,$ hai nghiệm $x=1\pm\sqrt{2}.$
Tập nghiệm $S=\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right).$
c) Tam thức $f(x)=-3x^2+12x+1$ có $a=-3\lt 0,$ $\Delta'=36+3=39,$ hai nghiệm $x_1=\dfrac{6-\sqrt{39}}{3},$ $x_2=\dfrac{6+\sqrt{39}}{3}.$
Tập nghiệm
\[\begin{aligned}S=&\left(-\infty;\dfrac{6-\sqrt{39}}{3}\right]\\&\cup\left[\dfrac{6+\sqrt{39}}{3};+\infty\right).\end{aligned}\]d) Tam thức $5x^2+x+1$ có $\Delta=1-20=-19\lt 0$ và $a=5\gt 0$ nên luôn dương. Tập nghiệm $S=\mathbb{R}.$
Bài 6.17 (SGK trang 24). Tìm các giá trị của tham số $m$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x\in\mathbb{R}$:
\[x^2+(m+1)x+2m+3.\]Lời giải
Tam thức có $a=1\gt 0,$ nên nó dương với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta\lt 0.$ Ta có
\[\begin{aligned}\Delta&=(m+1)^2-4(2m+3)\\&=m^2-6m-11.\end{aligned}\]Tam thức $m^2-6m-11$ (ẩn $m$) có $a=1\gt 0$ và hai nghiệm $m=3\pm 2\sqrt{5},$ nên
\[\Delta\lt 0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{5}\lt m\lt 3+2\sqrt{5}.\]Vậy $3-2\sqrt{5}\lt m\lt 3+2\sqrt{5}.$
Bài 6.18 (SGK trang 24). Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0=20$ m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
Lời giải
Lấy gia tốc trọng trường $g=9{,}8$ m/s2. Vật ném thẳng xuống với vận tốc ban đầu 20 m/s nên sau $t$ giây vật đi được quãng đường $20t+\dfrac{1}{2}\cdot 9{,}8t^2=20t+4{,}9t^2$ (m). Độ cao của vật so với mặt đất khi đó là
\[h(t)=320-20t-4{,}9t^2.\]Vật cách mặt đất không quá 100 m khi
\[\begin{aligned}&320-20t-4{,}9t^2\le 100\\&\Leftrightarrow 4{,}9t^2+20t-220\ge 0.\end{aligned}\]Tam thức $4{,}9t^2+20t-220$ có $a\gt 0$ và hai nghiệm $t=\dfrac{-10\pm\sqrt{1178}}{4{,}9},$ nên với $t\ge 0$ bất phương trình tương đương
\[t\ge\frac{-10+\sqrt{1178}}{4{,}9}\approx 4{,}96.\]Vậy sau ít nhất khoảng 4,96 giây thì vật cách mặt đất không quá 100 m.
Lưu ý. Vật ném xuống nên quãng đường đi trong $t$ giây là $20t+4{,}9t^2$ (vận tốc ban đầu cùng chiều rơi). Nếu viết nhầm $h(t)=320+20t-4{,}9t^2$ (coi như ném lên) sẽ ra kết quả sai khoảng 9,05 giây.
Bài 6.19 (SGK trang 24). Xét đường tròn đường kính $AB=4$ và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt $AM=x$ (Hình 6.19 trong SGK). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu $S(x)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
Lời giải
Ta có $0\le x\le 4,$ $MB=4-x.$ Bán kính hình tròn lớn và hai hình tròn nhỏ lần lượt là $2,$ $\dfrac{x}{2},$ $\dfrac{4-x}{2}.$ Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là
\[\begin{aligned}S_1&=\pi\frac{x^2}{4}+\pi\frac{(4-x)^2}{4}\\&=\frac{\pi\left(x^2-4x+8\right)}{2}.\end{aligned}\]Do đó
\[S(x)=4\pi-S_1=\frac{\pi\left(4x-x^2\right)}{2}.\]Điều kiện $S(x)\le\dfrac{1}{2}S_1$ trở thành
\[\begin{aligned}&\frac{\pi\left(4x-x^2\right)}{2}\le\frac{\pi\left(x^2-4x+8\right)}{4}\\&\Leftrightarrow 3x^2-12x+8\ge 0.\end{aligned}\]Tam thức $3x^2-12x+8$ có $a\gt 0$ và hai nghiệm $x=\dfrac{6\pm 2\sqrt{3}}{3},$ nên bất phương trình đúng khi $x\le\dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x\ge\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}.$
Kết hợp với $0\le x\le 4,$ ta được
\[x\in\left[0;\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup\left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};4\right].\](Hai nghiệm xấp xỉ $0{,}85$ và $3{,}15$: điểm M phải ở gần một trong hai đầu A, B.)
